tut3: Add solutions for exercise 2
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611c728f9e
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3381d91dd7
@ -671,147 +671,252 @@
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Aufgabe}
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% \begin{frame}
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% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
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%
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% \vspace*{-18mm}
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%
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% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
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% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
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% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
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% sind bekannt:
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% \begin{itemize}
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% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
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% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||
% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
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% \end{itemize}
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%
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% % tex-fmt: off
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% \begin{enumerate}[a{)}]
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% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
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% Fehler $B$ und dafür, dass ein
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% Werkstück fehlerfrei ist.
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% \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
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% es auch Fehler $A$?
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% \end{enumerate}
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% % tex-fmt: on
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%
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||||
% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
||||
% beobachtet. Der Fehler tritt
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% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||
% eingetreten sind und mit der
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||||
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||
% sind. In allen anderen
|
||||
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
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%
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% % tex-fmt: off
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||||
% \begin{enumerate}[a{)}]
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% \setcounter{enumi}{2}
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% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
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||||
% Fehler $C$.
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||||
% \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
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% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
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% \end{enumerate}
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% % tex-fmt: on
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% \end{frame}
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%
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% \begin{frame}
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% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
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%
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% \vspace*{-10mm}
|
||||
%
|
||||
% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
|
||||
% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
|
||||
% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
||||
% sind bekannt:
|
||||
% \begin{itemize}
|
||||
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||
% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
||||
% \end{itemize}
|
||||
%
|
||||
% % tex-fmt: off
|
||||
% \begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
||||
% Fehler $B$ und dafür, dass ein
|
||||
% Werkstück fehlerfrei ist.
|
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% \pause\begin{gather*}
|
||||
% P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
|
||||
% \end{gather*}\pause
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||||
% \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
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||||
% P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
|
||||
% \end{gather*}
|
||||
% \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
||||
% es auch Fehler $A$?
|
||||
% \pause\begin{gather*}
|
||||
% \left. \begin{array}{l}
|
||||
% P(AB) = 0.01 \\
|
||||
% P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
|
||||
% \end{array}\right\}
|
||||
% \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
|
||||
% \end{gather*}
|
||||
% \end{enumerate}
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% % tex-fmt: on
|
||||
% \end{frame}
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%
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% \begin{frame}
|
||||
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
||||
%
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||||
% \vspace*{-13mm}
|
||||
%
|
||||
% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
||||
% beobachtet. Der Fehler tritt
|
||||
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||
% eingetreten sind und mit der
|
||||
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||
% sind. In allen anderen
|
||||
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
||||
%
|
||||
% % tex-fmt: off
|
||||
% \begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
% \setcounter{enumi}{2}
|
||||
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
||||
% Fehler $C$.
|
||||
% \pause\begin{align*}
|
||||
% P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
|
||||
% + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
|
||||
% + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
|
||||
% &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
|
||||
% \end{align*}
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||||
% \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
||||
% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
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% \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
||||
% \centering
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||||
% \begin{align*}
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||||
% P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
|
||||
% P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
|
||||
% &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
|
||||
% &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
|
||||
% P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
|
||||
% \end{align*}
|
||||
% \end{minipage}%
|
||||
% \hspace*{-10mm}
|
||||
% \begin{minipage}{0.06\textwidth}
|
||||
% \centering
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||||
% \begin{tikzpicture}
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||||
% \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm);
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
% \end{minipage}%
|
||||
% \begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
||||
% \centering
|
||||
% \begin{align*}
|
||||
% P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
|
||||
% P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
|
||||
% + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
|
||||
% &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
|
||||
% P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
|
||||
% \end{align*}
|
||||
% \end{minipage}
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||||
% \end{enumerate}
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||||
% % tex-fmt: on
|
||||
% \end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
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||||
Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
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\begin{figure}
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\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=1,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.2,...,1},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
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||||
]
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||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0)
|
||||
(1,0)
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.2)
|
||||
(2,0.6)
|
||||
(3,0.6)
|
||||
(3,0.7)
|
||||
(4,0.7)
|
||||
(4,0.9)
|
||||
(5,0.9)
|
||||
(5,1)
|
||||
(5.5,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
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\vspace*{-10mm}
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||||
% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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||||
\item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
|
||||
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
|
||||
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
|
||||
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
|
||||
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
|
||||
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
|
||||
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
|
||||
sind.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=1,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.2,...,1},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0)
|
||||
(1,0)
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.2)
|
||||
(2,0.6)
|
||||
(3,0.6)
|
||||
(3,0.7)
|
||||
(4,0.7)
|
||||
(4,0.9)
|
||||
(5,0.9)
|
||||
(5,1)
|
||||
(5.5,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
\pause
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\begin{figure}
|
||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=0.5,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.1,...,0.5},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$P_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
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||||
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.4)
|
||||
(3,0.1)
|
||||
(4,0.2)
|
||||
(5,0.1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
\vspace*{-12mm}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=0.5,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.1,...,0.5},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$P_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.4)
|
||||
(3,0.1)
|
||||
(4,0.2)
|
||||
(5,0.1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\vspace*{-5mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
|
||||
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
|
||||
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
|
||||
\pause\begin{align*}
|
||||
\psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3
|
||||
+ 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\
|
||||
\phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js}
|
||||
+ 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
\left.\begin{array}{c}
|
||||
V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm]
|
||||
E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j}
|
||||
= \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm]
|
||||
E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2}
|
||||
= \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4
|
||||
\end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
\vspace*{-5mm}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=1,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.2,...,1},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0)
|
||||
(1,0)
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.2)
|
||||
(2,0.6)
|
||||
(3,0.6)
|
||||
(3,0.7)
|
||||
(4,0.7)
|
||||
(4,0.9)
|
||||
(5,0.9)
|
||||
(5,1)
|
||||
(5.5,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
|
||||
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
|
||||
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
|
||||
sind.
|
||||
\pause\begin{align*}
|
||||
x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\
|
||||
E(X) &= 2{,}6
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\vspace*{5mm}
|
||||
\centering
|
||||
\pause\begin{minipage}{0.7\textwidth}
|
||||
Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten
|
||||
Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung
|
||||
symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h.,
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}.
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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