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Andreas Tsouchlos 2025-11-02 14:02:58 +01:00
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35
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@ -231,7 +231,7 @@
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
der Wahrscheinlichkeit
$p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
@ -258,8 +258,8 @@
Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
Autofahrer auf der Landstraße bzw.
auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
liegt bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei
$p_\text{A} = 0,3$.
liegt bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei
$p_\text{A} = 0{,}3$.
\vspace*{5mm}
@ -285,7 +285,7 @@
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
der Wahrscheinlichkeit
$p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
@ -295,12 +295,12 @@
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
\pause\begin{gather*}
\Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
R \sim \text{Bin}(N=6, p=0,2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1,2
R \sim \text{Bin}(N=6, p=0{,}2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1{,}2
\end{gather*}
\vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
\pause \begin{gather*}
P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0,2^3\cdot 0,8^3 \approx 0,0819
P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^3 \approx 0{,}0819
\end{gather*}
\vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
Zufallsvariablen $R$.
@ -319,7 +319,8 @@
\begin{table}
\begin{tabular}{c|ccccccc}
$r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
$F_R(r)$ & 0,262 & 0,655 & 0,901 & 0,983 & 0,998 & 0,999 & 1
$F_R(r)$ & 0{,}262 & 0{,}655 & 0{,}901 & 0{,}983 &
0{,}998 & 0{,}999 & 1
\end{tabular}
\end{table}
\column{\kitthreecolumns}
@ -366,7 +367,7 @@
Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0,3$.
bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0{,}3$.
\vspace*{2mm}
@ -382,9 +383,9 @@
\end{gather*}%
\vspace*{-14mm}%
\begin{align*}
P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0,56 \\
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0,38 \\
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0,06
P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}56 \\
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}06
\end{align*}
\vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
@ -399,9 +400,9 @@
\centering
\begin{align*}
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0,38 +
2\cdot 0,06\right]\\[2mm]
&= 200\cdot 0,5 = 100
E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0{,}38 +
2\cdot 0{,}06\right]\\[2mm]
&= 200\cdot 0{,}5 = 100
\end{align*}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.06\textwidth}
@ -415,11 +416,11 @@
\begin{align*}
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
\text{Bin}(N=200,p=0,3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200,p=0,2)}\Big)\\[2mm]
\text{Bin}(N=200, p=0{,}3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200, p=0{,}2)}\Big)\\[2mm]
&= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
&= 200\cdot 0,3 + 200 \cdot 0,2 = 100
&= 200\cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}2 = 100
\end{align*}
\end{minipage}
\end{frame}