tut4: Add solutions for exercise 2
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e516317a4e
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438a63e35e
@ -204,6 +204,7 @@
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% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
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erfüllen?
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\pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
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@ -238,7 +239,7 @@
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0, & x < 0
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\end{array} \right.
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\hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
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1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
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1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
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0, & x < 0
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\end{array} \right.
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\end{gather*}
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@ -272,6 +273,16 @@
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 2}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{sasdf}
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Aufgabe}
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\begin{frame}
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\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
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@ -295,21 +306,119 @@
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jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{sasdf}
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\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
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\vspace*{-10mm}
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In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
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hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
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verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
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gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
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Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
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Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
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Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
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$S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
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% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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\item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
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\begin{columns}[c]
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\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\pause \begin{gather*}
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X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
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\end{gather*}
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\begin{align*}
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P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
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\cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
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&= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
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&= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
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&\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
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&= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
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\end{align*}
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\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=4.6:5.3,
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xmin=4.7, xmax=5.3,
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width=14cm,
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height=6cm,
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xlabel={$x$},
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ylabel={$F_X (x)$},
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samples=100,
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xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
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]
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\addplot+[mark=none, line width=1pt]
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{1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
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||||
\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
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\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
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||||
\node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
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\node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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\end{columns}
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Aufgabe}
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\begin{frame}
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\frametitle{sasdf}
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\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
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\vspace*{-18mm}
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% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
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dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
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werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
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\pause\begin{gather*}
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P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
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\end{gather*}
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\vspace*{-18mm}
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\begin{columns}
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\pause\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{align*}
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P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
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&= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
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+ P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
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&= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
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||||
+ \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
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&= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
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||||
\end{align*}
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\pause\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{gather*}
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2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
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\Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
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\Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
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\approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
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\end{gather*}
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\end{columns}
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\pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
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Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
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Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
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\pause \begin{align*}
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P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
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&\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
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& = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\end{frame}
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\end{document}
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