an.tsouchlos/wt-tut-presentations
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases 21 Wiki Activity

Add solution to exercise 1a

Browse Source
This commit is contained in:
Andreas Tsouchlos 2026-01-13 23:59:40 +01:00
parent 7e67ee3792
commit dcd018c236
1 changed files with 106 additions and 15 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

121
src/2026-01-16/presentation.tex
View File

@ -21,20 +21,6 @@
\fundinglogos{}
%
%
% Custom commands
%
%
\input{lib/latex-common/common.tex}
\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}
% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}
%
%
% Document setup
@ -55,13 +41,44 @@
\usepackage{subcaption}
\usepackage{bbm}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{calc}
\title{WT Tutorium 5}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{16. Januar 2026}
%
%
% Custom commands
%
%
\input{lib/latex-common/common.tex}
\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}
\newlength{\depthofsumsign}
\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
\newlength{\totalheightofsumsign}
\newlength{\heightanddepthofargument}
\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
\mathop{
\raisebox
{-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
{\scalebox
{#1}
{$\displaystyle\sum$}%
}
}
}
% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}
%
%
% Document body
@ -104,6 +121,51 @@
% tex-fmt: on
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
$Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
bzw. $\lambda_2$ gegeben.
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
\lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
zweier Zufallsvariablen.
\pause\begin{gather*}
X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
\Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
= \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
\Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
= \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
\end{gather*}
\vspace{2mm}
\pause\begin{align*}
P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
= \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
\cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[3mm]
&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
\frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
&= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
\frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
&= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
\binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
=: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}
\end{align*}
\pause\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
charakteristischen Funktion.
\pause\begin{align*}
% TODO: Write solution
\end{align*}
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}
@ -134,5 +196,34 @@
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
$x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
% tex-fmt: off
\begin{enumerate}[a{)}]
\item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
Transformationssatzes.
\pause\begin{align*}
f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy
= x + 0{,}5 \\
f(y) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx
= y + 0{,}5
\end{align*}
\pause \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
\pause\begin{align*}
\end{align*}
\pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
\pause\begin{align*}
\end{align*}
\end{enumerate}
% tex-fmt: on
\end{frame}
\end{document}