Fix exercise wording

src/2025-11-21/presentation.tex

@@ -0,0 +1,497 @@
+\ifdefined\ishandout
+\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
+\else
+\documentclass[de]{CELbeamer}
+\fi
+
+%
+%
+% CEL Template
+%
+%
+
+\newcommand{\templates}{preambles}
+\input{\templates/packages.tex}
+\input{\templates/macros.tex}
+
+\grouplogo{CEL_logo.pdf}
+
+\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
+\groupnamewidth{80mm}
+
+\fundinglogos{}
+
+%
+%
+% Custom commands
+%
+%
+
+\input{lib/latex-common/common.tex}
+\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
+
+\newcommand{\res}{src/2025-11-21/res}
+
+% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
+% \captionsetup[sub]{font=small}
+
+%
+%
+% Document setup
+%
+%
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
+%\tikzexternalize[prefix=build/]
+
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=newest}
+\usepgfplotslibrary{fillbetween}
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{bbm}
+\usepackage{multirow}
+
+\usepackage{xcolor}
+
+\title{WT Tutorium 2}
+\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
+\date[]{21. November 2025}
+
+%
+%
+% Document body
+%
+%
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
+    \titlepage
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 1}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Bedingte Wahrscheinlichkeiten \& Bayes}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{itemize}
+            \item Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
+                \begin{gather*}
+                    P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
+                \end{gather*}
+            \item Formel von Bayes
+                \begin{gather*}
+                    P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
+                \end{gather*}
+        \end{itemize}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{figure}
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \node[rectangle, minimum width=8cm, minimum height=5cm,
+                draw, line width=1pt, fill=black!20] at (0,0) {};
+                \node [circle, minimum size = 4cm,
+                    draw, line width=1pt, fill=KITgreen,
+                fill opacity = 0.5] at (1.25cm,0) {};
+                \draw[line width=1pt, fill=KITblue,
+                fill opacity = 0.5, rounded corners=5mm]
+                (-2.4cm, -2.25cm) -- (-2.4cm, 2.25cm) -- (1.1cm,0) -- cycle;
+
+                \node[left] at (4cm, 2cm) {\Large $\Omega$};
+                \node at (-1.8cm, 0) {$A$};
+                \node at (1.8cm, 0) {$B$};
+                \node at (0, 0) {$AB$};
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+    \end{columns}
+    \vspace*{1cm}
+    \pause
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{itemize}
+            \item Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
+                % tex-fmt: off
+                \begin{gather*}
+                    \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
+                    \begin{array}{l}
+                        A_1, A_2, \ldots \text{ disjunkt}\\
+                        \displaystyle\sum_{n} A_n = \Omega
+                    \end{array}
+                    \right.\\[1em]
+                    P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)\\
+                \end{gather*}
+                % tex-fmt: on
+        \end{itemize}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{figure}
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \newcommand{\hordist}{1.2cm}
+                \newcommand{\vertdist}{2cm}
+
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                minimum size=3mm] (root) at (0, 0) {};
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                    minimum size=3mm, below left=\vertdist and
+                2.4*\hordist of root] (n1) {};
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                    minimum size=3mm, below right=\vertdist and
+                2.4*\hordist of root] (n2) {};
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                    minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
+                of n1] (n11) {};
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                    minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
+                of n1] (n12) {};
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                    minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
+                of n2] (n21) {};
+                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
+                    minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
+                of n2] (n22) {};
+
+                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n1);
+                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n2);
+                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n11);
+                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n12);
+                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n21);
+                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n22);
+
+                \node[left] at ($(root)!0.4!(n1)$) {$P(A_1)$};
+                \node[right] at ($(root)!0.4!(n2)$) {$P(A_2)$};
+
+                \node[left] at ($(n1)!0.4!(n11)$) {$P(B\vert A_1)$};
+                \node[right] at ($(n1)!0.2!(n12)$) {$P(C\vert A_1)$};
+                \node[left] at ($(n2)!0.6!(n21)$) {$P(B\vert A_2)$};
+                \node[right] at ($(n2)!0.4!(n22)$) {$P(C\vert A_2)$};
+
+                \node[below] at (n11) {$P(BA_1)$};
+                \node[below] at (n12) {$P(CA_2)$};
+                \node[below] at (n21) {$P(BA_1)$};
+                \node[below] at (n22) {$P(CA_2)$};
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusammenfassung}
+
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+    \begin{columns}
+        \column{\kitonecolumn}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kitonecolumn}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+
+    \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}
+
+    In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
+    werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
+    \begin{itemize}
+        \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
+        \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
+            mittelgroß und $10\%$ klein.
+        \item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$
+            mittelgroß und $35\%$ klein.
+    \end{itemize}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
+            ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
+            oder groß ist.
+        \item Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
+            welcher Wahrscheinlichkeit ist es
+            einäugig?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+    \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}
+
+    In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
+    werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
+    \begin{itemize}
+        \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
+        \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
+            mittelgroß und $10\%$ klein.
+        \item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$
+            mittelgroß und $35\%$ klein.
+    \end{itemize}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
+            ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
+            oder groß ist.
+            \pause\begin{align*}
+                P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\
+                P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\
+                P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17
+            \end{align*}
+        \item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
+            welcher Wahrscheinlichkeit ist es
+            einäugig?
+            \pause\begin{align*}
+                P(N_1 \vert \overline{K})
+                = \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
+                = \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
+                = \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 2}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Erweiterte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)}
+            \end{gather*}
+        \item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)}
+            \end{gather*}
+            \pause
+        \item Unabhängigkeit
+            \begin{gather*}
+                A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm}
+                \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B)
+                \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A)
+            \end{gather*}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusammenfassung}
+
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(AB) = P(A) P(B)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
+    aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
+    beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
+    sind bekannt:
+    \begin{itemize}
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
+            Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
+    \end{itemize}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
+            Fehler $B$ und dafür, dass ein
+            Werkstück fehlerfrei ist.
+        \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
+    beobachtet. Der Fehler tritt
+    mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
+    eingetreten sind und mit der
+    Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+    sind. In allen anderen
+    Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
+            Fehler $C$.
+        \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
+            welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
+    aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
+    beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
+    sind bekannt:
+    \begin{itemize}
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
+            Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
+    \end{itemize}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
+            Fehler $B$ und dafür, dass ein
+            Werkstück fehlerfrei ist.
+            \pause\begin{gather*}
+                P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
+            \end{gather*}\pause
+            \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
+                P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
+            \pause\begin{gather*}
+                \left. \begin{array}{l}
+                   P(AB) = 0.01 \\
+                   P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
+               \end{array}\right\}
+               \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
+
+    \vspace*{-13mm}
+
+    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
+    beobachtet. Der Fehler tritt
+    mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
+    eingetreten sind und mit der
+    Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+    sind. In allen anderen
+    Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
+            Fehler $C$.
+            \pause\begin{align*}
+                P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
+                + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
+                + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
+                &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
+            \end{align*}
+        \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
+            welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
+            \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth}
+                \centering
+                \begin{align*}
+                    P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
+                    P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
+                          &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
+                          &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
+                    P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
+                \end{align*}
+            \end{minipage}%
+            \hspace*{-10mm}
+            \begin{minipage}{0.06\textwidth}
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm);
+                \end{tikzpicture}
+            \end{minipage}%
+            \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+                \centering
+                \begin{align*}
+                    P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
+                    P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
+                                + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
+                                &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
+                    P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
+                \end{align*}
+            \end{minipage}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\end{document}

src/template/presentation.tex

@@ -1,308 +0,0 @@
-\ifdefined\ishandout
-  \documentclass[de, handout]{CELbeamer}
-\else
-  \documentclass[de]{CELbeamer}
-\fi
-
-%
-%
-% CEL Template
-%
-%
-
-\newcommand{\templates}{preambles}
-\input{\templates/packages.tex}
-\input{\templates/macros.tex}
-
-\grouplogo{CEL_logo.pdf}
-
-\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
-\groupnamewidth{80mm}
-
-\fundinglogos{}
-
-%
-%
-% Custom commands
-%
-%
-
-\input{lib/latex-common/common.tex}
-\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
-
-%TODO: Fix path
-\newcommand{\res}{src/template/res}
-
-% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
-% \captionsetup[sub]{font=small}
-
-%
-%
-% Document setup
-%
-%
-
-\usepackage{tikz}
-\usepackage{tikz-3dplot}
-\usetikzlibrary{spy, external, intersections}
-%\tikzexternalize[prefix=build/]
-
-\usepackage{pgfplots}
-\pgfplotsset{compat=newest}
-\usepgfplotslibrary{fillbetween}
-
-\usepackage{listings}
-\usepackage{subcaption}
-\usepackage{bbm}
-\usepackage{multirow}
-
-\usepackage{xcolor}
-
-\title{WT Tutorium 1}
-\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
-\date[]{\today}
-
-%
-%
-% Document body
-%
-%
-
-\begin{document}
-
-\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
-    \titlepage
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Aufgabe 1}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Theorie}
-
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
-\begin{frame}
-    \frametitle{Relevante Theorie I}
-
-    \begin{columns}
-        \column{\kitthreecolumns}
-        \begin{greenblock}{Zufallsvariablen (ZV)}%
-            \vspace*{-6mm}
-            \begin{gather*}
-                f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
-                P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
-                E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
-            \end{gather*}
-        \end{greenblock}
-
-        \column{\kitthreecolumns}
-        \begin{greenblock}{Important Equations}%
-            \vspace*{-6mm}
-            \begin{gather*}
-                f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
-                P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
-                E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
-            \end{gather*}
-        \end{greenblock}
-    \end{columns}
-
-    \begin{greenblock}{Normalverteilung}
-        \begin{columns}
-            \column{\kitthreecolumns}
-            \begin{gather*}
-                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
-                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
-                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
-            \end{gather*}
-
-            \column{\kitthreecolumns}
-            \begin{figure}
-                \centering
-                \begin{tikzpicture}
-                    \begin{axis}[
-                        domain=-4:4,
-                        samples=100,
-                        width=11cm,
-                        height=6cm,
-                        ticks=none,
-                        xlabel={$x$},
-                        ylabel={$f_X(x)$}
-                        ]
-                        \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
-                    \end{axis}
-                \end{tikzpicture}
-            \end{figure}
-        \end{columns}
-    \end{greenblock}
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Aufgabe}
-
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
-\begin{frame}
-    \frametitle{2022H - Aufgabe 4}
-
-    Für die Planung und Konstruktion von Windkraftanlagen ist eine
-    statistische Modellierung der
-    Windgeschwindigkeit essentiell. Die absolute Windgeschwindigkeit
-    kann als Weibull-verteilte
-    Zufallsvariable V mit den Parametern $\beta > 0$ und $\theta > 0$
-    modelliert werden. Die zugehörige
-    Verteilungsfunktion ist%
-    %
-    \begin{gather*}
-        F_V(v) = 1 - exp\left( -\left( \frac{v}{\theta} \right)^\beta
-        \right), \hspace{3mm} v \ge 0
-    \end{gather*}
-    %
-
-    \begin{enumerate}
-        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_V(v)$
-            der Weibullverteilung.
-        \item Eine Windkraftanlage speist Strom in das Stromnetz ein,
-            wenn die absolute Windgeschwindigkeit größer als $4
-            m/s$, jedoch kleiner als $25 m/s$ ist. Berechnen Sie die
-            Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Windkraftanlage Strom
-            einspeist, wenn die Windgeschwindigkeit Weibull-verteilt
-            mit $\beta = 2,0$ und $\theta = 6,0$ ist.
-        \item Eine Zufallsvariable W genüge einer Weibullverteilung
-            mit $\beta = 1$ und $\theta = 3$. Ermitteln Sie den
-            Erwartungsvert $E(W)$.
-        \item Warum ist die Weibullverteilung für die Modellierung
-            der absoluten Windgeschwindigkeit besser geeignet als
-            eine Normalverteilung?
-    \end{enumerate}
-
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Aufgabe 2}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Theorie}
-
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
-\begin{frame}
-    \frametitle{Relevante Theorie II}
-
-    \begin{gather*}
-        f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
-        P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
-        E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
-    \end{gather*}
-
-    \begin{figure}
-        \centering
-
-        \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
-            \centering
-            \begin{gather*}
-                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
-                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
-                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
-            \end{gather*}
-        \end{subfigure}%
-        \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
-            \centering
-            \begin{tikzpicture}
-                \begin{axis}[
-                        domain=-4:4,
-                        samples=100,
-                        width=\textwidth,
-                        height=0.5\textwidth,
-                        ticks=none,
-                        xlabel={$x$},
-                        ylabel={$f_X(x)$}
-                    ]
-                    \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
-                \end{axis}
-            \end{tikzpicture}
-        \end{subfigure}
-    \end{figure}
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Aufgabe}
-
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
-\begin{frame}
-    \frametitle{2022H - Aufgabe 4}
-
-    Für die Planung und Konstruktion von Windkraftanlagen ist eine
-    statistische Modellierung der
-    Windgeschwindigkeit essentiell. Die absolute Windgeschwindigkeit
-    kann als Weibull-verteilte
-    Zufallsvariable V mit den Parametern $\beta > 0$ und $\theta > 0$
-    modelliert werden. Die zugehörige
-    Verteilungsfunktion ist%
-    %
-    \begin{gather*}
-        F_V(v) = 1 - exp\left( -\left( \frac{v}{\theta} \right)^\beta
-        \right), \hspace{3mm} v \ge 0
-    \end{gather*}
-    %
-
-    \begin{enumerate}
-        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_V(v)$
-            der Weibullverteilung.
-        \item Eine Windkraftanlage speist Strom in das Stromnetz ein,
-            wenn die absolute Windgeschwindigkeit größer als $4
-            m/s$, jedoch kleiner als $25 m/s$ ist. Berechnen Sie die
-            Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Windkraftanlage Strom
-            einspeist, wenn die Windgeschwindigkeit Weibull-verteilt
-            mit $\beta = 2,0$ und $\theta = 6,0$ ist.
-        \item Eine Zufallsvariable W genüge einer Weibullverteilung
-            mit $\beta = 1$ und $\theta = 3$. Ermitteln Sie den
-            Erwartungsvert $E(W)$.
-        \item Warum ist die Weibullverteilung für die Modellierung
-            der absoluten Windgeschwindigkeit besser geeignet als
-            eine Normalverteilung?
-    \end{enumerate}
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Zusammenfassung}
-
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
-\begin{frame}
-    \frametitle{Zusammenfassung}
-
-    \begin{gather*}
-        f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
-        P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
-        E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
-    \end{gather*}
-
-    \begin{figure}
-        \centering
-
-        \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
-            \centering
-            \begin{gather*}
-                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
-                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
-                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
-            \end{gather*}
-        \end{subfigure}%
-        \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
-            \centering
-            \begin{tikzpicture}
-                \begin{axis}[
-                        domain=-4:4,
-                        samples=100,
-                        width=\textwidth,
-                        height=0.5\textwidth,
-                        ticks=none,
-                        xlabel={$x$},
-                        ylabel={$f_X(x)$}
-                    ]
-                    \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
-                \end{axis}
-            \end{tikzpicture}
-        \end{subfigure}
-    \end{figure}
-\end{frame}
-
-\end{document}
-