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Andreas Tsouchlos 2026-01-14 00:16:19 +01:00
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36
src/2026-01-16/presentation.tex
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@ -124,6 +124,8 @@
\begin{frame}[fragile] \begin{frame}[fragile]
\frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion} \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
\vspace*{-3mm}
Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
$Y$ mit den Parametern $\lambda_1$ $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
bzw. $\lambda_2$ gegeben. bzw. $\lambda_2$ gegeben.
@ -142,11 +144,10 @@
\Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k) \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
= \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!} = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
\end{gather*} \end{gather*}
\vspace{2mm}
\pause\begin{align*} \pause\begin{align*}
P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k) P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
= \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
\cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[3mm] \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[1mm]
&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n} &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
\frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm] \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
&= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n} &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
@ -155,12 +156,37 @@
\binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
( \lambda_1 + \lambda_2 )^n ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
=: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\[6mm]
& \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
\end{align*} \end{align*}
\pause\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der \end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\setcounter{enumi}{1}
\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
charakteristischen Funktion. charakteristischen Funktion.
\pause\begin{gather*}
X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
\Leftrightarrow \hspace{3mm}
\phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda_1 (e^{js} -1)\right)
\hspace{30mm}
Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
\Leftrightarrow \hspace{3mm}
\phi_Y(s) = \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right)
\end{gather*}
\vspace*{-5mm}
\pause\begin{align*} \pause\begin{align*}
% TODO: Write solution \phi_Z(s) &= \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s) \\
&= \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \cdot
\text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \\
&= \text{exp}\left((\lambda_1 + \lambda_2) (e^{js} -1)\right) \\[4mm]
& \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
\end{align*} \end{align*}
\end{enumerate} \end{enumerate}
% tex-fmt: on % tex-fmt: on