tut4: Add solutions for exercise 2

src/2025-11-07/presentation.tex

@@ -137,7 +137,7 @@
                     \begin{align*}
                         \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
                         1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
-                        A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
+                        A &= \mleft\{ (1,1),(1,2), \ldots, (6,6) \mright\}
                     \end{align*}
                     \vspace*{-12mm}
                 \end{lightgrayhighlightbox}
@@ -372,7 +372,7 @@
                 \begin{lightgrayhighlightbox}
                     Beispiel:
                     \begin{gather*}
-                        \Omega = {A, B, C}\\
+                        \Omega = \{A, B, C\}\\
                         \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
                         (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
                     \end{gather*}

src/2025-12-05/presentation.tex

@@ -156,6 +156,9 @@
                     \overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
                     &= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
                 \end{align*}
+                \begin{gather*}
+                    P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)
+                \end{gather*}
                 \column{\kitthreecolumns}
                 \begin{lightgrayhighlightbox}
                     Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
@@ -281,7 +284,7 @@
             X \sim \text{Bin}(N,p)
         \end{gather*}
         \begin{gather*}
-            P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{1-k}
+            P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
         \end{gather*}
         \begin{align*}
             E(X) &= Np\\
@@ -335,7 +338,7 @@
         \begin{greenblock}{Binomialverteilung}
             \vspace*{-6mm}
             \begin{gather*}
-                P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{1-k}
+                P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
             \end{gather*}
             \begin{align*}
                 E(X) &= Np\\
@@ -510,9 +513,9 @@
             \end{gather*}%
             \vspace*{-14mm}%
             \begin{align*}
-                P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}56 \\
+                P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}06 \\
                 P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
-                P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}06
+                P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}56
             \end{align*}
         \vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
             seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
@@ -662,7 +665,7 @@
         \begin{greenblock}{Erzeugende Funktion}
             \vspace*{-6mm}
             \begin{gather*}
-                \psi(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(x=n)\\[5mm]
+                \psi(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(X=n)\\[5mm]
                 P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
             \end{gather*}
         \end{greenblock}

src/2025-12-09/presentation.tex

@@ -0,0 +1,425 @@
+\ifdefined\ishandout
+\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
+\else
+\documentclass[de]{CELbeamer}
+\fi
+
+%
+%
+% CEL Template
+%
+%
+
+\newcommand{\templates}{preambles}
+\input{\templates/packages.tex}
+\input{\templates/macros.tex}
+
+\grouplogo{CEL_logo.pdf}
+
+\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
+\groupnamewidth{80mm}
+
+\fundinglogos{}
+
+%
+%
+% Custom commands
+%
+%
+
+\input{lib/latex-common/common.tex}
+\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
+
+\newcommand{\res}{src/2025-12-19/res}
+
+% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
+% \captionsetup[sub]{font=small}
+
+%
+%
+% Document setup
+%
+%
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
+%\tikzexternalize[prefix=build/]
+
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=newest}
+\usepgfplotslibrary{fillbetween}
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{bbm}
+\usepackage{multirow}
+
+\usepackage{xcolor}
+
+\title{WT Tutorium 4}
+\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
+\date[]{19. Dezember 2025}
+
+%
+%
+% Document body
+%
+%
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
+    \titlepage
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 1}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{sasdf}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{align*}
+        f_X (x) =  \left\{
+            \begin{array}{ll}
+                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
+                0, &\text{sonst}
+            \end{array}
+            \right.
+    \end{align*}
+    % tex-fmt: on
+
+    mit dem Parameter $a > 0$.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
+            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
+            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
+            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
+        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
+            erfüllen?
+        \item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
+        \item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
+            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    \vspace*{-15mm}
+
+    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{align*}
+        f_X (x) =  \left\{
+            \begin{array}{ll}
+                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
+                0, &\text{sonst}
+            \end{array}
+            \right.
+    \end{align*}
+    % tex-fmt: on
+
+    mit dem Parameter $a > 0$.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
+            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
+            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
+            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
+            \pause\begin{columns}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{align*}
+                    \text{Eigenschaften:} \hspace{5mm}
+                    \left\{
+                    \begin{array}{rl}
+                        f_X(x) &\ge 0 \\[3mm]
+                        \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= 1
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \pause\begin{gather*}
+                    \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx
+                    = \int_{-\infty}^{\infty} C\cdot x e^{-ax^2} dx
+                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (-2ax) e^{-ax^2} dx  \\
+                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-ax^2})' dx
+                    = \frac{C}{-2a} \mleft[ e^{-ax^2} \mright]_0^{\infty} \overset{!}{=} 1 \hspace{10mm} \Rightarrow C = 2a
+                \end{gather*}
+                \centering
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \pause \begin{align*}
+                    f_X(x) =
+                    \left\{
+                        \begin{array}{ll}
+                            2ax \cdot e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
+                            0, & \text{sonst}
+                        \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \begin{figure}[H]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \begin{axis}[
+                            domain=0:5,
+                            width=12cm,
+                            height=5cm,
+                            samples=100,
+                            xlabel={$x$},
+                            ylabel={$f_X(x)$},
+                        ]
+                            \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                                {x * exp(-0.5*x*x)};
+                                % {x *exp(-a*x*x)};
+                        \end{axis}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{figure}
+            \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    \vspace*{-20mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
+            erfüllen?
+            \pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
+                \column{\kitonecolumn}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0\\
+                    \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1
+                \end{gather*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
+                    F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
+                    \hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
+                \end{gather*}
+                \column{\kitonecolumn}
+            \end{columns}
+        \pause\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
+        \begin{gather*}
+            f_X(x) = 2ax\cdot e^{-ax^2}, \hspace{5mm} x\ge 0
+        \end{gather*}
+        \pause \vspace*{-6mm}\begin{gather*}
+            F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
+            = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    \displaystyle\int_{0}^{x} 2au\cdot e^{-au^2} du, & x\ge 0 \\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    \mleft[ -e^{-au^2} \mright]_0^{x}, & x\ge 0 \\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+        \end{gather*}
+        \pause\begin{figure}[H]
+            \centering
+
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[
+                    domain=0:5,
+                    width=14cm,
+                    height=5cm,
+                    xlabel={$x$},
+                    ylabel={$F_X(x)$},
+                ]
+                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                        {1 - exp(-0.5 * x*x)};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+        \vspace*{-3mm}
+        \pause\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
+            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
+            \pause \begin{gather*}
+                P(\mleft\{ \omega: 1 < X(\omega) \le 2 \mright\})
+                = P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: off
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 2}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{sasdf}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
+    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
+    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
+    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
+    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
+    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
+    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
+    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
+        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
+            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
+            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
+        \item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der Mittelwert
+            $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt). Wie groß ist
+            jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
+    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
+    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
+    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
+    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
+    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
+    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
+    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
+            \begin{columns}[c]
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \centering
+            \pause \begin{gather*}
+                X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
+            \end{gather*}
+            \begin{align*}
+                P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
+                        \cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
+                     &= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
+                     &= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
+                     &\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
+                     &= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
+            \end{align*}
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \centering
+            \begin{figure}[H]
+                \centering
+
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        domain=4.6:5.3,
+                        xmin=4.7, xmax=5.3,
+                        width=14cm,
+                        height=6cm,
+                        xlabel={$x$},
+                        ylabel={$F_X (x)$},
+                        samples=100,
+                        xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
+                    ]
+                        \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                            {1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
+
+                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
+                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
+                        \node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
+                        \node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
+
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{figure}
+        \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
+            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
+            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
+            \pause\begin{gather*}
+                P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-18mm}
+            \begin{columns}
+                \pause\column{\kitthreecolumns}
+                \centering
+                \begin{align*}
+                    P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
+                    &= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
+                    &= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
+                        + \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
+                    &= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
+                \end{align*}
+                \pause\column{\kitthreecolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
+                    \Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
+                    \Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
+                    \approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
+                \end{gather*}
+            \end{columns}
+        \pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
+            Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
+            Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
+            \pause \begin{align*}
+                P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
+                    + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
+                &\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
+                & = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\end{document}
+