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Andreas Tsouchlos 2025-10-25 22:43:25 +02:00
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494
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@ -142,108 +142,108 @@
\item Laplace'sches Zufallsexperiment \item Laplace'sches Zufallsexperiment
\begin{gather*} \begin{gather*}
\text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{ \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
\begin{array}{l} \begin{array}{l}
\lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\ \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\
P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert} P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert}
\end{array} \end{array}
\right.\\[1em] \right.\\[1em]
P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
\frac{\text{Anzahl ``günstiger'' \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
\end{gather*} \end{gather*}
\end{itemize} \end{itemize}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung} \begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne
Betrachtung der Reihenfolge Betrachtung der Reihenfolge
\vspace*{5mm} \vspace*{5mm}
\begin{columns} \begin{columns}
\column{\kitthreecolumns} \column{\kitthreecolumns}
\begin{gather*}
\lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
\frac{N!}{(N-K)!K!}
\end{gather*}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{lightgrayhighlightbox}
Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
es beim Lotto ``6 aus 49''?
\vspace*{0mm}
\begin{align*}
\begin{array}{c}
N = 49 \\
K = 6
\end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
\hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
\end{align*}
\vspace*{-8mm}
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{columns}
\pause
\item Hypergeometrische Verteilung
\begin{columns}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{gather*}
P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
\end{gather*}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{lightgrayhighlightbox}
Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
genau r rote zu erwischen?
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{columns}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Zusammenfassung}
\begin{columns}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
\vspace*{-6mm}
\begin{gather*} \begin{gather*}
P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
\frac{\text{Anzahl ``günstiger''
Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
\end{gather*}
\end{greenblock}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{greenblock}{Kombinationen}%
\vspace*{-6mm}
\begin{gather*}
\lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
\frac{N!}{(N-K)!K!} \frac{N!}{(N-K)!K!}
\end{gather*} \end{gather*}
\end{greenblock} \column{\kitthreecolumns}
\end{columns} \begin{lightgrayhighlightbox}
Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
\begin{columns} es beim Lotto ``6 aus 49''?
\column{\kitonecolumn} \vspace*{0mm}
\column{\kitthreecolumns} \begin{align*}
\begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}% \begin{array}{c}
\vspace*{-6mm} N = 49 \\
K = 6
\end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
\hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
\end{align*}
\vspace*{-8mm}
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{columns}
\pause
\item Hypergeometrische Verteilung
\begin{columns}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{gather*} \begin{gather*}
P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
\end{gather*} \end{gather*}
\end{greenblock} \column{\kitthreecolumns}
\column{\kitonecolumn} \begin{lightgrayhighlightbox}
\end{columns} Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
\end{frame} R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
genau r rote zu erwischen?
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{columns}
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}{Zusammenfassung}
\subsection{Aufgabe} \begin{columns}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
\vspace*{-6mm}
\begin{gather*}
P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
\frac{\text{Anzahl ``günstiger''
Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
\end{gather*}
\end{greenblock}
\begin{frame} \column{\kitthreecolumns}
\frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& \begin{greenblock}{Kombinationen}%
Hypergeometrische\\ Verteilung} \vspace*{-6mm}
\begin{gather*}
\lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
\frac{N!}{(N-K)!K!}
\end{gather*}
\end{greenblock}
\end{columns}
Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck \begin{columns}
von 52 Karten (bestehend aus \column{\kitonecolumn}
13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \column{\kitthreecolumns}
dass der Spieler \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}%
\vspace*{-6mm}
\begin{gather*}
P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
\end{gather*}
\end{greenblock}
\column{\kitonecolumn}
\end{columns}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}
\begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
Hypergeometrische\\ Verteilung}
Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
von 52 Karten (bestehend aus
13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Spieler
% tex-fmt: off % tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}] \begin{enumerate}[a{)}]
@ -253,16 +253,16 @@
\end{enumerate} \end{enumerate}
% tex-fmt: on % tex-fmt: on
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
Hypergeometrische\\ Verteilung} Hypergeometrische\\ Verteilung}
Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
von 52 Karten (bestehend aus von 52 Karten (bestehend aus
13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Spieler dass der Spieler
% tex-fmt: off % tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}] \begin{enumerate}[a{)}]
@ -284,67 +284,153 @@
\end{enumerate} \end{enumerate}
% tex-fmt: on % tex-fmt: on
\end{frame} \end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2} \section{Aufgabe 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}
% TODO: Replace slide content with relevant stuff %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} \subsection{Theorie Wiederholung}
\frametitle{Theorie Wiederholung II}
\begin{gather*} \begin{frame}
f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ \frametitle{Kombinatorik}
P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
\end{gather*}
\begin{figure} \vspace*{-18mm}
\centering
\begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} \begin{itemize}
\centering \item Potenzmenge
\vspace*{-2mm}
\begin{columns}
\column{\kitfourcolumns}
\begin{align*}
\mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
A \subseteq \Omega \mright\} \hspace{10mm}
\left(\text{``Menge aller
Teilmengen von $\Omega$''}\right)
\end{align*}
\column{\kittwocolumns}
\begin{lightgrayhighlightbox}
Beispiel
\begin{gather*}
\Omega = \{ A, B, C \}
\end{gather*}%
\vspace*{-15mm}%
\begin{align*}
\mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset,
\mleft\{ A \mright\}, \mleft\{ B \mright\},
\mleft\{ C \mright\}, \mleft\{ A, B \mright\},\\
&\mleft\{ A, C \mright\},
\mleft\{ B, C \mright\}, \mleft\{ A, B, C \mright\} \}
\end{align*}%
\vspace*{-14mm}%
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{columns}
\vspace*{-3mm}
\item \pause Variationen und Kombinationen
\setlength\extrarowheight{2mm}
\begin{table}
\begin{tabular}{r||l|l}
& Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
\\\hline\hline Mit Reihenfolge
(\textit{Variationen}) & $\lvert
\widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
$\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
\binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
= \binom{N}{K} $
\end{tabular}
\end{table}
\item \pause Permutationen
\begin{columns}
\column{\kitfourcolumns}
\begin{gather*} \begin{gather*}
\text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} \Pi_N = \mleft\{ \mleft( a_1, \ldots, a_N
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \mright) \in \Omega : a_i \neq a_j, i \neq j
e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \mright\}\\
\begin{array}{r}
\text{Alle Elemente von $\Omega$ unterscheidbar:} \\
\text{Jeweils $L_1, L_2, \ldots, L_M$ der Elemente
sind gleich:}
\end{array}
\hspace{5mm}
\begin{array}{rl}
\lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
\lvert \Pi_N^{(L_1,
L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
\frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
\end{array}
\end{gather*} \end{gather*}
\end{subfigure}% \column{\kittwocolumns}
\begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} \begin{lightgrayhighlightbox}
\centering Beispiel:
\begin{tikzpicture} \begin{gather*}
\begin{axis}[ \Omega = {A, B, C}\\
domain=-4:4, \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
samples=100, (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
width=\textwidth, \end{gather*}
height=0.5\textwidth, \vspace*{-14mm}%
ticks=none, \end{lightgrayhighlightbox}
xlabel={$x$}, \end{columns}
ylabel={$f_X(x)$} \end{itemize}
] \end{frame}
\addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{subfigure}
\end{figure}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}
\subsection{Aufgabe} \frametitle{Zusammenfassung}
% TODO: Replace slide content with relevant stuff \begin{columns}
\begin{frame} \column{\kitthreecolumns}
\frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} \begin{greenblock}{Potenzmenge}
\vspace*{-6mm}
\begin{gather*}
\mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
A \subseteq \Omega \mright\}
\end{gather*}
\end{greenblock}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{greenblock}{Permutationen}
\vspace*{-6mm}
\begin{align*}
\lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
\lvert \Pi_N^{(L_1, L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
\frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
\end{align*}
\end{greenblock}
\end{columns}
\begin{columns}
\column{\kitonecolumn}
\column{\kitfourcolumns}
\begin{greenblock}{Variationen \& Kombinationen }
\begin{table}
\begin{tabular}{r||l|l}
& Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
\\\hline\hline Mit Reihenfolge
(\textit{Variationen}) & $\lvert
\widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
$\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
\binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
= \binom{N}{K} $
\end{tabular}
\end{table}
\end{greenblock}
\column{\kitonecolumn}
\end{columns}
\end{frame}
Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den \subsection{Aufgabe}
Zutaten Salat
(S), Käse (K), Tomate (T) \begin{frame}
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
Burgers ausgewählt.
Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
Zutaten Salat
(S), Käse (K), Tomate (T)
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
Burgers ausgewählt.
% tex-fmt: off % tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}] \begin{enumerate}[a{)}]
@ -365,50 +451,74 @@
\end{enumerate} \end{enumerate}
% tex-fmt: on % tex-fmt: on
\end{frame} \end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame}
\section{Zusammenfassung} \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
% TODO: Replace slide content with relevant stuff Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
\begin{frame} Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
\frametitle{Zusammenfassung} Zutaten Salat
(S), Käse (K), Tomate (T)
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
Burgers ausgewählt.
\begin{gather*} % tex-fmt: off
f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ \begin{enumerate}[a{)}]
P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ \item Die Ergebnismenge sei $\Omega = \{S, K, T, P\}$. Wie lautet die
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx Potenzmenge $P(\Omega)$?\pause
\end{gather*} \begin{align*}
\mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset, \mleft\{ S \mright\}, \mleft\{ K \mright\}, \mleft\{ T \mright\}, \mleft\{ P \mright\},\\
\begin{figure} &\mleft\{ S, K \mright\}, \mleft\{ S, T \mright\}, \mleft\{ S, P \mright\}, \mleft\{ K, T \mright\}, \mleft\{ K,P \mright\}, \mleft\{ T, P \mright\}, \\
\centering &\mleft\{ S, K, T \mright\}, \mleft\{ S, K, P \mright\}, \mleft\{ S, T, P \mright\}, \mleft\{ K, T, P \mright\}, \mleft\{ S, K, T, P \mright\}\}
\end{align*}%
\begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} \item \pause Für einen normalen Burger werden 3 der 4 möglichen Zutaten
\centering ausgewählt und in einer
bestimmten Reihenfolge auf das Burgerbrötchen gelegt. Wie viele
verschiedene normale
Burger gibt es?\pause
\begin{gather*} \begin{gather*}
\text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} \lvert V_N^{(K)} \rvert = \frac{4!}{1!} = 24
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
\end{gather*} \end{gather*}
\end{subfigure}% \end{enumerate}
\begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} % tex-fmt: on
\centering \end{frame}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-4:4,
samples=100,
width=\textwidth,
height=0.5\textwidth,
ticks=none,
xlabel={$x$},
ylabel={$f_X(x)$}
]
\addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{subfigure}
\end{figure}
\end{frame}
\end{document} \begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
Zutaten Salat
(S), Käse (K), Tomate (T)
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
Burgers ausgewählt.
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\setcounter{enumi}{2}
\item Ein Burger ``Spezial'' besteht ebenfalls aus 3 Zutaten. Jedoch
können Tomate und Salat
doppelt vorkommen. Wie viele verschiedene Burger „Spezial“ gibt es?\pause
\begin{align*}
n_\text{Burger} &= n_\text{Burger,alle Unterschiedlich} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Salat}} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Tomate}} \\
&= 24 + 3\cdot 3 + 3\cdot 3 = 42
\end{align*}
\item \pause Der Burger „Jumbo“ enthält die folgende Menge an Zutaten: $\{S, S,
T, T, K, K, K, P, P, P\}$
die alle verwendet werden. Wie viele mögliche Belegungen des Burgers
``Jumbo'' gibt es?\pause
\begin{gather*}
\lvert \Pi_N^{L_1,L_2,L_3,L_4} \rvert = \frac{10!}{2!2!3!3!} = 25200
\end{gather*}
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Zusammenfassung}
% TODO: Do we even want this section?
\end{document}