tut4: Add solutions for exercise 2

src/2025-11-07/presentation.tex

@@ -137,7 +137,7 @@
                     \begin{align*}
                         \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
                         1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
-                        A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
+                        A &= \mleft\{ (1,1),(1,2), \ldots, (6,6) \mright\}
                     \end{align*}
                     \vspace*{-12mm}
                 \end{lightgrayhighlightbox}
@@ -275,17 +275,17 @@
             \item mindestens ein Ass hat?\pause
                 \begin{gather*}
                     P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
-                    = 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0.341
+                    = 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}341
                 \end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
             \item genau ein Ass hat?\pause
                 \begin{gather*}
-                    P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0.299
+                    P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}299
                 \end{gather*}\pause
             \item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
                 \begin{align*}
                     P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
                                                              &= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
-                                                             &= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0.493
+                                                             &= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}493
                 \end{align*}
         \end{enumerate}
         % tex-fmt: on
@@ -372,7 +372,7 @@
                 \begin{lightgrayhighlightbox}
                     Beispiel:
                     \begin{gather*}
-                        \Omega = {A, B, C}\\
+                        \Omega = \{A, B, C\}\\
                         \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
                         (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
                     \end{gather*}

src/2025-11-21/presentation.tex

@@ -179,8 +179,8 @@
                 \node[right] at ($(n2)!0.4!(n22)$) {$P(C\vert A_2)$};
 
                 \node[below] at (n11) {$P(BA_1)$};
-                \node[below] at (n12) {$P(CA_2)$};
-                \node[below] at (n21) {$P(BA_1)$};
+                \node[below] at (n12) {$P(CA_1)$};
+                \node[below] at (n21) {$P(BA_2)$};
                 \node[below] at (n22) {$P(CA_2)$};
             \end{tikzpicture}
         \end{figure}
@@ -269,9 +269,9 @@
             ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
             oder groß ist.
             \pause\begin{align*}
-                P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\
-                P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\
-                P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17
+                P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\
+                P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\
+                P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17
             \end{align*}
         \item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
             welcher Wahrscheinlichkeit ist es
@@ -280,7 +280,7 @@
                 P(N_1 \vert \overline{K})
                 = \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
                 = \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
-                = \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153
+                = \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153
             \end{align*}
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
@@ -364,9 +364,9 @@
     beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
     sind bekannt:
     \begin{itemize}
-        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
-        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
-        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
             Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
     \end{itemize}
 
@@ -381,9 +381,9 @@
 
     Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
     beobachtet. Der Fehler tritt
-    mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
+    mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
     eingetreten sind und mit der
-    Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+    Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
     sind. In allen anderen
     Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
 
@@ -408,9 +408,9 @@
     beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
     sind bekannt:
     \begin{itemize}
-        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
-        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
-        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
             Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
     \end{itemize}
 
@@ -420,16 +420,16 @@
             Fehler $B$ und dafür, dass ein
             Werkstück fehlerfrei ist.
             \pause\begin{gather*}
-                P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
+                P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04
             \end{gather*}\pause
             \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
-                P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
+                P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92
             \end{gather*}
             \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
             \pause\begin{gather*}
                 \left. \begin{array}{l}
-                   P(AB) = 0.01 \\
-                   P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
+                   P(AB) = 0{,}01 \\
+                   P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002
                \end{array}\right\}
                \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
             \end{gather*}
@@ -444,9 +444,9 @@
 
     Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
     beobachtet. Der Fehler tritt
-    mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
+    mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
     eingetreten sind und mit der
-    Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+    Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
     sind. In allen anderen
     Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
 
@@ -459,7 +459,7 @@
                 P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
                 + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
                 + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
-                &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
+                &= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094
             \end{align*}
         \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
             welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
@@ -469,8 +469,8 @@
                     P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
                     P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
                           &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
-                          &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
-                    P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
+                          &= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm]
+                    P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
                 \end{align*}
             \end{minipage}%
             \hspace*{-10mm}
@@ -486,8 +486,8 @@
                     P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
                     P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
                                 + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
-                                &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
-                    P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
+                                &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm]
+                    P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
                 \end{align*}
             \end{minipage}
     \end{enumerate}

src/2025-12-05/presentation.tex

@@ -0,0 +1,928 @@
+\ifdefined\ishandout
+\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
+\else
+\documentclass[de]{CELbeamer}
+\fi
+
+%
+%
+% CEL Template
+%
+%
+
+\newcommand{\templates}{preambles}
+\input{\templates/packages.tex}
+\input{\templates/macros.tex}
+
+\grouplogo{CEL_logo.pdf}
+
+\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
+\groupnamewidth{80mm}
+
+\fundinglogos{}
+
+%
+%
+% Custom commands
+%
+%
+
+\input{lib/latex-common/common.tex}
+\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
+
+\newcommand{\res}{src/2025-12-05/res}
+
+% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
+% \captionsetup[sub]{font=small}
+
+%
+%
+% Document setup
+%
+%
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
+%\tikzexternalize[prefix=build/]
+
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=newest}
+\usepgfplotslibrary{fillbetween}
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{bbm}
+\usepackage{multirow}
+
+\usepackage{xcolor}
+
+\title{WT Tutorium 3}
+\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
+\date[]{5. Dezember 2025}
+
+%
+%
+% Document body
+%
+%
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
+    \titlepage
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 1}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Zufallsvariablen (ZV)
+            \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
+                    $\Omega$} \\[1cm]
+                    X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
+                    \underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
+                    P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
+                \end{gather*}
+            \end{minipage}%
+            \hspace*{15mm}%
+            \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+                \centering
+                \begin{lightgrayhighlightbox}
+                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
+                    \begin{gather*}
+                        X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
+                        X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
+                        , 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
+                        \underbrace{\left\{2,3,
+                        \ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
+                    \end{gather*}\\
+                    \vspace*{5mm}
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
+                    \end{tikzpicture}
+                    \vspace*{2mm}
+                    \begin{gather*}
+                        A = \text{\normalfont``Die Summe der
+                        Augenzahlen ist 4''}
+                    \end{gather*}
+                    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+                        \centering
+                        Direkter Weg
+                        \begin{align*}
+                            P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
+                            (3,1) \mright\}) \\
+                            &= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
+                            &= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
+                        \end{align*}
+                    \end{minipage}%
+                    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+                        \centering
+                        Über ZV
+                        \begin{gather*}
+                            P(A) = P_X(4) = \cdots
+                        \end{gather*}
+                    \end{minipage}
+                \end{lightgrayhighlightbox}
+            \end{minipage}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{columns}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{align*}
+                    \overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
+                    &= \sum_{n:x_n \le x}
+                    \overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
+                    &= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
+                \end{align*}
+                \begin{gather*}
+                    P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)
+                \end{gather*}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{lightgrayhighlightbox}
+                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
+                    \begin{gather*}
+                        X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
+                    \end{gather*}
+                    \vspace*{-10mm}
+                    \begin{figure}[H]
+                        \centering
+                        \begin{tikzpicture}
+                            \begin{axis}[
+                                    xmin=2,xmax=12,
+                                    ymin=-0.2,ymax=1.2,
+                                    xlabel=$x$,
+                                    ylabel=$F_X(x)$,
+                                    width=12cm,
+                                    height=5cm,
+                                ]
+                                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                                coordinates
+                                {
+                                    (2 , 0.02777)
+                                    (3 , 0.02777)
+                                    (3 , 0.08333)
+                                    (4 , 0.08333)
+                                    (4 , 0.16666)
+                                    (5 , 0.16666)
+                                    (5 , 0.27777)
+                                    (6 , 0.27777)
+                                    (6 , 0.41666)
+                                    (7 , 0.41666)
+                                    (7 , 0.58333)
+                                    (8 , 0.58333)
+                                    (8 , 0.72222)
+                                    (9 , 0.72222)
+                                    (9 , 0.83333)
+                                    (10 , 0.83333)
+                                    (10, 0.91666)
+                                    (11, 0.91666)
+                                    (11, 0.97222)
+                                    (12, 0.97222)
+                                    (12, 1.00000)
+                                };
+                            \end{axis}
+                        \end{tikzpicture}
+                    \end{figure}
+                    \vspace*{-10mm}
+                \end{lightgrayhighlightbox}
+            \end{columns}
+            \pause
+        \item Kenngrößen von Verteilungen
+            \vspace*{2mm}
+            \begin{columns}[t]
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \textbf{Erwartungswert}
+                \begin{gather*}
+                    E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
+                \end{gather*}%
+                \vspace*{-8mm}%
+                \begin{align*}
+                    E(X + b) &= E(X) + b\\
+                    E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
+                    E(aX) &= aE(X)
+                \end{align*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \textbf{Varianz}
+                \begin{gather*}
+                    V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
+                \end{gather*}%
+                \vspace*{-8mm}
+                \begin{align*}
+                    V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
+                    V(aX) &= a^2 V(x)\\
+                    V(X+b) &= V(X)
+                \end{align*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \textbf{$p$-Quantil}
+                \begin{gather*}
+                    x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
+                    \le x) \ge p \mright\}
+                \end{gather*}
+                \vspace*{-8mm}
+                \begin{gather*}
+                    p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
+                    \equiv \text{``Median''}
+                \end{gather*}
+            \end{columns}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Beispiele von Verteilungen}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    \begin{columns}[t]
+        \column{\kittwocolumns}
+        \centering
+        \textbf{Bernoulli Verteilung}\\
+        \vspace*{10mm}
+        $X$ kann nur die Werte $0$ oder $1$\\ annehmen
+        \rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
+        \begin{gather*}
+            X \sim \text{Bernoulli}(p)
+        \end{gather*}
+        \begin{gather*}
+            P(X=0) = 1-p, \hspace{5mm} P(X=1) = p
+        \end{gather*}
+        \begin{align*}
+            E(X) &= p\\
+            V(X) &= p(1-p)
+        \end{align*}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \centering
+        \textbf{Binomialverteilung}\\
+        \vspace*{10mm}
+        $X\equiv$ ``Zählen der Treffer bei $N$ unabhängigen Versuchen''
+        \rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
+        \begin{gather*}
+            X \sim \text{Bin}(N,p)
+        \end{gather*}
+        \begin{gather*}
+            P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
+        \end{gather*}
+        \begin{align*}
+            E(X) &= Np\\
+            V(X) &= Np(1-p)
+        \end{align*}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \centering
+        \textbf{Poisson Verteilung}\\
+        \vspace*{10mm}
+        Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit
+        $pN=\text{const.}=: \lambda$
+        \rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
+        \begin{gather*}
+            X \sim \text{Poisson}(\lambda)
+        \end{gather*}
+        \begin{gather*}
+            P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
+        \end{gather*}
+        \begin{align*}
+            E(X) &= \lambda\\
+            V(X) &= \lambda
+        \end{align*}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusammenfassung}
+
+    \begin{columns}[t]
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Erwartungswert}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
+            \end{gather*}%
+            \vspace*{-8mm}%
+            \begin{align*}
+                E(X + b) &= E(X) + b\\
+                E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
+                E(aX) &= aE(X)
+            \end{align*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Binomialverteilung}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
+            \end{gather*}
+            \begin{align*}
+                E(X) &= Np\\
+                V(X) &= Np(1-p)
+            \end{align*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
+    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
+    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
+    der Wahrscheinlichkeit
+    $p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
+    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
+    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
+            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
+        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
+            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
+        \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
+            Zufallsvariablen $R$.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \vspace*{5mm}
+
+    \textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den
+    bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.}
+
+    \vspace*{5mm}
+
+    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
+    Landstraße und über die
+    Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
+    Autofahrer auf der Landstraße bzw.
+    auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
+    liegt bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei
+    $p_\text{A} = 0{,}3$.
+
+    \vspace*{5mm}
+
+    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{3}
+        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
+            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
+        \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
+            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
+            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
+
+    \vspace*{-16mm}
+
+    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
+    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
+    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
+    der Wahrscheinlichkeit
+    $p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
+    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
+    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
+            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
+            \pause\begin{gather*}
+                \Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
+                R \sim \text{Bin}(N=6, p=0{,}2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1{,}2
+            \end{gather*}
+        \vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
+            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
+            \pause \begin{gather*}
+                P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^3 \approx 0{,}0819
+            \end{gather*}
+        \vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
+            Zufallsvariablen $R$.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \vspace*{2mm}
+
+    \pause
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{gather*}
+            F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
+            \binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
+        \end{gather*}
+        \begin{table}
+            \begin{tabular}{c|ccccccc}
+                $r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
+                $F_R(r)$ & $0{,}262$ & $0{,}655$ & $0{,}901$ &
+                $0{,}983$ & $0{,}998$ & $0{,}999$ & $1$
+            \end{tabular}
+        \end{table}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{figure}[H]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[
+                        xmin=0,xmax=6,
+                        ymin=-0.2,ymax=1.2,
+                        xlabel=$r$,
+                        ylabel=$F_R(r)$,
+                        width=12cm,
+                        height=5cm,
+                    ]
+                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                    coordinates
+                    {
+                        (0,0.262)
+                        (1,0.262)
+                        (1,0.655)
+                        (2,0.655)
+                        (2,0.901)
+                        (3,0.901)
+                        (3,0.983)
+                        (4,0.983)
+                        (4,0.998)
+                        (5,0.998)
+                        (5,0.999)
+                        (6,0.999)
+                        (6,1)
+                    };
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
+
+    \vspace*{-16mm}
+
+    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
+    Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
+    dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
+    Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
+    bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0{,}3$.
+
+    \vspace*{2mm}
+
+    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{3}
+        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
+            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
+            \pause\begin{gather*}
+                R := A + L
+            \end{gather*}%
+            \vspace*{-14mm}%
+            \begin{align*}
+                P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}06 \\
+                P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
+                P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}56
+            \end{align*}
+        \vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
+            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
+            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \vspace*{-6mm}
+
+    \pause
+    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \centering
+        \begin{align*}
+            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
+            E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0{,}38 +
+            2\cdot 0{,}06\right]\\[2mm]
+            &= 200\cdot 0{,}5 = 100
+        \end{align*}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}{0.06\textwidth}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \centering
+        \begin{align*}
+            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
+            E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
+                \text{Bin}(N=200, p=0{,}3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
+            L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200, p=0{,}2)}\Big)\\[2mm]
+            &= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
+            E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
+            &= 200\cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}2 = 100
+        \end{align*}
+    \end{minipage}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 2}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Weitere Kenngrößen von Verteilungen}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    \vspace*{10mm}
+    \begin{columns}[t]
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \centering
+        \textbf{$k$-tes Moment}
+        \begin{gather*}
+            E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
+        \end{gather*}%
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \centering
+        \textbf{$k$-tes zentrales Moment}
+        \begin{gather*}
+            E\left( \left(X - E(X)\right)^k \right) =
+            \sum_{n=1}^{\infty} \left(x_n - E(X)\right)^k P(X=x_n)
+        \end{gather*}%
+    \end{columns}
+    \vspace*{20mm}
+    \pause
+    \begin{columns}[t]
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \centering
+        \textbf{Charakteristische Funktion (diskret)}
+        \begin{gather*}
+            \phi_X(s) = E(e^{jsX}) = \sum_{n=1}^{\infty}
+            e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
+            E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
+        \end{gather*}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \centering
+        \textbf{Erzeugende Funktion}
+        \begin{gather*}
+            \text{Voraussetzung:} \hspace{5mm} x \in \mathbb{N}_0\\[5mm]
+            \psi(z) = E(z^x) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(x=n)\\[5mm]
+            P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
+        \end{gather*}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusammenfassung}
+
+    \vspace*{-16mm}
+
+    \begin{columns}[t]
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Varianz}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
+            \end{gather*}%
+            \vspace*{-8mm}
+            \begin{align*}
+                V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
+                V(aX) &= a^2 V(x)\\
+                V(X+b) &= V(X)
+            \end{align*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{$p$-Quantil}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
+                \le x) \ge p \mright\}
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-8mm}
+            \begin{gather*}
+                p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
+                \equiv \text{``Median''}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+    \begin{columns}[t]
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{$k$-tes Moment}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
+            \end{gather*}%
+        \end{greenblock}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Charakt. Funktion (diskret)}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                \phi_X(s) = \sum_{n=1}^{\infty}
+                e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
+                E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kittwocolumns}
+        \begin{greenblock}{Erzeugende Funktion}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                \psi(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(X=n)\\[5mm]
+                P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
+
+    Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
+
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                    xmin=0,xmax=5.5,
+                    ymin=0,ymax=1,
+                    xtick={0,...,5},
+                    ytick={0,0.2,...,1},
+                    xlabel=$x$,
+                    ylabel=$F_X(x)$,
+                    width=12cm,
+                    height=5cm,
+                ]
+                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                coordinates
+                {
+                    (0,0)
+                    (1,0)
+                    (1,0.2)
+                    (2,0.2)
+                    (2,0.6)
+                    (3,0.6)
+                    (3,0.7)
+                    (4,0.7)
+                    (4,0.9)
+                    (5,0.9)
+                    (5,1)
+                    (5.5,1)
+                };
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
+        \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
+            charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
+            von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
+        \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
+            beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
+            diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
+            sind.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
+
+    Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
+
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                    xmin=0,xmax=5.5,
+                    ymin=0,ymax=1,
+                    xtick={0,...,5},
+                    ytick={0,0.2,...,1},
+                    xlabel=$x$,
+                    ylabel=$F_X(x)$,
+                    width=12cm,
+                    height=5cm,
+                ]
+                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                coordinates
+                {
+                    (0,0)
+                    (1,0)
+                    (1,0.2)
+                    (2,0.2)
+                    (2,0.6)
+                    (3,0.6)
+                    (3,0.7)
+                    (4,0.7)
+                    (4,0.9)
+                    (5,0.9)
+                    (5,1)
+                    (5.5,1)
+                };
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \pause
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                    xmin=0,xmax=5.5,
+                    ymin=0,ymax=0.5,
+                    xtick={0,...,5},
+                    ytick={0,0.1,...,0.5},
+                    xlabel=$x$,
+                    ylabel=$P_X(x)$,
+                    width=12cm,
+                    height=5cm,
+                ]
+                \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
+                coordinates
+                {
+                    (1,0.2)
+                    (2,0.4)
+                    (3,0.1)
+                    (4,0.2)
+                    (5,0.1)
+                };
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
+
+    \vspace*{-12mm}
+
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                    xmin=0,xmax=5.5,
+                    ymin=0,ymax=0.5,
+                    xtick={0,...,5},
+                    ytick={0,0.1,...,0.5},
+                    xlabel=$x$,
+                    ylabel=$P_X(x)$,
+                    width=12cm,
+                    height=5cm,
+                ]
+                \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
+                coordinates
+                {
+                    (1,0.2)
+                    (2,0.4)
+                    (3,0.1)
+                    (4,0.2)
+                    (5,0.1)
+                };
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+
+    \vspace*{-5mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
+            charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
+            von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
+            \pause\begin{align*}
+                \psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3
+                + 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\
+                \phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js}
+                + 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s}
+            \end{align*}
+            \pause\begin{gather*}
+                \left.\begin{array}{c}
+                    V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm]
+                    E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j}
+                    = \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm]
+                    E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2}
+                    = \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4
+                \end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
+
+    \vspace*{-5mm}
+
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                    xmin=0,xmax=5.5,
+                    ymin=0,ymax=1,
+                    xtick={0,...,5},
+                    ytick={0,0.2,...,1},
+                    xlabel=$x$,
+                    ylabel=$F_X(x)$,
+                    width=12cm,
+                    height=5cm,
+                ]
+                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                coordinates
+                {
+                    (0,0)
+                    (1,0)
+                    (1,0.2)
+                    (2,0.2)
+                    (2,0.6)
+                    (3,0.6)
+                    (3,0.7)
+                    (4,0.7)
+                    (4,0.9)
+                    (5,0.9)
+                    (5,1)
+                    (5.5,1)
+                };
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
+            beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
+            diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
+            sind.
+            \pause\begin{align*}
+                x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\
+                E(X) &= 2{,}6
+            \end{align*}
+
+            \vspace*{5mm}
+            \centering
+            \pause\begin{minipage}{0.7\textwidth}
+                Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten
+                Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung
+                symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h.,
+                \begin{gather*}
+                    P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}.
+                \end{gather*}
+            \end{minipage}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\end{document}
+

src/2025-12-09/presentation.tex

@@ -0,0 +1,425 @@
+\ifdefined\ishandout
+\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
+\else
+\documentclass[de]{CELbeamer}
+\fi
+
+%
+%
+% CEL Template
+%
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+\newcommand{\templates}{preambles}
+\input{\templates/packages.tex}
+\input{\templates/macros.tex}
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+\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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+\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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+\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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+\newcommand{\res}{src/2025-12-19/res}
+
+% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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+%
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+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-3dplot}
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+%\tikzexternalize[prefix=build/]
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+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{bbm}
+\usepackage{multirow}
+
+\usepackage{xcolor}
+
+\title{WT Tutorium 4}
+\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
+\date[]{19. Dezember 2025}
+
+%
+%
+% Document body
+%
+%
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
+    \titlepage
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 1}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{sasdf}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{align*}
+        f_X (x) =  \left\{
+            \begin{array}{ll}
+                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
+                0, &\text{sonst}
+            \end{array}
+            \right.
+    \end{align*}
+    % tex-fmt: on
+
+    mit dem Parameter $a > 0$.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
+            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
+            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
+            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
+        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
+            erfüllen?
+        \item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
+        \item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
+            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    \vspace*{-15mm}
+
+    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{align*}
+        f_X (x) =  \left\{
+            \begin{array}{ll}
+                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
+                0, &\text{sonst}
+            \end{array}
+            \right.
+    \end{align*}
+    % tex-fmt: on
+
+    mit dem Parameter $a > 0$.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
+            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
+            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
+            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
+            \pause\begin{columns}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{align*}
+                    \text{Eigenschaften:} \hspace{5mm}
+                    \left\{
+                    \begin{array}{rl}
+                        f_X(x) &\ge 0 \\[3mm]
+                        \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= 1
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \pause\begin{gather*}
+                    \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx
+                    = \int_{-\infty}^{\infty} C\cdot x e^{-ax^2} dx
+                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (-2ax) e^{-ax^2} dx  \\
+                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-ax^2})' dx
+                    = \frac{C}{-2a} \mleft[ e^{-ax^2} \mright]_0^{\infty} \overset{!}{=} 1 \hspace{10mm} \Rightarrow C = 2a
+                \end{gather*}
+                \centering
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \pause \begin{align*}
+                    f_X(x) =
+                    \left\{
+                        \begin{array}{ll}
+                            2ax \cdot e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
+                            0, & \text{sonst}
+                        \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \begin{figure}[H]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \begin{axis}[
+                            domain=0:5,
+                            width=12cm,
+                            height=5cm,
+                            samples=100,
+                            xlabel={$x$},
+                            ylabel={$f_X(x)$},
+                        ]
+                            \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                                {x * exp(-0.5*x*x)};
+                                % {x *exp(-a*x*x)};
+                        \end{axis}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{figure}
+            \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    \vspace*{-20mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
+            erfüllen?
+            \pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
+                \column{\kitonecolumn}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0\\
+                    \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1
+                \end{gather*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
+                    F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
+                    \hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
+                \end{gather*}
+                \column{\kitonecolumn}
+            \end{columns}
+        \pause\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
+        \begin{gather*}
+            f_X(x) = 2ax\cdot e^{-ax^2}, \hspace{5mm} x\ge 0
+        \end{gather*}
+        \pause \vspace*{-6mm}\begin{gather*}
+            F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
+            = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    \displaystyle\int_{0}^{x} 2au\cdot e^{-au^2} du, & x\ge 0 \\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    \mleft[ -e^{-au^2} \mright]_0^{x}, & x\ge 0 \\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+        \end{gather*}
+        \pause\begin{figure}[H]
+            \centering
+
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[
+                    domain=0:5,
+                    width=14cm,
+                    height=5cm,
+                    xlabel={$x$},
+                    ylabel={$F_X(x)$},
+                ]
+                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                        {1 - exp(-0.5 * x*x)};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+        \vspace*{-3mm}
+        \pause\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
+            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
+            \pause \begin{gather*}
+                P(\mleft\{ \omega: 1 < X(\omega) \le 2 \mright\})
+                = P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: off
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 2}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{sasdf}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
+    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
+    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
+    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
+    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
+    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
+    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
+    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
+        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
+            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
+            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
+        \item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der Mittelwert
+            $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt). Wie groß ist
+            jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
+    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
+    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
+    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
+    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
+    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
+    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
+    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
+            \begin{columns}[c]
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \centering
+            \pause \begin{gather*}
+                X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
+            \end{gather*}
+            \begin{align*}
+                P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
+                        \cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
+                     &= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
+                     &= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
+                     &\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
+                     &= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
+            \end{align*}
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \centering
+            \begin{figure}[H]
+                \centering
+
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        domain=4.6:5.3,
+                        xmin=4.7, xmax=5.3,
+                        width=14cm,
+                        height=6cm,
+                        xlabel={$x$},
+                        ylabel={$F_X (x)$},
+                        samples=100,
+                        xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
+                    ]
+                        \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                            {1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
+
+                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
+                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
+                        \node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
+                        \node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
+
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{figure}
+        \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
+            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
+            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
+            \pause\begin{gather*}
+                P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-18mm}
+            \begin{columns}
+                \pause\column{\kitthreecolumns}
+                \centering
+                \begin{align*}
+                    P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
+                    &= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
+                    &= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
+                        + \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
+                    &= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
+                \end{align*}
+                \pause\column{\kitthreecolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
+                    \Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
+                    \Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
+                    \approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
+                \end{gather*}
+            \end{columns}
+        \pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
+            Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
+            Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
+            \pause \begin{align*}
+                P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
+                    + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
+                &\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
+                & = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\end{document}
+