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Andreas Tsouchlos 2025-10-26 13:54:54 +01:00
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423
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@ -0,0 +1,423 @@
\ifdefined\ishandout
\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
\else
\documentclass[de]{CELbeamer}
\fi
%
%
% CEL Template
%
%
\newcommand{\templates}{preambles}
\input{\templates/packages.tex}
\input{\templates/macros.tex}
\grouplogo{CEL_logo.pdf}
\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
\groupnamewidth{80mm}
\fundinglogos{}
%
%
% Custom commands
%
%
\input{lib/latex-common/common.tex}
\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
\newcommand{\res}{src/2025-11-21/res}
% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}
%
%
% Document setup
%
%
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{spy, external, intersections}
%\tikzexternalize[prefix=build/]
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{listings}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{bbm}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xcolor}
\title{WT Tutorium 2}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{21. November 2025}
%
%
% Document body
%
%
\begin{document}
\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
\titlepage
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}
% \begin{frame}{Ereignisse \& Laplace}
% \vspace*{-15mm}
% \begin{itemize}
% \item Ereignisse
% \begin{columns}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{align*}
% \text{Ergebnisraum: } & \hspace{5mm} \Omega =
% \mleft\{ \omega_1, \ldots, \omega_N \mright\}\\
% \text{Ergebnis: } & \hspace{5mm} \omega_i\\
% \text{Ereignis: } & \hspace{5mm} A \subseteq \Omega
% \end{align*}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{lightgrayhighlightbox}
% Beispiel: Würfeln mit einem Würfel
% \begin{align*}
% \Omega &= \mleft\{ 1, \ldots, 6 \mright\}\\
% A &= \mleft\{ 1, 6 \mright\}
% \end{align*}\\[1em]
% \vspace*{-12mm}
% \end{lightgrayhighlightbox}
% \begin{lightgrayhighlightbox}
% Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
% \begin{align*}
% \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
% 1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
% A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
% \end{align*}
% \vspace*{-12mm}
% \end{lightgrayhighlightbox}
% \vspace*{0mm}
% \end{columns}\pause
% \item Laplace'sches Zufallsexperiment
% % tex-fmt: off
% \begin{gather*}
% \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
% \begin{array}{l}
% \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\
% P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert}
% \end{array}
% \right.\\[1em]
% P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
% \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
% Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
% \end{gather*}
% % tex-fmt: on
% \end{itemize}
% \end{frame}
%
% \begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung}
% \begin{itemize}
% \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne
% Betrachtung der Reihenfolge
% \vspace*{5mm}
% \begin{columns}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{gather*}
% \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
% \frac{N!}{(N-K)!K!}
% \end{gather*}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{lightgrayhighlightbox}
% Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
% es beim Lotto ``6 aus 49''?
% \vspace*{0mm}
% \begin{align*}
% \begin{array}{c}
% N = 49 \\
% K = 6
% \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
% \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
% \end{align*}
% \vspace*{-8mm}
% \end{lightgrayhighlightbox}
% \end{columns}
% \pause
% \item Hypergeometrische Verteilung
% \begin{columns}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{gather*}
% P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
% \end{gather*}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{lightgrayhighlightbox}
% Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
% R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
% beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
% genau r rote zu erwischen?
% \end{lightgrayhighlightbox}
% \end{columns}
% \end{itemize}
% \end{frame}
%
% \begin{frame}{Zusammenfassung}
% \begin{columns}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
% \vspace*{-6mm}
% \begin{gather*}
% P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
% \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
% Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
% \end{gather*}
% \end{greenblock}
%
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{greenblock}{Kombinationen}%
% \vspace*{-6mm}
% \begin{gather*}
% \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
% \frac{N!}{(N-K)!K!}
% \end{gather*}
% \end{greenblock}
% \end{columns}
%
% \begin{columns}
% \column{\kitonecolumn}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}%
% \vspace*{-6mm}
% \begin{gather*}
% P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
% \end{gather*}
% \end{greenblock}
% \column{\kitonecolumn}
% \end{columns}
% \end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}
\begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}
In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
\begin{itemize}
\item 80\% der Minions haben zwei Augen, 20\% nur eines.
\item Von den zweiäugigen Minions sind 20\% groß, 70\%
mittelgroß und 10\% klein.
\item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, 60\%
mittelgroß und 35\% klein.
\end{itemize}
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
oder groß ist.
\item Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
einäugig?
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}
% \begin{frame}
% \frametitle{Kombinatorik}
%
% \vspace*{-18mm}
%
% \begin{itemize}
% \item Potenzmenge
% \vspace*{-2mm}
% \begin{columns}
% \column{\kitfourcolumns}
% \begin{align*}
% \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
% A \subseteq \Omega \mright\} \hspace{10mm}
% \left(\text{``Menge aller
% Teilmengen von $\Omega$''}\right)
% \end{align*}
% \column{\kittwocolumns}
% \begin{lightgrayhighlightbox}
% Beispiel
% \begin{gather*}
% \Omega = \{ A, B, C \}
% \end{gather*}%
% \vspace*{-15mm}%
% \begin{align*}
% \mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset,
% \mleft\{ A \mright\}, \mleft\{ B \mright\},
% \mleft\{ C \mright\}, \mleft\{ A, B \mright\},\\
% &\mleft\{ A, C \mright\},
% \mleft\{ B, C \mright\}, \mleft\{ A, B, C
% \mright\} \}
% \end{align*}%
% \vspace*{-14mm}%
% \end{lightgrayhighlightbox}
% \end{columns}
% \vspace*{-3mm}
% \item \pause Variationen und Kombinationen
% \setlength\extrarowheight{2mm}
% \begin{table}
% \begin{tabular}{r||l|l}
% & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
% \\\hline\hline Mit Reihenfolge
% (\textit{Variationen}) & $\lvert
% \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
% V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
% Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
% $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
% \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
% = \binom{N}{K} $
% \end{tabular}
% \end{table}
% \item \pause Permutationen
% \begin{columns}
% \column{\kitfourcolumns}
% \begin{gather*}
% \Pi_N = \mleft\{ \mleft( a_1, \ldots, a_N
% \mright) \in \Omega : a_i \neq a_j, i \neq j
% \mright\}\\
% \begin{array}{r}
% \text{Alle Elemente von $\Omega$ unterscheidbar:} \\
% \text{Jeweils $L_1, L_2, \ldots, L_M$ der Elemente
% sind gleich:}
% \end{array}
% \hspace{5mm}
% \begin{array}{rl}
% \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
% \lvert \Pi_N^{(L_1,
% L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
% \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
% \end{array}
% \end{gather*}
% \column{\kittwocolumns}
% \begin{lightgrayhighlightbox}
% Beispiel:
% \begin{gather*}
% \Omega = {A, B, C}\\
% \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
% (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
% \end{gather*}
% \vspace*{-14mm}%
% \end{lightgrayhighlightbox}
% \end{columns}
% \end{itemize}
% \end{frame}
%
% \begin{frame}
% \frametitle{Zusammenfassung}
%
% \begin{columns}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{greenblock}{Potenzmenge}
% \vspace*{-6mm}
% \begin{gather*}
% \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
% A \subseteq \Omega \mright\}
% \end{gather*}
% \end{greenblock}
% \column{\kitthreecolumns}
% \begin{greenblock}{Permutationen}
% \vspace*{-6mm}
% \begin{align*}
% \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
% \lvert \Pi_N^{(L_1, L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
% \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
% \end{align*}
% \end{greenblock}
% \end{columns}
% \begin{columns}
% \column{\kitonecolumn}
% \column{\kitfourcolumns}
% \begin{greenblock}{Variationen \& Kombinationen }
% \begin{table}
% \begin{tabular}{r||l|l}
% & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
% \\\hline\hline Mit Reihenfolge
% (\textit{Variationen}) & $\lvert
% \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
% V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
% Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
% $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
% \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
% = \binom{N}{K} $
% \end{tabular}
% \end{table}
% \end{greenblock}
% \column{\kitonecolumn}
% \end{columns}
% \end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}
\begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
\vspace*{-18mm}
Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
aufweisen: Fehler A, Fehler B, oder
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
\begin{itemize}
\item mit Wahrscheinlichkeit 0,05 hat ein Werkstück den Fehler A
\item mit Wahrscheinlichkeit 0,01 hat ein Werkstück beide Fehler
\item mit Wahrscheinlichkeit 0,03 hat ein Werkstück nur den
Fehler B und nicht Fehler A.
\end{itemize}
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von
Fehler B und dafür, dass ein
Werkstück fehlerfrei ist.
\item Ist das Auftreten von Fehler A unabhängig von Fehler B?
es auch Fehler A?
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler C
beobachtet. Der Fehler tritt
mit der Wahrscheinlichkeit 0,01 ein, wenn weder Fehler A noch B
eingetreten sind und mit der
Wahrscheinlichkeit 0,02, wenn sowohl Fehler A als auch B eingetreten
sind. In allen anderen
Fällen tritt der Fehler C nicht auf.
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\setcounter{enumi}{2}
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von
Fehler C.
\item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler C hat. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit hat
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
\end{document}