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dcfdb0ba9e
@ -232,7 +232,7 @@
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können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
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der Wahrscheinlichkeit
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$p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
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\Omega \rightarrow R$ beschreibt die Anzahl der
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\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
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Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
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% tex-fmt: off
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@ -276,6 +276,154 @@
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% tex-fmt: on
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
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\vspace*{-16mm}
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Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
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Landstraße durch. Die Radarkontrollen
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können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
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der Wahrscheinlichkeit
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$p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
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\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
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Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
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% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
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und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
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\pause\begin{gather*}
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\Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
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R \sim \text{Bin}(N=6, p=0.2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1.2
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\end{gather*}
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\vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
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Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
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\pause \begin{gather*}
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P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} 0.2^3 0.8^3 \approx 0.0819
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\end{gather*}
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\vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
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Zufallsvariablen $R$.
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\vspace*{2mm}
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\pause
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\begin{columns}
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\column{\kitthreecolumns}
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\begin{gather*}
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F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
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\binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
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\end{gather*}
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\begin{table}
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\begin{tabular}{c|ccccccc}
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$r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
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$F_R(r)$ & 0.262 & 0.655 & 0.901 & 0.983 & 0.998 & 0.999 & 1
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\end{tabular}
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\end{table}
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||||
\column{\kitthreecolumns}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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xmin=0,xmax=6,
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ymin=-0.2,ymax=1.2,
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xlabel=$r$,
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ylabel=$F_R(r)$,
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||||
width=12cm,
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height=5cm,
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]
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||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
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||||
coordinates
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{
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(0,0.262)
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||||
(1,0.262)
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||||
(1,0.655)
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||||
(2,0.655)
|
||||
(2,0.901)
|
||||
(3,0.901)
|
||||
(3,0.983)
|
||||
(4,0.983)
|
||||
(4,0.998)
|
||||
(5,0.998)
|
||||
(5,0.999)
|
||||
(6,0.999)
|
||||
(6,1)
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||||
};
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||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
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||||
\end{columns}
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}
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\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
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\vspace*{-16mm}
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Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
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Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
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dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
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Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
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bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0,3$.
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\vspace*{2mm}
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\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
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% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
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an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
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\pause\begin{gather*}
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R := A + L
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\end{gather*}%
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\vspace*{-14mm}%
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\begin{align*}
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P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0.56 \\
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||||
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0.38 \\
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||||
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0.06
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||||
\end{align*}
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||||
\vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
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seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
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Autofahrer innerhalb eines Jahres?
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\vspace*{-6mm}
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\pause
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\begin{minipage}{0.48\textwidth}
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\centering
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\begin{align*}
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E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
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E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0.38 +
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2\cdot 0.06\right]\\[2mm]
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||||
&= 200\cdot 0.5 = 100
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||||
\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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||||
\begin{minipage}{0.06\textwidth}
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||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{minipage}%
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||||
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
||||
\centering
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||||
\begin{align*}
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||||
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
|
||||
E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
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\text{Bin}(N=200,p=0.3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
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||||
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200,p=0.2)}\Big)\\[2mm]
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||||
&= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
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||||
E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
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||||
&= 200\cdot 0.3 + 200 \cdot 0.2 = 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}
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||||
\end{frame}
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% \begin{frame}
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%
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% \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}
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