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Andreas Tsouchlos 2025-11-02 13:48:37 +01:00
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46
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@ -269,9 +269,9 @@
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
oder groß ist.
\pause\begin{align*}
P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17
P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17
\end{align*}
\item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
@ -280,7 +280,7 @@
P(N_1 \vert \overline{K})
= \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
= \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
= \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153
= \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153
\end{align*}
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
@ -364,9 +364,9 @@
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
sind bekannt:
\begin{itemize}
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
\end{itemize}
@ -381,9 +381,9 @@
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
beobachtet. Der Fehler tritt
mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
eingetreten sind und mit der
Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
sind. In allen anderen
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
@ -408,9 +408,9 @@
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
sind bekannt:
\begin{itemize}
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
\end{itemize}
@ -420,16 +420,16 @@
Fehler $B$ und dafür, dass ein
Werkstück fehlerfrei ist.
\pause\begin{gather*}
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04
\end{gather*}\pause
\vspace*{-15mm}\begin{gather*}
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92
\end{gather*}
\vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
\pause\begin{gather*}
\left. \begin{array}{l}
P(AB) = 0.01 \\
P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
P(AB) = 0{,}01 \\
P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002
\end{array}\right\}
\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
\end{gather*}
@ -444,9 +444,9 @@
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
beobachtet. Der Fehler tritt
mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
eingetreten sind und mit der
Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
sind. In allen anderen
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
@ -459,7 +459,7 @@
P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
+ P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
&= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094
\end{align*}
\vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
@ -469,8 +469,8 @@
P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
&= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
&= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm]
P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
\end{align*}
\end{minipage}%
\hspace*{-10mm}
@ -486,8 +486,8 @@
P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm]
P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
\end{align*}
\end{minipage}
\end{enumerate}