From e8cd92b8bf2e9e87a97a3aa639bd8a0124f2e4bf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andreas Tsouchlos Date: Sun, 26 Oct 2025 17:42:53 +0100 Subject: [PATCH] Add solution to most of exercise 2 --- src/2025-11-21/presentation.tex | 121 +++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 96 insertions(+), 25 deletions(-) diff --git a/src/2025-11-21/presentation.tex b/src/2025-11-21/presentation.tex index 4586354..30471e8 100644 --- a/src/2025-11-21/presentation.tex +++ b/src/2025-11-21/presentation.tex @@ -229,11 +229,11 @@ In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions, werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt: \begin{itemize} - \item 80\% der Minions haben zwei Augen, 20\% nur eines. - \item Von den zweiäugigen Minions sind 20\% groß, 70\% - mittelgroß und 10\% klein. - \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, 60\% - mittelgroß und 35\% klein. + \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines. + \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$ + mittelgroß und $10\%$ klein. + \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, $60\%$ + mittelgroß und $35\%$ klein. \end{itemize} % tex-fmt: off @@ -256,11 +256,11 @@ In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions, werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt: \begin{itemize} - \item 80\% der Minions haben zwei Augen, 20\% nur eines. - \item Von den zweiäugigen Minions sind 20\% groß, 70\% - mittelgroß und 10\% klein. - \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, 60\% - mittelgroß und 35\% klein. + \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines. + \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$ + mittelgroß und $10\%$ klein. + \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, $60\%$ + mittelgroß und $35\%$ klein. \end{itemize} % tex-fmt: off @@ -360,41 +360,112 @@ \vspace*{-18mm} Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler - aufweisen: Fehler A, Fehler B, oder + aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: \begin{itemize} - \item mit Wahrscheinlichkeit 0,05 hat ein Werkstück den Fehler A - \item mit Wahrscheinlichkeit 0,01 hat ein Werkstück beide Fehler - \item mit Wahrscheinlichkeit 0,03 hat ein Werkstück nur den - Fehler B und nicht Fehler A. + \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ + \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler + \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den + Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. \end{itemize} % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von - Fehler B und dafür, dass ein + Fehler $B$ und dafür, dass ein Werkstück fehlerfrei ist. - \item Ist das Auftreten von Fehler A unabhängig von Fehler B? - es auch Fehler A? + \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? + es auch Fehler $A$? \end{enumerate} % tex-fmt: on - Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler C + Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ beobachtet. Der Fehler tritt - mit der Wahrscheinlichkeit 0,01 ein, wenn weder Fehler A noch B + mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ eingetreten sind und mit der - Wahrscheinlichkeit 0,02, wenn sowohl Fehler A als auch B eingetreten + Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten sind. In allen anderen - Fällen tritt der Fehler C nicht auf. + Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] \setcounter{enumi}{2} \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von - Fehler C. - \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler C hat. Mit - welcher Wahrscheinlichkeit hat + Fehler $C$. + \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit + welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} + + \vspace*{-10mm} + + Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler + aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder + beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten + sind bekannt: + \begin{itemize} + \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ + \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler + \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den + Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. + \end{itemize} + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von + Fehler $B$ und dafür, dass ein + Werkstück fehlerfrei ist. + \pause\begin{gather*} + P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04 + \end{gather*}\pause + \vspace*{-15mm}\begin{gather*} + P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92 + \end{gather*} + \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? + es auch Fehler $A$? + \pause\begin{gather*} + \left. \begin{array}{l} + P(AB) = 0.01 \\ + P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002 + \end{array}\right\} + \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig} + \end{gather*} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} + + \vspace*{-10mm} + + Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ + beobachtet. Der Fehler tritt + mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ + eingetreten sind und mit der + Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten + sind. In allen anderen + Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \setcounter{enumi}{2} + \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für da Auftreten von + Fehler $C$. + \pause\begin{align*} + P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + P(C\vert A \overline{B})P(A \overline{B}) + + P(C\vert \overline{A}B)P(\overline{A} B) + + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\ + &= P(C\vert AB)P(AB) + P(C\vert A \overline{B})P(A \overline{B})\\ + &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094 + \end{align*} + \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit + welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? \end{enumerate} % tex-fmt: on \end{frame}