From c9e1bcc5ea44a7e20e9aa96d8167f5219dd654d2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andreas Tsouchlos Date: Sat, 25 Oct 2025 22:43:25 +0200 Subject: [PATCH] Finish Tutorium 1 --- src/2025-11-07/presentation.tex | 494 +++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 302 insertions(+), 192 deletions(-) diff --git a/src/2025-11-07/presentation.tex b/src/2025-11-07/presentation.tex index 89e1c8f..b93b6e1 100644 --- a/src/2025-11-07/presentation.tex +++ b/src/2025-11-07/presentation.tex @@ -142,108 +142,108 @@ \item Laplace'sches Zufallsexperiment \begin{gather*} \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{ - \begin{array}{l} - \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\ - P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert} - \end{array} - \right.\\[1em] - P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = - \frac{\text{Anzahl ``günstiger'' - Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} - \end{gather*} - \end{itemize} - \end{frame} + \begin{array}{l} + \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\ + P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert} + \end{array} + \right.\\[1em] + P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = + \frac{\text{Anzahl ``günstiger'' + Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} + \end{gather*} + \end{itemize} +\end{frame} - \begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung} - \begin{itemize} - \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne - Betrachtung der Reihenfolge - \vspace*{5mm} - \begin{columns} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{gather*} - \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} = - \frac{N!}{(N-K)!K!} - \end{gather*} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{lightgrayhighlightbox} - Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt - es beim Lotto ``6 aus 49''? - \vspace*{0mm} - \begin{align*} - \begin{array}{c} - N = 49 \\ - K = 6 - \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow - \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816 - \end{align*} - \vspace*{-8mm} - \end{lightgrayhighlightbox} - \end{columns} - \pause - \item Hypergeometrische Verteilung - \begin{columns} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{gather*} - P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} - \end{gather*} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{lightgrayhighlightbox} - Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon - R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit - beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen) - genau r rote zu erwischen? - \end{lightgrayhighlightbox} - \end{columns} - \end{itemize} - \end{frame} - - \begin{frame}{Zusammenfassung} - \begin{columns} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}% - \vspace*{-6mm} +\begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung} + \begin{itemize} + \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne + Betrachtung der Reihenfolge + \vspace*{5mm} + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} \begin{gather*} - P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = - \frac{\text{Anzahl ``günstiger'' - Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} - \end{gather*} - \end{greenblock} - - \column{\kitthreecolumns} - \begin{greenblock}{Kombinationen}% - \vspace*{-6mm} - \begin{gather*} - \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} = + \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} = \frac{N!}{(N-K)!K!} \end{gather*} - \end{greenblock} - \end{columns} - - \begin{columns} - \column{\kitonecolumn} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}% - \vspace*{-6mm} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt + es beim Lotto ``6 aus 49''? + \vspace*{0mm} + \begin{align*} + \begin{array}{c} + N = 49 \\ + K = 6 + \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow + \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816 + \end{align*} + \vspace*{-8mm} + \end{lightgrayhighlightbox} + \end{columns} + \pause + \item Hypergeometrische Verteilung + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} \begin{gather*} - P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} + P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} \end{gather*} - \end{greenblock} - \column{\kitonecolumn} - \end{columns} - \end{frame} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon + R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit + beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen) + genau r rote zu erwischen? + \end{lightgrayhighlightbox} + \end{columns} + \end{itemize} +\end{frame} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \subsection{Aufgabe} +\begin{frame}{Zusammenfassung} + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}% + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = + \frac{\text{Anzahl ``günstiger'' + Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} + \end{gather*} + \end{greenblock} - \begin{frame} - \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& - Hypergeometrische\\ Verteilung} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{greenblock}{Kombinationen}% + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} = + \frac{N!}{(N-K)!K!} + \end{gather*} + \end{greenblock} + \end{columns} - Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck - von 52 Karten (bestehend aus - 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, - dass der Spieler + \begin{columns} + \column{\kitonecolumn} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}% + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} + \end{gather*} + \end{greenblock} + \column{\kitonecolumn} + \end{columns} +\end{frame} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Aufgabe} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& + Hypergeometrische\\ Verteilung} + + Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck + von 52 Karten (bestehend aus + 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, + dass der Spieler % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] @@ -253,16 +253,16 @@ \end{enumerate} % tex-fmt: on - \end{frame} +\end{frame} - \begin{frame} - \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& - Hypergeometrische\\ Verteilung} +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& + Hypergeometrische\\ Verteilung} - Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck - von 52 Karten (bestehend aus - 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, - dass der Spieler + Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck + von 52 Karten (bestehend aus + 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, + dass der Spieler % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] @@ -284,67 +284,153 @@ \end{enumerate} % tex-fmt: on - \end{frame} +\end{frame} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \section{Aufgabe 2} - - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \subsection{Theorie Wiederholung} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\section{Aufgabe 2} - % TODO: Replace slide content with relevant stuff - \begin{frame} - \frametitle{Theorie Wiederholung II} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Theorie Wiederholung} - \begin{gather*} - f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ - P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ - E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx - \end{gather*} +\begin{frame} + \frametitle{Kombinatorik} - \begin{figure} - \centering + \vspace*{-18mm} - \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} - \centering + \begin{itemize} + \item Potenzmenge + \vspace*{-2mm} + \begin{columns} + \column{\kitfourcolumns} + \begin{align*} + \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A: + A \subseteq \Omega \mright\} \hspace{10mm} + \left(\text{``Menge aller + Teilmengen von $\Omega$''}\right) + \end{align*} + \column{\kittwocolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel + \begin{gather*} + \Omega = \{ A, B, C \} + \end{gather*}% + \vspace*{-15mm}% + \begin{align*} + \mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset, + \mleft\{ A \mright\}, \mleft\{ B \mright\}, + \mleft\{ C \mright\}, \mleft\{ A, B \mright\},\\ + &\mleft\{ A, C \mright\}, + \mleft\{ B, C \mright\}, \mleft\{ A, B, C \mright\} \} + \end{align*}% + \vspace*{-14mm}% + \end{lightgrayhighlightbox} + \end{columns} + \vspace*{-3mm} + \item \pause Variationen und Kombinationen + \setlength\extrarowheight{2mm} + \begin{table} + \begin{tabular}{r||l|l} + & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen + \\\hline\hline Mit Reihenfolge + (\textit{Variationen}) & $\lvert + \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert + V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline + Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) & + $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert = + \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert + = \binom{N}{K} $ + \end{tabular} + \end{table} + \item \pause Permutationen + \begin{columns} + \column{\kitfourcolumns} \begin{gather*} - \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} - f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} - e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} + \Pi_N = \mleft\{ \mleft( a_1, \ldots, a_N + \mright) \in \Omega : a_i \neq a_j, i \neq j + \mright\}\\ + \begin{array}{r} + \text{Alle Elemente von $\Omega$ unterscheidbar:} \\ + \text{Jeweils $L_1, L_2, \ldots, L_M$ der Elemente + sind gleich:} + \end{array} + \hspace{5mm} + \begin{array}{rl} + \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\ + \lvert \Pi_N^{(L_1, + L_2, \ldots, L_M)} \rvert &= + \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!} + \end{array} \end{gather*} - \end{subfigure}% - \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} - \centering - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - domain=-4:4, - samples=100, - width=\textwidth, - height=0.5\textwidth, - ticks=none, - xlabel={$x$}, - ylabel={$f_X(x)$} - ] - \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \end{subfigure} - \end{figure} - \end{frame} + \column{\kittwocolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: + \begin{gather*} + \Omega = {A, B, C}\\ + \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\ + (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\} + \end{gather*} + \vspace*{-14mm}% + \end{lightgrayhighlightbox} + \end{columns} + \end{itemize} +\end{frame} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \subsection{Aufgabe} +\begin{frame} + \frametitle{Zusammenfassung} - % TODO: Replace slide content with relevant stuff - \begin{frame} - \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{greenblock}{Potenzmenge} + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A: + A \subseteq \Omega \mright\} + \end{gather*} + \end{greenblock} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{greenblock}{Permutationen} + \vspace*{-6mm} + \begin{align*} + \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\ + \lvert \Pi_N^{(L_1, L_2, \ldots, L_M)} \rvert &= + \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!} + \end{align*} + \end{greenblock} + \end{columns} + \begin{columns} + \column{\kitonecolumn} + \column{\kitfourcolumns} + \begin{greenblock}{Variationen \& Kombinationen } + \begin{table} + \begin{tabular}{r||l|l} + & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen + \\\hline\hline Mit Reihenfolge + (\textit{Variationen}) & $\lvert + \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert + V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline + Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) & + $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert = + \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert + = \binom{N}{K} $ + \end{tabular} + \end{table} + \end{greenblock} + \column{\kitonecolumn} + \end{columns} +\end{frame} - Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen - Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den - Zutaten Salat - (S), Käse (K), Tomate (T) - und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines - Burgers ausgewählt. +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Aufgabe} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} + + Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen + Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den + Zutaten Salat + (S), Käse (K), Tomate (T) + und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines + Burgers ausgewählt. % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] @@ -365,50 +451,74 @@ \end{enumerate} % tex-fmt: on - \end{frame} +\end{frame} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \section{Zusammenfassung} +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} - % TODO: Replace slide content with relevant stuff - \begin{frame} - \frametitle{Zusammenfassung} + Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen + Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den + Zutaten Salat + (S), Käse (K), Tomate (T) + und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines + Burgers ausgewählt. - \begin{gather*} - f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ - P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ - E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx - \end{gather*} - - \begin{figure} - \centering - - \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} - \centering + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Die Ergebnismenge sei $\Omega = \{S, K, T, P\}$. Wie lautet die + Potenzmenge $P(\Omega)$?\pause + \begin{align*} + \mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset, \mleft\{ S \mright\}, \mleft\{ K \mright\}, \mleft\{ T \mright\}, \mleft\{ P \mright\},\\ + &\mleft\{ S, K \mright\}, \mleft\{ S, T \mright\}, \mleft\{ S, P \mright\}, \mleft\{ K, T \mright\}, \mleft\{ K,P \mright\}, \mleft\{ T, P \mright\}, \\ + &\mleft\{ S, K, T \mright\}, \mleft\{ S, K, P \mright\}, \mleft\{ S, T, P \mright\}, \mleft\{ K, T, P \mright\}, \mleft\{ S, K, T, P \mright\}\} + \end{align*}% + \item \pause Für einen normalen Burger werden 3 der 4 möglichen Zutaten + ausgewählt und in einer + bestimmten Reihenfolge auf das Burgerbrötchen gelegt. Wie viele + verschiedene normale + Burger gibt es?\pause \begin{gather*} - \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} - f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} - e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} + \lvert V_N^{(K)} \rvert = \frac{4!}{1!} = 24 \end{gather*} - \end{subfigure}% - \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} - \centering - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - domain=-4:4, - samples=100, - width=\textwidth, - height=0.5\textwidth, - ticks=none, - xlabel={$x$}, - ylabel={$f_X(x)$} - ] - \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \end{subfigure} - \end{figure} - \end{frame} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} - \end{document} +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} + + Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen + Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den + Zutaten Salat + (S), Käse (K), Tomate (T) + und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines + Burgers ausgewählt. + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \setcounter{enumi}{2} + \item Ein Burger ``Spezial'' besteht ebenfalls aus 3 Zutaten. Jedoch + können Tomate und Salat + doppelt vorkommen. Wie viele verschiedene Burger „Spezial“ gibt es?\pause + \begin{align*} + n_\text{Burger} &= n_\text{Burger,alle Unterschiedlich} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Salat}} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Tomate}} \\ + &= 24 + 3\cdot 3 + 3\cdot 3 = 42 + \end{align*} + \item \pause Der Burger „Jumbo“ enthält die folgende Menge an Zutaten: $\{S, S, + T, T, K, K, K, P, P, P\}$ + die alle verwendet werden. Wie viele mögliche Belegungen des Burgers + ``Jumbo'' gibt es?\pause + \begin{gather*} + \lvert \Pi_N^{L_1,L_2,L_3,L_4} \rvert = \frac{10!}{2!2!3!3!} = 25200 + \end{gather*} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\section{Zusammenfassung} + +% TODO: Do we even want this section? + +\end{document}