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TeX
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\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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%
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% Custom commands
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%
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%
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2025-11-07/res}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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%
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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|
\usetikzlibrary{spy, external, intersections}
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|
%\tikzexternalize[prefix=build/]
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=newest}
|
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\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{bbm}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{xcolor}
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\title{WT Tutorium 1}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{7. November 2025}
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%
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%
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% Document body
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%
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
|
|
\titlepage
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|
\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Struktur des Tutoriums}
|
|
|
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\begin{frame}
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|
\frametitle{Struktur des Tutoriums}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item Ziele
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Üben/Verstehen der Herangehensweisen Aufgaben zu lösen
|
|
\item Wiederholung der für die Aufgaben wichtigsten Teile
|
|
der Theorie
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Struktur der Tutorien
|
|
\begin{table}
|
|
\begin{tabular}{l||c}
|
|
Abschnitt & Dauer \\\hline\hline
|
|
Aufgabe 1: Theorie Wiederholung & $\SI{10}{\minute}$ \\
|
|
Aufgabe 1: Selbstrechenphase & $\SI{20}{\minute}$ \\
|
|
Aufgabe 1: Besprechung der Lösung &
|
|
$\SI{10}{\minute}$ \\\hline
|
|
Aufgabe 2: Theorie Wiederholung & $\SI{10}{\minute}$ \\
|
|
Aufgabe 2: Selbstrechenphase & $\SI{20}{\minute}$ \\
|
|
Aufgabe 2: Besprechung der Lösung &
|
|
$\SI{10}{\minute}$ \\\hline
|
|
Zusammenfassung & $\SI{10}{\minute}$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 1}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
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|
\begin{frame}{Ereignisse \& Laplace}
|
|
\vspace*{-15mm}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Ereignisse
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{align*}
|
|
\text{Ergebnisraum: } & \hspace{5mm} \Omega =
|
|
\mleft\{ \omega_1, \ldots, \omega_N \mright\}\\
|
|
\text{Ergebnis: } & \hspace{5mm} \omega_i\\
|
|
\text{Ereignis: } & \hspace{5mm} A \subseteq \Omega
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Würfeln mit einem Würfel
|
|
\begin{align*}
|
|
\Omega &= \mleft\{ 1, \ldots, 6 \mright\}\\
|
|
A &= \mleft\{ 1, 6 \mright\}
|
|
\end{align*}\\[1em]
|
|
\vspace*{-12mm}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
|
\begin{align*}
|
|
\Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
|
|
1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
|
|
A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-12mm}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\vspace*{0mm}
|
|
\end{columns}\pause
|
|
\item Laplace'sches Zufallsexperiment
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{gather*}
|
|
\text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\
|
|
P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert}
|
|
\end{array}
|
|
\right.\\[1em]
|
|
P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
|
|
\frac{\text{Anzahl ``günstiger''
|
|
Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
|
|
\end{gather*}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne
|
|
Betrachtung der Reihenfolge
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
|
|
\frac{N!}{(N-K)!K!}
|
|
\end{gather*}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
|
|
es beim Lotto ``6 aus 49''?
|
|
\vspace*{0mm}
|
|
\begin{align*}
|
|
\begin{array}{c}
|
|
N = 49 \\
|
|
K = 6
|
|
\end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
|
|
\hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{columns}
|
|
\pause
|
|
\item Hypergeometrische Verteilung
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
|
|
\end{gather*}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
|
|
R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
|
|
beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
|
|
genau r rote zu erwischen?
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Zusammenfassung}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
|
|
\frac{\text{Anzahl ``günstiger''
|
|
Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Kombinationen}%
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
|
|
\frac{N!}{(N-K)!K!}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitonecolumn}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}%
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitonecolumn}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
|
|
Hypergeometrische\\ Verteilung}
|
|
|
|
Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
|
|
von 52 Karten (bestehend aus
|
|
13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
|
|
dass der Spieler
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item mindestens ein Ass hat?
|
|
\item genau ein Ass hat?
|
|
\item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
|
|
Hypergeometrische\\ Verteilung}
|
|
|
|
Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
|
|
von 52 Karten (bestehend aus
|
|
13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
|
|
dass der Spieler
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item mindestens ein Ass hat?\pause
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
|
|
= 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0,341
|
|
\end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
|
|
\item genau ein Ass hat?\pause
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0,299
|
|
\end{gather*}\pause
|
|
\item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
|
|
\begin{align*}
|
|
P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
|
|
&= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
|
|
&= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0,493
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 2}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Kombinatorik}
|
|
|
|
\vspace*{-18mm}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Potenzmenge
|
|
\vspace*{-2mm}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitfourcolumns}
|
|
\begin{align*}
|
|
\mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
|
|
A \subseteq \Omega \mright\} \hspace{10mm}
|
|
\left(\text{``Menge aller
|
|
Teilmengen von $\Omega$''}\right)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel
|
|
\begin{gather*}
|
|
\Omega = \{ A, B, C \}
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-15mm}%
|
|
\begin{align*}
|
|
\mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset,
|
|
\mleft\{ A \mright\}, \mleft\{ B \mright\},
|
|
\mleft\{ C \mright\}, \mleft\{ A, B \mright\},\\
|
|
&\mleft\{ A, C \mright\},
|
|
\mleft\{ B, C \mright\}, \mleft\{ A, B, C
|
|
\mright\} \}
|
|
\end{align*}%
|
|
\vspace*{-14mm}%
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{columns}
|
|
\vspace*{-3mm}
|
|
\item \pause Variationen und Kombinationen
|
|
\setlength\extrarowheight{2mm}
|
|
\begin{table}
|
|
\begin{tabular}{r||l|l}
|
|
& Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
|
|
\\\hline\hline Mit Reihenfolge
|
|
(\textit{Variationen}) & $\lvert
|
|
\widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
|
|
V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
|
|
Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
|
|
$\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
|
|
\binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
|
|
= \binom{N}{K} $
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
\item \pause Permutationen
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitfourcolumns}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\Pi_N = \mleft\{ \mleft( a_1, \ldots, a_N
|
|
\mright) \in \Omega : a_i \neq a_j, i \neq j
|
|
\mright\}\\
|
|
\begin{array}{r}
|
|
\text{Alle Elemente von $\Omega$ unterscheidbar:} \\
|
|
\text{Jeweils $L_1, L_2, \ldots, L_M$ der Elemente
|
|
sind gleich:}
|
|
\end{array}
|
|
\hspace{5mm}
|
|
\begin{array}{rl}
|
|
\lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
|
|
\lvert \Pi_N^{(L_1,
|
|
L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
|
|
\frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
|
|
\end{array}
|
|
\end{gather*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel:
|
|
\begin{gather*}
|
|
\Omega = {A, B, C}\\
|
|
\Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
|
|
(B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-14mm}%
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
|
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Potenzmenge}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
|
|
A \subseteq \Omega \mright\}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Permutationen}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{align*}
|
|
\lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
|
|
\lvert \Pi_N^{(L_1, L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
|
|
\frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitonecolumn}
|
|
\column{\kitfourcolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Variationen \& Kombinationen }
|
|
\begin{table}
|
|
\begin{tabular}{r||l|l}
|
|
& Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
|
|
\\\hline\hline Mit Reihenfolge
|
|
(\textit{Variationen}) & $\lvert
|
|
\widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
|
|
V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
|
|
Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
|
|
$\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
|
|
\binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
|
|
= \binom{N}{K} $
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitonecolumn}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
|
|
|
|
Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
|
|
Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
|
|
Zutaten Salat
|
|
(S), Käse (K), Tomate (T)
|
|
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
|
|
Burgers ausgewählt.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Die Ergebnismenge sei $\Omega = \{S, K, T, P\}$. Wie lautet die
|
|
Potenzmenge $P(\Omega)$?
|
|
\item Für einen normalen Burger werden 3 der 4 möglichen Zutaten
|
|
ausgewählt und in einer
|
|
bestimmten Reihenfolge auf das Burgerbrötchen gelegt. Wie viele
|
|
verschiedene normale
|
|
Burger gibt es?
|
|
\item Ein Burger ``Spezial'' besteht ebenfalls aus 3 Zutaten. Jedoch
|
|
können Tomate und Salat
|
|
doppelt vorkommen. Wie viele verschiedene Burger „Spezial“ gibt es?
|
|
\item Der Burger „Jumbo“ enthält die folgende Menge an Zutaten: $\{S, S,
|
|
T, T, K, K, K, P, P, P\}$
|
|
die alle verwendet werden. Wie viele mögliche Belegungen des Burgers
|
|
``Jumbo'' gibt es?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
|
|
|
|
Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
|
|
Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
|
|
Zutaten Salat
|
|
(S), Käse (K), Tomate (T)
|
|
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
|
|
Burgers ausgewählt.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Die Ergebnismenge sei $\Omega = \{S, K, T, P\}$. Wie lautet die
|
|
Potenzmenge $P(\Omega)$?\pause
|
|
\begin{align*}
|
|
\mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset, \mleft\{ S \mright\}, \mleft\{ K \mright\}, \mleft\{ T \mright\}, \mleft\{ P \mright\},\\
|
|
&\mleft\{ S, K \mright\}, \mleft\{ S, T \mright\}, \mleft\{ S, P \mright\}, \mleft\{ K, T \mright\}, \mleft\{ K,P \mright\}, \mleft\{ T, P \mright\}, \\
|
|
&\mleft\{ S, K, T \mright\}, \mleft\{ S, K, P \mright\}, \mleft\{ S, T, P \mright\}, \mleft\{ K, T, P \mright\}, \mleft\{ S, K, T, P \mright\}\}
|
|
\end{align*}%
|
|
\item \pause Für einen normalen Burger werden 3 der 4 möglichen Zutaten
|
|
ausgewählt und in einer
|
|
bestimmten Reihenfolge auf das Burgerbrötchen gelegt. Wie viele
|
|
verschiedene normale
|
|
Burger gibt es?\pause
|
|
\begin{gather*}
|
|
\lvert V_N^{(K)} \rvert = \frac{4!}{1!} = 24
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
|
|
|
|
Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
|
|
Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
|
|
Zutaten Salat
|
|
(S), Käse (K), Tomate (T)
|
|
und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
|
|
Burgers ausgewählt.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Ein Burger ``Spezial'' besteht ebenfalls aus 3 Zutaten. Jedoch
|
|
können Tomate und Salat
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doppelt vorkommen. Wie viele verschiedene Burger „Spezial“ gibt es?\pause
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\begin{align*}
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n_\text{Burger} &= n_\text{Burger,alle Unterschiedlich} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Salat}} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Tomate}} \\
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&= 24 + 3\cdot 3 + 3\cdot 3 = 42
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\end{align*}
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\item \pause Der Burger „Jumbo“ enthält die folgende Menge an Zutaten: $\{S, S,
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T, T, K, K, K, P, P, P\}$
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die alle verwendet werden. Wie viele mögliche Belegungen des Burgers
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``Jumbo'' gibt es?\pause
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\begin{gather*}
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\lvert \Pi_N^{L_1,L_2,L_3,L_4} \rvert = \frac{10!}{2!2!3!3!} = 25200
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\end{gather*}
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\end{frame}
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\end{document}
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