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@@ -124,6 +124,8 @@
 \begin{frame}[fragile]
     \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
 
+    \vspace*{-3mm}
+
     Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
     $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
     bzw. $\lambda_2$ gegeben.
@@ -142,11 +144,10 @@
                     \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
                     = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
             \end{gather*}
-            \vspace{2mm}
             \pause\begin{align*}
                 P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
                 = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
-                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[3mm]
+                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[1mm]
                 &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
                     \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                 &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
@@ -155,12 +156,37 @@
                     \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
                 = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
                     ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
-                =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}
+                    =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\[6mm]
+                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
             \end{align*}
-        \pause\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
             charakteristischen Funktion.
+            \pause\begin{gather*}
+                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
+                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
+                    \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda_1 (e^{js} -1)\right)
+                \hspace{30mm}
+                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
+                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
+                    \phi_Y(s) = \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right)
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-5mm}
             \pause\begin{align*}
-                % TODO: Write solution
+                \phi_Z(s) &= \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s) \\
+                &= \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \cdot
+                    \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \\
+                &= \text{exp}\left((\lambda_1 + \lambda_2) (e^{js} -1)\right) \\[4mm]
+                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
             \end{align*}
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on