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15504fb03b
@ -77,6 +77,174 @@
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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\begin{frame}
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\frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
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\vspace*{-10mm}
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\begin{itemize}
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\item Zufallsvariablen (ZV)
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\begin{minipage}{0.33\textwidth}
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\centering
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\begin{gather*}
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\text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
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$\Omega$} \\[1cm]
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X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
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\underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
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P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
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\end{gather*}
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\end{minipage}%
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\hspace*{15mm}%
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\centering
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\begin{lightgrayhighlightbox}
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Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
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\begin{gather*}
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X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
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X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
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, 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
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\underbrace{\left\{2,3,
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\ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
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\end{gather*}\\
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\vspace*{5mm}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
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||||
\end{tikzpicture}
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\vspace*{2mm}
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\begin{gather*}
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A = \text{\normalfont``Die Summe der
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Augenzahlen ist 4''}
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\end{gather*}
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\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
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\centering
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Direkter Weg
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\begin{align*}
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P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
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(3,1) \mright\}) \\
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&= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
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&= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
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\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
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\centering
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Über ZV
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\begin{gather*}
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P(A) = P_X(4) = \cdots
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\end{gather*}
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\end{minipage}
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\end{lightgrayhighlightbox}
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\end{minipage}
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
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\vspace*{-18mm}
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\begin{itemize}
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\item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
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\vspace*{-6mm}
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\begin{columns}
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\column{\kitthreecolumns}
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\begin{align*}
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\overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
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&= \sum_{n:x_n \le x}
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||||
\overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
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||||
&= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
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||||
\end{align*}
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||||
\column{\kitthreecolumns}
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||||
\begin{lightgrayhighlightbox}
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||||
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
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||||
\begin{gather*}
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||||
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
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||||
\end{gather*}
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||||
\vspace*{-10mm}
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||||
\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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xmin=2,xmax=12,
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||||
ymin=-0.2,ymax=1.2,
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||||
xlabel=$x$,
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||||
ylabel=$F_X(x)$,
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||||
width=12cm,
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||||
height=5cm,
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||||
]
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||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
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||||
coordinates
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||||
{
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||||
(2 , 0.02777)
|
||||
(3 , 0.02777)
|
||||
(3 , 0.08333)
|
||||
(4 , 0.08333)
|
||||
(4 , 0.16666)
|
||||
(5 , 0.16666)
|
||||
(5 , 0.27777)
|
||||
(6 , 0.27777)
|
||||
(6 , 0.41666)
|
||||
(7 , 0.41666)
|
||||
(7 , 0.58333)
|
||||
(8 , 0.58333)
|
||||
(8 , 0.72222)
|
||||
(9 , 0.72222)
|
||||
(9 , 0.83333)
|
||||
(10 , 0.83333)
|
||||
(10, 0.91666)
|
||||
(11, 0.91666)
|
||||
(11, 0.97222)
|
||||
(12, 0.97222)
|
||||
(12, 1.00000)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
\end{lightgrayhighlightbox}
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||||
\end{columns}
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||||
\pause \item Einige Kenngrößen von Verteilungen
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\vspace*{2mm}
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\begin{columns}[t]
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\column{\kittwocolumns}
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\centering
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||||
\textbf{Erwartungswert}
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\begin{gather*}
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E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
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\end{gather*}%
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\vspace*{-8mm}%
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\begin{align*}
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E(X + b) &= E(X) + b\\
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E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
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E(aX) &= aE(X)
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||||
\end{align*}
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\column{\kittwocolumns}
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\centering
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||||
\textbf{Varianz}
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\begin{gather*}
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V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
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||||
\end{gather*}%
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||||
\vspace*{-8mm}
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||||
\begin{align*}
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||||
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
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||||
V(aX) &= a^2 V(x)\\
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||||
V(X+b) &= V(X)
|
||||
\end{align*}
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||||
\column{\kittwocolumns}
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||||
\centering
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\textbf{$p$-Quantil}
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\begin{gather*}
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||||
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
|
||||
\le x) \ge p \mright\}
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||||
\end{gather*}
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||||
\vspace*{-8mm}
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||||
\begin{gather*}
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||||
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
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||||
\equiv \text{``Median''}
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||||
\end{gather*}
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||||
\end{columns}
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||||
\end{itemize}
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\end{frame}
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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@ -523,7 +691,8 @@
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% beobachtet. Der Fehler tritt
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% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
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% eingetreten sind und mit der
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% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
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% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch
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$B$ eingetreten
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% sind. In allen anderen
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% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
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%
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@ -587,7 +756,8 @@
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% beobachtet. Der Fehler tritt
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% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
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% eingetreten sind und mit der
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% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
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||||
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch
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||||
$B$ eingetreten
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||||
% sind. In allen anderen
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||||
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
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%
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