From 3381d91dd79a8e4c120ae37f3c7220722d713d84 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andreas Tsouchlos Date: Mon, 3 Nov 2025 17:23:16 +0100 Subject: [PATCH] tut3: Add solutions for exercise 2 --- src/2025-12-05/presentation.tex | 387 ++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 246 insertions(+), 141 deletions(-) diff --git a/src/2025-12-05/presentation.tex b/src/2025-12-05/presentation.tex index ee67730..afa70dd 100644 --- a/src/2025-12-05/presentation.tex +++ b/src/2025-12-05/presentation.tex @@ -671,147 +671,252 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Aufgabe} -% \begin{frame} -% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} -% -% \vspace*{-18mm} -% -% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler -% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder -% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten -% sind bekannt: -% \begin{itemize} -% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ -% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler -% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den -% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. -% \end{itemize} -% -% % tex-fmt: off -% \begin{enumerate}[a{)}] -% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von -% Fehler $B$ und dafür, dass ein -% Werkstück fehlerfrei ist. -% \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? -% es auch Fehler $A$? -% \end{enumerate} -% % tex-fmt: on -% -% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ -% beobachtet. Der Fehler tritt -% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ -% eingetreten sind und mit der -% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten -% sind. In allen anderen -% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. -% -% % tex-fmt: off -% \begin{enumerate}[a{)}] -% \setcounter{enumi}{2} -% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von -% Fehler $C$. -% \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit -% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? -% \end{enumerate} -% % tex-fmt: on -% \end{frame} -% -% \begin{frame} -% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} -% -% \vspace*{-10mm} -% -% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler -% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder -% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten -% sind bekannt: -% \begin{itemize} -% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ -% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler -% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den -% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. -% \end{itemize} -% -% % tex-fmt: off -% \begin{enumerate}[a{)}] -% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von -% Fehler $B$ und dafür, dass ein -% Werkstück fehlerfrei ist. -% \pause\begin{gather*} -% P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04 -% \end{gather*}\pause -% \vspace*{-15mm}\begin{gather*} -% P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92 -% \end{gather*} -% \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? -% es auch Fehler $A$? -% \pause\begin{gather*} -% \left. \begin{array}{l} -% P(AB) = 0.01 \\ -% P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002 -% \end{array}\right\} -% \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig} -% \end{gather*} -% \end{enumerate} -% % tex-fmt: on -% \end{frame} -% -% \begin{frame} -% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} -% -% \vspace*{-13mm} -% -% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ -% beobachtet. Der Fehler tritt -% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ -% eingetreten sind und mit der -% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten -% sind. In allen anderen -% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. -% -% % tex-fmt: off -% \begin{enumerate}[a{)}] -% \setcounter{enumi}{2} -% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von -% Fehler $C$. -% \pause\begin{align*} -% P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B}) -% + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B) -% + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\ -% &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094 -% \end{align*} -% \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit -% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? -% \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth} -% \centering -% \begin{align*} -% P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm] -% P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\ -% &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\ -% &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm] -% P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213 -% \end{align*} -% \end{minipage}% -% \hspace*{-10mm} -% \begin{minipage}{0.06\textwidth} -% \centering -% \begin{tikzpicture} -% \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm); -% \end{tikzpicture} -% \end{minipage}% -% \begin{minipage}{0.48\textwidth} -% \centering -% \begin{align*} -% P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm] -% P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A) -% + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\ -% &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm] -% P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213 -% \end{align*} -% \end{minipage} -% \end{enumerate} -% % tex-fmt: on -% \end{frame} +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion} + + Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$: + + \begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + xmin=0,xmax=5.5, + ymin=0,ymax=1, + xtick={0,...,5}, + ytick={0,0.2,...,1}, + xlabel=$x$, + ylabel=$F_X(x)$, + width=12cm, + height=5cm, + ] + \addplot+[mark=none, line width=1pt] + coordinates + { + (0,0) + (1,0) + (1,0.2) + (2,0.2) + (2,0.6) + (3,0.6) + (3,0.7) + (4,0.7) + (4,0.9) + (5,0.9) + (5,1) + (5.5,1) + }; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{figure} + + \vspace*{-10mm} + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar. + \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die + charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe + von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$. + \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind + beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer + diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich + sind. + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion} + + Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$: + + \begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + xmin=0,xmax=5.5, + ymin=0,ymax=1, + xtick={0,...,5}, + ytick={0,0.2,...,1}, + xlabel=$x$, + ylabel=$F_X(x)$, + width=12cm, + height=5cm, + ] + \addplot+[mark=none, line width=1pt] + coordinates + { + (0,0) + (1,0) + (1,0.2) + (2,0.2) + (2,0.6) + (3,0.6) + (3,0.7) + (4,0.7) + (4,0.9) + (5,0.9) + (5,1) + (5.5,1) + }; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{figure} + + \vspace*{-10mm} + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar. + \end{enumerate} + % tex-fmt: on + + \pause + \begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + xmin=0,xmax=5.5, + ymin=0,ymax=0.5, + xtick={0,...,5}, + ytick={0,0.1,...,0.5}, + xlabel=$x$, + ylabel=$P_X(x)$, + width=12cm, + height=5cm, + ] + \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt] + coordinates + { + (1,0.2) + (2,0.4) + (3,0.1) + (4,0.2) + (5,0.1) + }; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion} + + \vspace*{-12mm} + + \begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + xmin=0,xmax=5.5, + ymin=0,ymax=0.5, + xtick={0,...,5}, + ytick={0,0.1,...,0.5}, + xlabel=$x$, + ylabel=$P_X(x)$, + width=12cm, + height=5cm, + ] + \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt] + coordinates + { + (1,0.2) + (2,0.4) + (3,0.1) + (4,0.2) + (5,0.1) + }; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{figure} + + \vspace*{-5mm} + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die + charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe + von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$. + \pause\begin{align*} + \psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3 + + 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\ + \phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js} + + 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s} + \end{align*} + \pause\begin{gather*} + \left.\begin{array}{c} + V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm] + E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j} + = \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm] + E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2} + = \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4 + \end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64 + \end{gather*} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion} + + \vspace*{-5mm} + + \begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + xmin=0,xmax=5.5, + ymin=0,ymax=1, + xtick={0,...,5}, + ytick={0,0.2,...,1}, + xlabel=$x$, + ylabel=$F_X(x)$, + width=12cm, + height=5cm, + ] + \addplot+[mark=none, line width=1pt] + coordinates + { + (0,0) + (1,0) + (1,0.2) + (2,0.2) + (2,0.6) + (3,0.6) + (3,0.7) + (4,0.7) + (4,0.9) + (5,0.9) + (5,1) + (5.5,1) + }; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{figure} + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind + beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer + diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich + sind. + \pause\begin{align*} + x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\ + E(X) &= 2{,}6 + \end{align*} + + \vspace*{5mm} + \centering + \pause\begin{minipage}{0.7\textwidth} + Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten + Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung + symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h., + \begin{gather*} + P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}. + \end{gather*} + \end{minipage} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} \end{document}