Add theory for exercise 2

src/2025-11-21/presentation.tex

@@ -219,135 +219,6 @@
     \end{columns}
 \end{frame}
 
-% \begin{frame}{Ereignisse \& Laplace}
-%     \vspace*{-15mm}
-%     \begin{itemize}
-%         \item Ereignisse
-%             \begin{columns}
-%                 \column{\kitthreecolumns}
-%                 \begin{align*}
-%                     \text{Ergebnisraum: } & \hspace{5mm} \Omega =
-%                     \mleft\{ \omega_1, \ldots, \omega_N \mright\}\\
-%                     \text{Ergebnis: } & \hspace{5mm} \omega_i\\
-%                     \text{Ereignis: } & \hspace{5mm} A \subseteq \Omega
-%                 \end{align*}
-%                 \column{\kitthreecolumns}
-%                 \begin{lightgrayhighlightbox}
-%                     Beispiel: Würfeln mit einem Würfel
-%                     \begin{align*}
-%                         \Omega &= \mleft\{ 1, \ldots, 6 \mright\}\\
-%                         A &= \mleft\{ 1, 6 \mright\}
-%                     \end{align*}\\[1em]
-%                     \vspace*{-12mm}
-%                 \end{lightgrayhighlightbox}
-%                 \begin{lightgrayhighlightbox}
-%                     Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
-%                     \begin{align*}
-%                         \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
-%                         1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
-%                         A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
-%                     \end{align*}
-%                     \vspace*{-12mm}
-%                 \end{lightgrayhighlightbox}
-%                 \vspace*{0mm}
-%             \end{columns}\pause
-%         \item Laplace'sches Zufallsexperiment
-%             % tex-fmt: off
-%             \begin{gather*}
-%                 \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
-%                     \begin{array}{l}
-%                         \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\
-%                         P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert}
-%                     \end{array}
-%                     \right.\\[1em]
-%                     P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
-%                     \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
-%                     Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
-%                 \end{gather*}
-%             % tex-fmt: on
-%     \end{itemize}
-% \end{frame}
-%
-% \begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung}
-%     \begin{itemize}
-%         \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne
-%             Betrachtung der Reihenfolge
-%             \vspace*{5mm}
-%             \begin{columns}
-%                 \column{\kitthreecolumns}
-%                 \begin{gather*}
-%                     \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
-%                     \frac{N!}{(N-K)!K!}
-%                 \end{gather*}
-%                 \column{\kitthreecolumns}
-%                 \begin{lightgrayhighlightbox}
-%                     Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
-%                     es beim Lotto ``6 aus 49''?
-%                     \vspace*{0mm}
-%                     \begin{align*}
-%                         \begin{array}{c}
-%                             N = 49 \\
-%                             K = 6
-%                         \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
-%                         \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
-%                     \end{align*}
-%                     \vspace*{-8mm}
-%                 \end{lightgrayhighlightbox}
-%             \end{columns}
-%             \pause
-%         \item Hypergeometrische Verteilung
-%             \begin{columns}
-%                 \column{\kitthreecolumns}
-%                 \begin{gather*}
-%                     P_r =
-% \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
-%                 \end{gather*}
-%                 \column{\kitthreecolumns}
-%                 \begin{lightgrayhighlightbox}
-%                     Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
-%                     R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
-%                     beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
-%                     genau r rote zu erwischen?
-%                 \end{lightgrayhighlightbox}
-%             \end{columns}
-%     \end{itemize}
-% \end{frame}
-%
-% \begin{frame}{Zusammenfassung}
-%     \begin{columns}
-%         \column{\kitthreecolumns}
-%         \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
-%             \vspace*{-6mm}
-%             \begin{gather*}
-%                 P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
-%                 \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
-%                 Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
-%             \end{gather*}
-%         \end{greenblock}
-%
-%         \column{\kitthreecolumns}
-%         \begin{greenblock}{Kombinationen}%
-%             \vspace*{-6mm}
-%             \begin{gather*}
-%                 \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
-%                 \frac{N!}{(N-K)!K!}
-%             \end{gather*}
-%         \end{greenblock}
-%     \end{columns}
-%
-%     \begin{columns}
-%         \column{\kitonecolumn}
-%         \column{\kitthreecolumns}
-%         \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}%
-%             \vspace*{-6mm}
-%             \begin{gather*}
-%                 P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
-%             \end{gather*}
-%         \end{greenblock}
-%         \column{\kitonecolumn}
-%     \end{columns}
-% \end{frame}
-
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Aufgabe}
 
@@ -384,6 +255,64 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Theorie Wiederholung}
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Erweiterte definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)}
+            \end{gather*}
+        \item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)}
+            \end{gather*}
+        \pause \item Unabhängigkeit
+            \begin{gather*}
+                A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm}
+                \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B)
+                \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A)
+            \end{gather*}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zusammenfassung}
+
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen}
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{gather*}
+                P(AB) = P(A) P(B)
+            \end{gather*}
+        \end{greenblock}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
 % \begin{frame}
 %     \frametitle{Kombinatorik}
 %