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Andreas Tsouchlos 2025-11-01 23:35:53 +01:00
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@ -295,12 +295,12 @@
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$. und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
\pause\begin{gather*} \pause\begin{gather*}
\Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\ \Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
R \sim \text{Bin}(N=6, p=0.2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1.2 R \sim \text{Bin}(N=6, p=0,2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1,2
\end{gather*} \end{gather*}
\vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$ \vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt? Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
\pause \begin{gather*} \pause \begin{gather*}
P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} 0.2^3 0.8^3 \approx 0.0819 P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0,2^3\cdot 0,8^3 \approx 0,0819
\end{gather*} \end{gather*}
\vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der \vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
Zufallsvariablen $R$. Zufallsvariablen $R$.
@ -319,7 +319,7 @@
\begin{table} \begin{table}
\begin{tabular}{c|ccccccc} \begin{tabular}{c|ccccccc}
$r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline $r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
$F_R(r)$ & 0.262 & 0.655 & 0.901 & 0.983 & 0.998 & 0.999 & 1 $F_R(r)$ & 0,262 & 0,655 & 0,901 & 0,983 & 0,998 & 0,999 & 1
\end{tabular} \end{tabular}
\end{table} \end{table}
\column{\kitthreecolumns} \column{\kitthreecolumns}
@ -382,9 +382,9 @@
\end{gather*}% \end{gather*}%
\vspace*{-14mm}% \vspace*{-14mm}%
\begin{align*} \begin{align*}
P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0.56 \\ P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0,56 \\
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0.38 \\ P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0,38 \\
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0.06 P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0,06
\end{align*} \end{align*}
\vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über \vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
@ -399,9 +399,9 @@
\centering \centering
\begin{align*} \begin{align*}
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200} E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0.38 + E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0,38 +
2\cdot 0.06\right]\\[2mm] 2\cdot 0,06\right]\\[2mm]
&= 200\cdot 0.5 = 100 &= 200\cdot 0,5 = 100
\end{align*} \end{align*}
\end{minipage}% \end{minipage}%
\begin{minipage}{0.06\textwidth} \begin{minipage}{0.06\textwidth}
@ -415,11 +415,11 @@
\begin{align*} \begin{align*}
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
\text{Bin}(N=200,p=0.3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200} \text{Bin}(N=200,p=0,3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200,p=0.2)}\Big)\\[2mm] L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200,p=0,2)}\Big)\\[2mm]
&= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) + &= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm] E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
&= 200\cdot 0.3 + 200 \cdot 0.2 = 100 &= 200\cdot 0,3 + 200 \cdot 0,2 = 100
\end{align*} \end{align*}
\end{minipage} \end{minipage}
\end{frame} \end{frame}