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\title{WT Tutorium 1}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{7. November 2025}

%
%
% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Struktur des Tutoriums}

\begin{frame}
    \frametitle{Struktur des Tutoriums}

    \begin{itemize}
        \item Ziele
            \begin{itemize}
                \item Üben/Verstehen der Herangehensweisen Aufgaben zu lösen
                \item Wiederholung der für die Aufgaben wichtigsten Teile
                    der Theorie
            \end{itemize}
        \item Struktur der Tutorien
            \begin{table}
                \begin{tabular}{l||c}
                    Abschnitt                           & Dauer \\\hline\hline
                    Aufgabe 1: Theorie Wiederholung     & $\SI{10}{\minute}$ \\
                    Aufgabe 1: Selbstrechenphase        & $\SI{20}{\minute}$ \\
                    Aufgabe 1: Besprechung der Lösung   &
                    $\SI{10}{\minute}$ \\\hline
                    Aufgabe 2: Theorie Wiederholung     & $\SI{10}{\minute}$ \\
                    Aufgabe 2: Selbstrechenphase        & $\SI{20}{\minute}$ \\
                    Aufgabe 2: Besprechung der Lösung   &
                    $\SI{10}{\minute}$ \\\hline
                    Zusammenfassung                     & $\SI{10}{\minute}$ \\
                \end{tabular}
            \end{table}
    \end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}{Ereignisse \& Laplace}
    \vspace*{-15mm}
    \begin{itemize}
        \item Ereignisse
            \begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{align*}
                    \text{Ergebnisraum: } & \hspace{5mm} \Omega =
                    \mleft\{ \omega_1, \ldots, \omega_N \mright\}\\
                    \text{Ergebnis: } & \hspace{5mm} \omega_i\\
                    \text{Ereignis: } & \hspace{5mm} A \subseteq \Omega
                \end{align*}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel: Würfeln mit einem Würfel
                    \begin{align*}
                        \Omega &= \mleft\{ 1, \ldots, 6 \mright\}\\
                        A &= \mleft\{ 1, 6 \mright\}
                    \end{align*}\\[1em]
                    \vspace*{-12mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
                    \begin{align*}
                        \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
                        1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
                        A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
                    \end{align*}
                    \vspace*{-12mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
                \vspace*{0mm}
            \end{columns}\pause
        \item Laplace'sches Zufallsexperiment
            % tex-fmt: off
            \begin{gather*}
                \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
                    \begin{array}{l}
                        \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\
                        P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert}
                    \end{array}
                    \right.\\[1em]
                    P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
                    \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
                    Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
                \end{gather*}
            % tex-fmt: on
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung}
    \begin{itemize}
        \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne
            Betrachtung der Reihenfolge
            \vspace*{5mm}
            \begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{gather*}
                    \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
                    \frac{N!}{(N-K)!K!}
                \end{gather*}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
                    es beim Lotto ``6 aus 49''?
                    \vspace*{0mm}
                    \begin{align*}
                        \begin{array}{c}
                            N = 49 \\
                            K = 6
                        \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
                        \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
                    \end{align*}
                    \vspace*{-8mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
            \pause
        \item Hypergeometrische Verteilung
            \begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{gather*}
                    P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
                \end{gather*}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
                    R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
                    beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
                    genau r rote zu erwischen?
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Zusammenfassung}
    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
                \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
                Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}

        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Kombinationen}%
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
                \frac{N!}{(N-K)!K!}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}

    \begin{columns}
        \column{\kitonecolumn}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}%
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitonecolumn}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
    Hypergeometrische\\ Verteilung}

    Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
    von 52 Karten (bestehend aus
    13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
    dass der Spieler

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item mindestens ein Ass hat?
        \item genau ein Ass hat?
        \item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
    Hypergeometrische\\ Verteilung}

    Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
    von 52 Karten (bestehend aus
    13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
    dass der Spieler

        % tex-fmt: off
        \begin{enumerate}[a{)}]
            \item mindestens ein Ass hat?\pause
                \begin{gather*}
                    P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
                    = 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0,341
                \end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
            \item genau ein Ass hat?\pause
                \begin{gather*}
                    P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0,299
                \end{gather*}\pause
            \item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
                \begin{align*}
                    P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
                                                             &= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
                                                             &= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0,493
                \end{align*}
        \end{enumerate}
        % tex-fmt: on

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Kombinatorik}

    \vspace*{-18mm}

    \begin{itemize}
        \item Potenzmenge
            \vspace*{-2mm}
            \begin{columns}
                \column{\kitfourcolumns}
                \begin{align*}
                    \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
                    A \subseteq \Omega \mright\} \hspace{10mm}
                    \left(\text{``Menge aller
                    Teilmengen von $\Omega$''}\right)
                \end{align*}
                \column{\kittwocolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel
                    \begin{gather*}
                        \Omega = \{ A, B, C \}
                    \end{gather*}%
                    \vspace*{-15mm}%
                    \begin{align*}
                        \mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset,
                            \mleft\{ A \mright\}, \mleft\{ B \mright\},
                            \mleft\{ C \mright\}, \mleft\{ A, B \mright\},\\
                            &\mleft\{ A, C \mright\},
                            \mleft\{ B, C \mright\}, \mleft\{ A, B, C
                        \mright\} \}
                    \end{align*}%
                    \vspace*{-14mm}%
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
            \vspace*{-3mm}
        \item \pause Variationen und Kombinationen
            \setlength\extrarowheight{2mm}
            \begin{table}
                \begin{tabular}{r||l|l}
                    & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
                    \\\hline\hline Mit Reihenfolge
                    (\textit{Variationen}) & $\lvert
                    \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
                    V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
                    Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
                    $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
                    \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
                    = \binom{N}{K} $
                \end{tabular}
            \end{table}
        \item \pause Permutationen
            \begin{columns}
                \column{\kitfourcolumns}
                \begin{gather*}
                    \Pi_N = \mleft\{ \mleft( a_1, \ldots, a_N
                        \mright) \in \Omega : a_i \neq a_j, i \neq j
                    \mright\}\\
                    \begin{array}{r}
                        \text{Alle Elemente von $\Omega$ unterscheidbar:} \\
                        \text{Jeweils $L_1, L_2, \ldots, L_M$ der Elemente
                        sind gleich:}
                    \end{array}
                    \hspace{5mm}
                    \begin{array}{rl}
                        \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
                        \lvert \Pi_N^{(L_1,
                        L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
                        \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
                    \end{array}
                \end{gather*}
                \column{\kittwocolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel:
                    \begin{gather*}
                        \Omega = {A, B, C}\\
                        \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
                        (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
                    \end{gather*}
                    \vspace*{-14mm}%
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Potenzmenge}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A:
                A \subseteq \Omega \mright\}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Permutationen}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{align*}
                \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\
                \lvert \Pi_N^{(L_1, L_2, \ldots, L_M)} \rvert &=
                \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!}
            \end{align*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
    \begin{columns}
        \column{\kitonecolumn}
        \column{\kitfourcolumns}
        \begin{greenblock}{Variationen \& Kombinationen }
            \begin{table}
                \begin{tabular}{r||l|l}
                    & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen
                    \\\hline\hline Mit Reihenfolge
                    (\textit{Variationen}) & $\lvert
                    \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert
                    V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline
                    Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) &
                    $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert =
                    \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert
                    = \binom{N}{K} $
                \end{tabular}
            \end{table}
        \end{greenblock}
        \column{\kitonecolumn}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}

    Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
    Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
    Zutaten Salat
    (S), Käse (K), Tomate (T)
    und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
    Burgers ausgewählt.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Die Ergebnismenge sei $\Omega = \{S, K, T, P\}$. Wie lautet die
            Potenzmenge $P(\Omega)$?
        \item Für einen normalen Burger werden 3 der 4 möglichen Zutaten
            ausgewählt und in einer
            bestimmten Reihenfolge auf das Burgerbrötchen gelegt. Wie viele
            verschiedene normale
            Burger gibt es?
        \item Ein Burger ``Spezial'' besteht ebenfalls aus 3 Zutaten. Jedoch
            können Tomate und Salat
            doppelt vorkommen. Wie viele verschiedene Burger „Spezial“ gibt es?
        \item Der Burger „Jumbo“ enthält die folgende Menge an Zutaten: $\{S, S,
            T, T, K, K, K, P, P, P\}$
            die alle verwendet werden. Wie viele mögliche Belegungen des Burgers
            ``Jumbo'' gibt es?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}

    Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
    Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
    Zutaten Salat
    (S), Käse (K), Tomate (T)
    und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
    Burgers ausgewählt.

        % tex-fmt: off
        \begin{enumerate}[a{)}]
            \item Die Ergebnismenge sei $\Omega = \{S, K, T, P\}$. Wie lautet die
                Potenzmenge $P(\Omega)$?\pause
                \begin{align*}
                    \mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset, \mleft\{ S \mright\}, \mleft\{ K \mright\}, \mleft\{ T \mright\}, \mleft\{ P \mright\},\\
                            &\mleft\{ S, K \mright\}, \mleft\{ S, T \mright\}, \mleft\{ S, P \mright\}, \mleft\{ K, T \mright\}, \mleft\{ K,P \mright\}, \mleft\{ T, P \mright\}, \\
                            &\mleft\{ S, K, T \mright\}, \mleft\{ S, K, P \mright\}, \mleft\{ S, T, P \mright\}, \mleft\{ K, T, P \mright\}, \mleft\{ S, K, T, P \mright\}\}
                \end{align*}%
            \item \pause Für einen normalen Burger werden 3 der 4 möglichen Zutaten
                ausgewählt und in einer
                bestimmten Reihenfolge auf das Burgerbrötchen gelegt. Wie viele
                verschiedene normale
                Burger gibt es?\pause
                \begin{gather*}
                    \lvert V_N^{(K)} \rvert = \frac{4!}{1!}  = 24
                \end{gather*}
        \end{enumerate}
        % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}

    Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
    Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
    Zutaten Salat
    (S), Käse (K), Tomate (T)
    und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
    Burgers ausgewählt.

        % tex-fmt: off
        \begin{enumerate}[a{)}]
            \setcounter{enumi}{2}
            \item Ein Burger ``Spezial'' besteht ebenfalls aus 3 Zutaten. Jedoch
                können Tomate und Salat
                doppelt vorkommen. Wie viele verschiedene Burger „Spezial“ gibt es?\pause
                \begin{align*}
                    n_\text{Burger} &= n_\text{Burger,alle Unterschiedlich} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Salat}} + n_{\text{Burger,2}\times\text{Tomate}} \\
                                    &= 24 + 3\cdot 3 + 3\cdot 3 = 42
                \end{align*}
            \item \pause Der Burger „Jumbo“ enthält die folgende Menge an Zutaten: $\{S, S,
                T, T, K, K, K, P, P, P\}$
                die alle verwendet werden. Wie viele mögliche Belegungen des Burgers
                ``Jumbo'' gibt es?\pause
                \begin{gather*}
                    \lvert \Pi_N^{L_1,L_2,L_3,L_4} \rvert = \frac{10!}{2!2!3!3!} = 25200
                \end{gather*}
        \end{enumerate}
        % tex-fmt: on
\end{frame}

\end{document}