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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe} \subsection{Aufgabe}
% \begin{frame} \begin{frame}
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
%
% \vspace*{-18mm} Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
%
% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler \begin{figure}
% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder \centering
% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten \begin{tikzpicture}
% sind bekannt: \begin{axis}[
% \begin{itemize} xmin=0,xmax=5.5,
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ ymin=0,ymax=1,
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler xtick={0,...,5},
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den ytick={0,0.2,...,1},
% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. xlabel=$x$,
% \end{itemize} ylabel=$F_X(x)$,
% width=12cm,
% % tex-fmt: off height=5cm,
% \begin{enumerate}[a{)}] ]
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von \addplot+[mark=none, line width=1pt]
% Fehler $B$ und dafür, dass ein coordinates
% Werkstück fehlerfrei ist. {
% \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? (0,0)
% es auch Fehler $A$? (1,0)
% \end{enumerate} (1,0.2)
% % tex-fmt: on (2,0.2)
% (2,0.6)
% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ (3,0.6)
% beobachtet. Der Fehler tritt (3,0.7)
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ (4,0.7)
% eingetreten sind und mit der (4,0.9)
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten (5,0.9)
% sind. In allen anderen (5,1)
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. (5.5,1)
% };
% % tex-fmt: off \end{axis}
% \begin{enumerate}[a{)}] \end{tikzpicture}
% \setcounter{enumi}{2} \end{figure}
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
% Fehler $C$. \vspace*{-10mm}
% \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? % tex-fmt: off
% \end{enumerate} \begin{enumerate}[a{)}]
% % tex-fmt: on \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
% \end{frame} \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
% charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
% \begin{frame} von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
% beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
% \vspace*{-10mm} diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
% sind.
% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler \end{enumerate}
% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder % tex-fmt: on
% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten \end{frame}
% sind bekannt:
% \begin{itemize} \begin{frame}
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
% \end{itemize} \begin{figure}
% \centering
% % tex-fmt: off \begin{tikzpicture}
% \begin{enumerate}[a{)}] \begin{axis}[
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von xmin=0,xmax=5.5,
% Fehler $B$ und dafür, dass ein ymin=0,ymax=1,
% Werkstück fehlerfrei ist. xtick={0,...,5},
% \pause\begin{gather*} ytick={0,0.2,...,1},
% P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04 xlabel=$x$,
% \end{gather*}\pause ylabel=$F_X(x)$,
% \vspace*{-15mm}\begin{gather*} width=12cm,
% P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92 height=5cm,
% \end{gather*} ]
% \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? \addplot+[mark=none, line width=1pt]
% es auch Fehler $A$? coordinates
% \pause\begin{gather*} {
% \left. \begin{array}{l} (0,0)
% P(AB) = 0.01 \\ (1,0)
% P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002 (1,0.2)
% \end{array}\right\} (2,0.2)
% \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig} (2,0.6)
% \end{gather*} (3,0.6)
% \end{enumerate} (3,0.7)
% % tex-fmt: on (4,0.7)
% \end{frame} (4,0.9)
% (5,0.9)
% \begin{frame} (5,1)
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} (5.5,1)
% };
% \vspace*{-13mm} \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ \end{figure}
% beobachtet. Der Fehler tritt
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ \vspace*{-10mm}
% eingetreten sind und mit der
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten % tex-fmt: off
% sind. In allen anderen \begin{enumerate}[a{)}]
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
% \end{enumerate}
% % tex-fmt: off % tex-fmt: on
% \begin{enumerate}[a{)}]
% \setcounter{enumi}{2} \pause
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von \begin{figure}
% Fehler $C$. \centering
% \pause\begin{align*} \begin{tikzpicture}
% P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B}) \begin{axis}[
% + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B) xmin=0,xmax=5.5,
% + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\ ymin=0,ymax=0.5,
% &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094 xtick={0,...,5},
% \end{align*} ytick={0,0.1,...,0.5},
% \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit xlabel=$x$,
% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? ylabel=$P_X(x)$,
% \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth} width=12cm,
% \centering height=5cm,
% \begin{align*} ]
% P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm] \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
% P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\ coordinates
% &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\ {
% &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm] (1,0.2)
% P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213 (2,0.4)
% \end{align*} (3,0.1)
% \end{minipage}% (4,0.2)
% \hspace*{-10mm} (5,0.1)
% \begin{minipage}{0.06\textwidth} };
% \centering \end{axis}
% \begin{tikzpicture} \end{tikzpicture}
% \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm); \end{figure}
% \end{tikzpicture} \end{frame}
% \end{minipage}%
% \begin{minipage}{0.48\textwidth} \begin{frame}
% \centering \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
% \begin{align*}
% P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm] \vspace*{-12mm}
% P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
% + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\ \begin{figure}
% &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm] \centering
% P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213 \begin{tikzpicture}
% \end{align*} \begin{axis}[
% \end{minipage} xmin=0,xmax=5.5,
% \end{enumerate} ymin=0,ymax=0.5,
% % tex-fmt: on xtick={0,...,5},
% \end{frame} ytick={0,0.1,...,0.5},
xlabel=$x$,
ylabel=$P_X(x)$,
width=12cm,
height=5cm,
]
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
coordinates
{
(1,0.2)
(2,0.4)
(3,0.1)
(4,0.2)
(5,0.1)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\vspace*{-5mm}
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
\pause\begin{align*}
\psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3
+ 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\
\phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js}
+ 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s}
\end{align*}
\pause\begin{gather*}
\left.\begin{array}{c}
V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm]
E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j}
= \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm]
E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2}
= \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4
\end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64
\end{gather*}
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
\vspace*{-5mm}
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xmin=0,xmax=5.5,
ymin=0,ymax=1,
xtick={0,...,5},
ytick={0,0.2,...,1},
xlabel=$x$,
ylabel=$F_X(x)$,
width=12cm,
height=5cm,
]
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
coordinates
{
(0,0)
(1,0)
(1,0.2)
(2,0.2)
(2,0.6)
(3,0.6)
(3,0.7)
(4,0.7)
(4,0.9)
(5,0.9)
(5,1)
(5.5,1)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
sind.
\pause\begin{align*}
x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\
E(X) &= 2{,}6
\end{align*}
\vspace*{5mm}
\centering
\pause\begin{minipage}{0.7\textwidth}
Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten
Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung
symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h.,
\begin{gather*}
P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}.
\end{gather*}
\end{minipage}
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
\end{document} \end{document}