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@@ -229,11 +229,11 @@
     In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
     werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
     \begin{itemize}
-        \item 80\% der Minions haben zwei Augen, 20\% nur eines.
+        \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
-        \item Von den zweiäugigen Minions sind 20\% groß, 70\%
+        \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
-            mittelgroß und 10\% klein.
+            mittelgroß und $10\%$ klein.
-        \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, 60\%
+        \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, $60\%$
-            mittelgroß und 35\% klein.
+            mittelgroß und $35\%$ klein.
     \end{itemize}
 
     % tex-fmt: off
@@ -256,11 +256,11 @@
     In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
     werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
     \begin{itemize}
-        \item 80\% der Minions haben zwei Augen, 20\% nur eines.
+        \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
-        \item Von den zweiäugigen Minions sind 20\% groß, 70\%
+        \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
-            mittelgroß und 10\% klein.
+            mittelgroß und $10\%$ klein.
-        \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, 60\%
+        \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, $60\%$
-            mittelgroß und 35\% klein.
+            mittelgroß und $35\%$ klein.
     \end{itemize}
 
     % tex-fmt: off
@@ -360,41 +360,112 @@
     \vspace*{-18mm}
 
     Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
-    aufweisen: Fehler A, Fehler B, oder
+    aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
     beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
     sind bekannt:
     \begin{itemize}
-        \item mit Wahrscheinlichkeit 0,05 hat ein Werkstück den Fehler A
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
-        \item mit Wahrscheinlichkeit 0,01 hat ein Werkstück beide Fehler
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
-        \item mit Wahrscheinlichkeit 0,03 hat ein Werkstück nur den
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
-            Fehler B und nicht Fehler A.
+            Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
     \end{itemize}
 
     % tex-fmt: off
     \begin{enumerate}[a{)}]
         \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von
-            Fehler B und dafür, dass ein
+            Fehler $B$ und dafür, dass ein
             Werkstück fehlerfrei ist.
-        \item Ist das Auftreten von Fehler A unabhängig von Fehler B?
+        \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
-            es auch Fehler A?
+            es auch Fehler $A$?
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
 
-    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler C
+    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
     beobachtet. Der Fehler tritt
-    mit der Wahrscheinlichkeit 0,01 ein, wenn weder Fehler A noch B
+    mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
     eingetreten sind und mit der
-    Wahrscheinlichkeit 0,02, wenn sowohl Fehler A als auch B eingetreten
+    Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
     sind. In allen anderen
-    Fällen tritt der Fehler C nicht auf.
+    Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
 
     % tex-fmt: off
     \begin{enumerate}[a{)}]
         \setcounter{enumi}{2}
         \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von
-            Fehler C.
+            Fehler $C$.
-        \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler C hat. Mit
+        \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
-            welcher Wahrscheinlichkeit hat
+            welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
+    aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
+    beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
+    sind bekannt:
+    \begin{itemize}
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
+        \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
+            Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
+    \end{itemize}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von
+            Fehler $B$ und dafür, dass ein
+            Werkstück fehlerfrei ist.
+            \pause\begin{gather*}
+                P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
+            \end{gather*}\pause
+            \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
+                P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
+            es auch Fehler $A$?
+            \pause\begin{gather*}
+                \left. \begin{array}{l}
+                   P(AB) = 0.01 \\
+                   P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
+               \end{array}\right\}
+               \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
+    beobachtet. Der Fehler tritt
+    mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
+    eingetreten sind und mit der
+    Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+    sind. In allen anderen
+    Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von
+            Fehler $C$.
+            \pause\begin{align*}
+                P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + P(C\vert A \overline{B})P(A \overline{B})
+                + P(C\vert \overline{A}B)P(\overline{A} B)
+                + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
+                &= P(C\vert AB)P(AB) + P(C\vert A \overline{B})P(A \overline{B})\\
+                &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
+            \end{align*}
+        \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
+            welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
 \end{frame}