tut4: Add solutions for exercise 2

src/2025-12-09/presentation.tex

@@ -204,6 +204,7 @@
 
     % tex-fmt: off
     \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
         \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
             erfüllen?
             \pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
@@ -238,7 +239,7 @@
                     0, & x < 0
                 \end{array} \right.
             \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
-                    1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\ 
+                    1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
                     0, & x < 0
                 \end{array} \right.
         \end{gather*}
@@ -272,6 +273,16 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Aufgabe 2}
 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{sasdf}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
 \begin{frame}
     \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
 
@@ -295,21 +306,119 @@
             jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
-
 \end{frame}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Theorie Wiederholung}
-
 \begin{frame}
-    \frametitle{sasdf}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
+    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
+    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
+    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
+    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
+    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
+    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
+    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
+            \begin{columns}[c]
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \centering
+            \pause \begin{gather*}
+                X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
+            \end{gather*}
+            \begin{align*}
+                P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
+                        \cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
+                     &= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
+                     &= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
+                     &\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
+                     &= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
+            \end{align*}
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \centering
+            \begin{figure}[H]
+                \centering
+
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        domain=4.6:5.3,
+                        xmin=4.7, xmax=5.3,
+                        width=14cm,
+                        height=6cm,
+                        xlabel={$x$},
+                        ylabel={$F_X (x)$},
+                        samples=100,
+                        xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
+                    ]
+                        \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                            {1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
+
+                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
+                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
+                        \node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
+                        \node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
+
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{figure}
+        \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
 \end{frame}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Aufgabe}
-
 \begin{frame}
-    \frametitle{sasdf}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
+            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
+            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
+            \pause\begin{gather*}
+                P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
+            \end{gather*}
+            \vspace*{-18mm}
+            \begin{columns}
+                \pause\column{\kitthreecolumns}
+                \centering
+                \begin{align*}
+                    P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
+                    &= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
+                        + P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
+                    &= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
+                        + \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
+                    &= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
+                \end{align*}
+                \pause\column{\kitthreecolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
+                    \Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
+                    \Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
+                    \approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
+                \end{gather*}
+            \end{columns}
+        \pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
+            Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
+            Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
+            \pause \begin{align*}
+                P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
+                    + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
+                &\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
+                & = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
 \end{frame}
 
 \end{document}