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TeX
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TeX
\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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%
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% Custom commands
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%
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%
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2025-12-05/res}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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|
\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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|
%\tikzexternalize[prefix=build/]
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{bbm}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{xcolor}
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\title{WT Tutorium 3}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{5. Dezember 2025}
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%
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%
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% Document body
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%
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
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\titlepage
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
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|
\vspace*{-10mm}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item Zufallsvariablen (ZV)
|
|
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{gather*}
|
|
\text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
|
|
$\Omega$} \\[1cm]
|
|
X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
|
|
\underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
|
|
P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\hspace*{15mm}%
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
|
\begin{gather*}
|
|
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
|
|
X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
|
|
, 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
|
|
\underbrace{\left\{2,3,
|
|
\ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
|
|
\end{gather*}\\
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
A = \text{\normalfont``Die Summe der
|
|
Augenzahlen ist 4''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
Direkter Weg
|
|
\begin{align*}
|
|
P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
|
|
(3,1) \mright\}) \\
|
|
&= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
|
|
&= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
Über ZV
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A) = P_X(4) = \cdots
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
|
|
|
|
\vspace*{-18mm}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{align*}
|
|
\overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
|
|
&= \sum_{n:x_n \le x}
|
|
\overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
|
|
&= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)
|
|
\end{gather*}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
|
\begin{gather*}
|
|
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=2,xmax=12,
|
|
ymin=-0.2,ymax=1.2,
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$F_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(2 , 0.02777)
|
|
(3 , 0.02777)
|
|
(3 , 0.08333)
|
|
(4 , 0.08333)
|
|
(4 , 0.16666)
|
|
(5 , 0.16666)
|
|
(5 , 0.27777)
|
|
(6 , 0.27777)
|
|
(6 , 0.41666)
|
|
(7 , 0.41666)
|
|
(7 , 0.58333)
|
|
(8 , 0.58333)
|
|
(8 , 0.72222)
|
|
(9 , 0.72222)
|
|
(9 , 0.83333)
|
|
(10 , 0.83333)
|
|
(10, 0.91666)
|
|
(11, 0.91666)
|
|
(11, 0.97222)
|
|
(12, 0.97222)
|
|
(12, 1.00000)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{columns}
|
|
\pause
|
|
\item Kenngrößen von Verteilungen
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Erwartungswert}
|
|
\begin{gather*}
|
|
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-8mm}%
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X + b) &= E(X) + b\\
|
|
E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
|
|
E(aX) &= aE(X)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Varianz}
|
|
\begin{gather*}
|
|
V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\begin{align*}
|
|
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
|
|
V(aX) &= a^2 V(x)\\
|
|
V(X+b) &= V(X)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{$p$-Quantil}
|
|
\begin{gather*}
|
|
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
|
|
\le x) \ge p \mright\}
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
|
|
\equiv \text{``Median''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Beispiele von Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-18mm}
|
|
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Bernoulli Verteilung}\\
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
$X$ kann nur die Werte $0$ oder $1$\\ annehmen
|
|
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
|
\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Bernoulli}(p)
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(X=0) = 1-p, \hspace{5mm} P(X=1) = p
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= p\\
|
|
V(X) &= p(1-p)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Binomialverteilung}\\
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
$X\equiv$ ``Zählen der Treffer bei $N$ unabhängigen Versuchen''
|
|
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
|
\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Bin}(N,p)
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= Np\\
|
|
V(X) &= Np(1-p)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Poisson Verteilung}\\
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit
|
|
$pN=\text{const.}=: \lambda$
|
|
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
|
\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= \lambda\\
|
|
V(X) &= \lambda
|
|
\end{align*}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
|
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Erwartungswert}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-8mm}%
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X + b) &= E(X) + b\\
|
|
E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
|
|
E(aX) &= aE(X)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Binomialverteilung}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= Np\\
|
|
V(X) &= Np(1-p)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
|
|
Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
|
|
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
|
|
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
|
|
der Wahrscheinlichkeit
|
|
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
|
|
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
|
|
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
|
|
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
|
|
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
|
|
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
|
|
\item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
|
|
Zufallsvariablen $R$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
\textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den
|
|
bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.}
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
|
|
Landstraße und über die
|
|
Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
|
|
Autofahrer auf der Landstraße bzw.
|
|
auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
|
|
liegt bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei
|
|
$p_\text{A} = 0{,}3$.
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{3}
|
|
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
|
|
an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
|
|
\item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
|
|
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
|
|
Autofahrer innerhalb eines Jahres?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-16mm}
|
|
|
|
Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
|
|
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
|
|
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
|
|
der Wahrscheinlichkeit
|
|
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
|
|
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
|
|
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
|
|
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
\Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
|
|
R \sim \text{Bin}(N=6, p=0{,}2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1{,}2
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
|
|
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
|
|
\pause \begin{gather*}
|
|
P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^3 \approx 0{,}0819
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
|
|
Zufallsvariablen $R$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
|
|
\pause
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{gather*}
|
|
F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
|
|
\binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{table}
|
|
\begin{tabular}{c|ccccccc}
|
|
$r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
|
|
$F_R(r)$ & $0{,}262$ & $0{,}655$ & $0{,}901$ &
|
|
$0{,}983$ & $0{,}998$ & $0{,}999$ & $1$
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=6,
|
|
ymin=-0.2,ymax=1.2,
|
|
xlabel=$r$,
|
|
ylabel=$F_R(r)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(0,0.262)
|
|
(1,0.262)
|
|
(1,0.655)
|
|
(2,0.655)
|
|
(2,0.901)
|
|
(3,0.901)
|
|
(3,0.983)
|
|
(4,0.983)
|
|
(4,0.998)
|
|
(5,0.998)
|
|
(5,0.999)
|
|
(6,0.999)
|
|
(6,1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-16mm}
|
|
|
|
Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
|
|
Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
|
|
dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
|
|
Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
|
|
bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0{,}3$.
|
|
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
|
|
\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{3}
|
|
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
|
|
an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
R := A + L
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-14mm}%
|
|
\begin{align*}
|
|
P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}56\\
|
|
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
|
|
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}06
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
|
|
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
|
|
Autofahrer innerhalb eines Jahres?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
|
|
\pause
|
|
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{align*}
|
|
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
|
|
E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0{,}38 +
|
|
2\cdot 0{,}06\right]\\[2mm]
|
|
&= 200\cdot 0{,}5 = 100
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\begin{minipage}{0.06\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{align*}
|
|
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
|
|
E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
|
|
\text{Bin}(N=200, p=0{,}3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
|
|
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200, p=0{,}2)}\Big)\\[2mm]
|
|
&= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
|
|
E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
|
|
&= 200\cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}2 = 100
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 2}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Weitere Kenngrößen von Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{$k$-tes Moment}
|
|
\begin{gather*}
|
|
E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{$k$-tes zentrales Moment}
|
|
\begin{gather*}
|
|
E\left( \left(X - E(X)\right)^k \right) =
|
|
\sum_{n=1}^{\infty} \left(x_n - E(X)\right)^k P(X=x_n)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\end{columns}
|
|
\vspace*{20mm}
|
|
\pause
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Charakteristische Funktion (diskret)}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\phi_X(s) = E(e^{jsX}) = \sum_{n=1}^{\infty}
|
|
e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
|
|
E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
|
|
\end{gather*}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Erzeugende Funktion}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\text{Voraussetzung:} \hspace{5mm} x \in \mathbb{N}_0\\[5mm]
|
|
\psi(z) = E(z^x) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(x=n)\\[5mm]
|
|
P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
|
|
|
\vspace*{-16mm}
|
|
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Varianz}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\begin{align*}
|
|
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
|
|
V(aX) &= a^2 V(x)\\
|
|
V(X+b) &= V(X)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{$p$-Quantil}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
|
|
\le x) \ge p \mright\}
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
|
|
\equiv \text{``Median''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{$k$-tes Moment}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Charakt. Funktion (diskret)}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\phi_X(s) = \sum_{n=1}^{\infty}
|
|
e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
|
|
E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Erzeugende Funktion}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
\psi(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(X=n)\\[5mm]
|
|
P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
|
|
|
Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=5.5,
|
|
ymin=0,ymax=1,
|
|
xtick={0,...,5},
|
|
ytick={0,0.2,...,1},
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$F_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(0,0)
|
|
(1,0)
|
|
(1,0.2)
|
|
(2,0.2)
|
|
(2,0.6)
|
|
(3,0.6)
|
|
(3,0.7)
|
|
(4,0.7)
|
|
(4,0.9)
|
|
(5,0.9)
|
|
(5,1)
|
|
(5.5,1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
|
|
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
|
|
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
|
|
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
|
|
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
|
|
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
|
|
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
|
|
sind.
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
|
|
|
Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=5.5,
|
|
ymin=0,ymax=1,
|
|
xtick={0,...,5},
|
|
ytick={0,0.2,...,1},
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$F_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(0,0)
|
|
(1,0)
|
|
(1,0.2)
|
|
(2,0.2)
|
|
(2,0.6)
|
|
(3,0.6)
|
|
(3,0.7)
|
|
(4,0.7)
|
|
(4,0.9)
|
|
(5,0.9)
|
|
(5,1)
|
|
(5.5,1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\pause
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=5.5,
|
|
ymin=0,ymax=0.5,
|
|
xtick={0,...,5},
|
|
ytick={0,0.1,...,0.5},
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$P_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(1,0.2)
|
|
(2,0.4)
|
|
(3,0.1)
|
|
(4,0.2)
|
|
(5,0.1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
|
|
|
\vspace*{-12mm}
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=5.5,
|
|
ymin=0,ymax=0.5,
|
|
xtick={0,...,5},
|
|
ytick={0,0.1,...,0.5},
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$P_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(1,0.2)
|
|
(2,0.4)
|
|
(3,0.1)
|
|
(4,0.2)
|
|
(5,0.1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\vspace*{-5mm}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{1}
|
|
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
|
|
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
|
|
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
\psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3
|
|
+ 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\
|
|
\phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js}
|
|
+ 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s}
|
|
\end{align*}
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
\left.\begin{array}{c}
|
|
V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm]
|
|
E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j}
|
|
= \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm]
|
|
E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2}
|
|
= \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4
|
|
\end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
|
|
|
\vspace*{-5mm}
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=5.5,
|
|
ymin=0,ymax=1,
|
|
xtick={0,...,5},
|
|
ytick={0,0.2,...,1},
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$F_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(0,0)
|
|
(1,0)
|
|
(1,0.2)
|
|
(2,0.2)
|
|
(2,0.6)
|
|
(3,0.6)
|
|
(3,0.7)
|
|
(4,0.7)
|
|
(4,0.9)
|
|
(5,0.9)
|
|
(5,1)
|
|
(5.5,1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
|
|
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
|
|
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
|
|
sind.
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\
|
|
E(X) &= 2{,}6
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
\centering
|
|
\pause\begin{minipage}{0.7\textwidth}
|
|
Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten
|
|
Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung
|
|
symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h.,
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}.
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|