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\title{WT Tutorium 3}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{5. Dezember 2025}

%
%
% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Zufallsvariablen (ZV)
            \begin{minipage}{0.33\textwidth}
                \centering
                \begin{gather*}
                    \text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
                    $\Omega$} \\[1cm]
                    X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
                    \underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
                    P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
                \end{gather*}
            \end{minipage}%
            \hspace*{15mm}%
            \begin{minipage}{0.6\textwidth}
                \centering
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
                    \begin{gather*}
                        X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
                        X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
                        , 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
                        \underbrace{\left\{2,3,
                        \ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
                    \end{gather*}\\
                    \vspace*{5mm}
                    \begin{tikzpicture}
                        \draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
                    \end{tikzpicture}
                    \vspace*{2mm}
                    \begin{gather*}
                        A = \text{\normalfont``Die Summe der
                        Augenzahlen ist 4''}
                    \end{gather*}
                    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
                        \centering
                        Direkter Weg
                        \begin{align*}
                            P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
                            (3,1) \mright\}) \\
                            &= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
                            &= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
                        \end{align*}
                    \end{minipage}%
                    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
                        \centering
                        Über ZV
                        \begin{gather*}
                            P(A) = P_X(4) = \cdots
                        \end{gather*}
                    \end{minipage}
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{minipage}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}

    \vspace*{-18mm}

    \begin{itemize}
        \item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
            \vspace*{-6mm}
            \begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{align*}
                    \overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
                    &= \sum_{n:x_n \le x}
                    \overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
                    &= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
                \end{align*}
                \begin{gather*}
                    P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)
                \end{gather*}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
                    \begin{gather*}
                        X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
                    \end{gather*}
                    \vspace*{-10mm}
                    \begin{figure}[H]
                        \centering
                        \begin{tikzpicture}
                            \begin{axis}[
                                    xmin=2,xmax=12,
                                    ymin=-0.2,ymax=1.2,
                                    xlabel=$x$,
                                    ylabel=$F_X(x)$,
                                    width=12cm,
                                    height=5cm,
                                ]
                                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                                coordinates
                                {
                                    (2 , 0.02777)
                                    (3 , 0.02777)
                                    (3 , 0.08333)
                                    (4 , 0.08333)
                                    (4 , 0.16666)
                                    (5 , 0.16666)
                                    (5 , 0.27777)
                                    (6 , 0.27777)
                                    (6 , 0.41666)
                                    (7 , 0.41666)
                                    (7 , 0.58333)
                                    (8 , 0.58333)
                                    (8 , 0.72222)
                                    (9 , 0.72222)
                                    (9 , 0.83333)
                                    (10 , 0.83333)
                                    (10, 0.91666)
                                    (11, 0.91666)
                                    (11, 0.97222)
                                    (12, 0.97222)
                                    (12, 1.00000)
                                };
                            \end{axis}
                        \end{tikzpicture}
                    \end{figure}
                    \vspace*{-10mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
            \pause
        \item Kenngrößen von Verteilungen
            \vspace*{2mm}
            \begin{columns}[t]
                \column{\kittwocolumns}
                \centering
                \textbf{Erwartungswert}
                \begin{gather*}
                    E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
                \end{gather*}%
                \vspace*{-8mm}%
                \begin{align*}
                    E(X + b) &= E(X) + b\\
                    E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
                    E(aX) &= aE(X)
                \end{align*}
                \column{\kittwocolumns}
                \centering
                \textbf{Varianz}
                \begin{gather*}
                    V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
                \end{gather*}%
                \vspace*{-8mm}
                \begin{align*}
                    V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
                    V(aX) &= a^2 V(x)\\
                    V(X+b) &= V(X)
                \end{align*}
                \column{\kittwocolumns}
                \centering
                \textbf{$p$-Quantil}
                \begin{gather*}
                    x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
                    \le x) \ge p \mright\}
                \end{gather*}
                \vspace*{-8mm}
                \begin{gather*}
                    p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
                    \equiv \text{``Median''}
                \end{gather*}
            \end{columns}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Beispiele von Verteilungen}

    \vspace*{-18mm}

    \begin{columns}[t]
        \column{\kittwocolumns}
        \centering
        \textbf{Bernoulli Verteilung}\\
        \vspace*{10mm}
        $X$ kann nur die Werte $0$ oder $1$\\ annehmen
        \rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
        \begin{gather*}
            X \sim \text{Bernoulli}(p)
        \end{gather*}
        \begin{gather*}
            P(X=0) = 1-p, \hspace{5mm} P(X=1) = p
        \end{gather*}
        \begin{align*}
            E(X) &= p\\
            V(X) &= p(1-p)
        \end{align*}
        \column{\kittwocolumns}
        \centering
        \textbf{Binomialverteilung}\\
        \vspace*{10mm}
        $X\equiv$ ``Zählen der Treffer bei $N$ unabhängigen Versuchen''
        \rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
        \begin{gather*}
            X \sim \text{Bin}(N,p)
        \end{gather*}
        \begin{gather*}
            P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
        \end{gather*}
        \begin{align*}
            E(X) &= Np\\
            V(X) &= Np(1-p)
        \end{align*}
        \column{\kittwocolumns}
        \centering
        \textbf{Poisson Verteilung}\\
        \vspace*{10mm}
        Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit
        $pN=\text{const.}=: \lambda$
        \rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
        \begin{gather*}
            X \sim \text{Poisson}(\lambda)
        \end{gather*}
        \begin{gather*}
            P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
        \end{gather*}
        \begin{align*}
            E(X) &= \lambda\\
            V(X) &= \lambda
        \end{align*}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \begin{columns}[t]
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Erwartungswert}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
            \end{gather*}%
            \vspace*{-8mm}%
            \begin{align*}
                E(X + b) &= E(X) + b\\
                E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
                E(aX) &= aE(X)
            \end{align*}
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Binomialverteilung}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
            \end{gather*}
            \begin{align*}
                E(X) &= Np\\
                V(X) &= Np(1-p)
            \end{align*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}

    \vspace*{-10mm}

    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
    der Wahrscheinlichkeit
    $p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
        \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
            Zufallsvariablen $R$.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \vspace*{5mm}

    \textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den
    bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.}

    \vspace*{5mm}

    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
    Landstraße und über die
    Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
    Autofahrer auf der Landstraße bzw.
    auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
    liegt bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei
    $p_\text{A} = 0{,}3$.

    \vspace*{5mm}

    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{3}
        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
        \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}

    \vspace*{-16mm}

    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
    der Wahrscheinlichkeit
    $p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
            \pause\begin{gather*}
                \Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
                R \sim \text{Bin}(N=6, p=0{,}2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1{,}2
            \end{gather*}
        \vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
            \pause \begin{gather*}
                P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^3 \approx 0{,}0819
            \end{gather*}
        \vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
            Zufallsvariablen $R$.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \vspace*{2mm}

    \pause
    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{gather*}
            F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
            \binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
        \end{gather*}
        \begin{table}
            \begin{tabular}{c|ccccccc}
                $r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
                $F_R(r)$ & $0{,}262$ & $0{,}655$ & $0{,}901$ &
                $0{,}983$ & $0{,}998$ & $0{,}999$ & $1$
            \end{tabular}
        \end{table}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        xmin=0,xmax=6,
                        ymin=-0.2,ymax=1.2,
                        xlabel=$r$,
                        ylabel=$F_R(r)$,
                        width=12cm,
                        height=5cm,
                    ]
                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                    coordinates
                    {
                        (0,0.262)
                        (1,0.262)
                        (1,0.655)
                        (2,0.655)
                        (2,0.901)
                        (3,0.901)
                        (3,0.983)
                        (4,0.983)
                        (4,0.998)
                        (5,0.998)
                        (5,0.999)
                        (6,0.999)
                        (6,1)
                    };
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}

    \vspace*{-16mm}

    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
    Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
    dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
    Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
    bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0{,}3$.

    \vspace*{2mm}

    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{3}
        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
            \pause\begin{gather*}
                R := A + L
            \end{gather*}%
            \vspace*{-14mm}%
            \begin{align*}
                P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0)  &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}56\\
                P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
                P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}06
            \end{align*}
        \vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \vspace*{-6mm}

    \pause
    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
            E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0{,}38 +
            2\cdot 0{,}06\right]\\[2mm]
            &= 200\cdot 0{,}5 = 100
        \end{align*}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.06\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
            E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
                \text{Bin}(N=200, p=0{,}3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
            L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200, p=0{,}2)}\Big)\\[2mm]
            &= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
            E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
            &= 200\cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}2 = 100
        \end{align*}
    \end{minipage}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Weitere Kenngrößen von Verteilungen}

    \vspace*{-10mm}

    \vspace*{10mm}
    \begin{columns}[t]
        \column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \textbf{$k$-tes Moment}
        \begin{gather*}
            E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
        \end{gather*}%
        \column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \textbf{$k$-tes zentrales Moment}
        \begin{gather*}
            E\left( \left(X - E(X)\right)^k \right) =
            \sum_{n=1}^{\infty} \left(x_n - E(X)\right)^k P(X=x_n)
        \end{gather*}%
    \end{columns}
    \vspace*{20mm}
    \pause
    \begin{columns}[t]
        \column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \textbf{Charakteristische Funktion (diskret)}
        \begin{gather*}
            \phi_X(s) = E(e^{jsX}) = \sum_{n=1}^{\infty}
            e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
            E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
        \end{gather*}
        \column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \textbf{Erzeugende Funktion}
        \begin{gather*}
            \text{Voraussetzung:} \hspace{5mm} x \in \mathbb{N}_0\\[5mm]
            \psi(z) = E(z^x) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(x=n)\\[5mm]
            P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
        \end{gather*}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \vspace*{-16mm}

    \begin{columns}[t]
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Varianz}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
            \end{gather*}%
            \vspace*{-8mm}
            \begin{align*}
                V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
                V(aX) &= a^2 V(x)\\
                V(X+b) &= V(X)
            \end{align*}
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{$p$-Quantil}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
                \le x) \ge p \mright\}
            \end{gather*}
            \vspace*{-8mm}
            \begin{gather*}
                p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
                \equiv \text{``Median''}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
    \begin{columns}[t]
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{$k$-tes Moment}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
            \end{gather*}%
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Charakt. Funktion (diskret)}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \phi_X(s) = \sum_{n=1}^{\infty}
                e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
                E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Erzeugende Funktion}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \psi(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(X=n)\\[5mm]
                P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}

    Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:

    \begin{figure}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                    xmin=0,xmax=5.5,
                    ymin=0,ymax=1,
                    xtick={0,...,5},
                    ytick={0,0.2,...,1},
                    xlabel=$x$,
                    ylabel=$F_X(x)$,
                    width=12cm,
                    height=5cm,
                ]
                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                coordinates
                {
                    (0,0)
                    (1,0)
                    (1,0.2)
                    (2,0.2)
                    (2,0.6)
                    (3,0.6)
                    (3,0.7)
                    (4,0.7)
                    (4,0.9)
                    (5,0.9)
                    (5,1)
                    (5.5,1)
                };
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}

    \vspace*{-10mm}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
        \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
            charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
            von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
        \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
            beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
            diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
            sind.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}

    Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:

    \begin{figure}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                    xmin=0,xmax=5.5,
                    ymin=0,ymax=1,
                    xtick={0,...,5},
                    ytick={0,0.2,...,1},
                    xlabel=$x$,
                    ylabel=$F_X(x)$,
                    width=12cm,
                    height=5cm,
                ]
                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                coordinates
                {
                    (0,0)
                    (1,0)
                    (1,0.2)
                    (2,0.2)
                    (2,0.6)
                    (3,0.6)
                    (3,0.7)
                    (4,0.7)
                    (4,0.9)
                    (5,0.9)
                    (5,1)
                    (5.5,1)
                };
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}

    \vspace*{-10mm}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \pause
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                    xmin=0,xmax=5.5,
                    ymin=0,ymax=0.5,
                    xtick={0,...,5},
                    ytick={0,0.1,...,0.5},
                    xlabel=$x$,
                    ylabel=$P_X(x)$,
                    width=12cm,
                    height=5cm,
                ]
                \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
                coordinates
                {
                    (1,0.2)
                    (2,0.4)
                    (3,0.1)
                    (4,0.2)
                    (5,0.1)
                };
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}

    \vspace*{-12mm}

    \begin{figure}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                    xmin=0,xmax=5.5,
                    ymin=0,ymax=0.5,
                    xtick={0,...,5},
                    ytick={0,0.1,...,0.5},
                    xlabel=$x$,
                    ylabel=$P_X(x)$,
                    width=12cm,
                    height=5cm,
                ]
                \addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
                coordinates
                {
                    (1,0.2)
                    (2,0.4)
                    (3,0.1)
                    (4,0.2)
                    (5,0.1)
                };
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}

    \vspace*{-5mm}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
            charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
            von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
            \pause\begin{align*}
                \psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3
                + 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\
                \phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js}
                + 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s}
            \end{align*}
            \pause\begin{gather*}
                \left.\begin{array}{c}
                    V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm]
                    E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j}
                    = \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm]
                    E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2}
                    = \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4
                \end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}

    \vspace*{-5mm}

    \begin{figure}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                    xmin=0,xmax=5.5,
                    ymin=0,ymax=1,
                    xtick={0,...,5},
                    ytick={0,0.2,...,1},
                    xlabel=$x$,
                    ylabel=$F_X(x)$,
                    width=12cm,
                    height=5cm,
                ]
                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                coordinates
                {
                    (0,0)
                    (1,0)
                    (1,0.2)
                    (2,0.2)
                    (2,0.6)
                    (3,0.6)
                    (3,0.7)
                    (4,0.7)
                    (4,0.9)
                    (5,0.9)
                    (5,1)
                    (5.5,1)
                };
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{2}
        \item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
            beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
            diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
            sind.
            \pause\begin{align*}
                x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\
                E(X) &= 2{,}6
            \end{align*}

            \vspace*{5mm}
            \centering
            \pause\begin{minipage}{0.7\textwidth}
                Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten
                Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung
                symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h.,
                \begin{gather*}
                    P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}.
                \end{gather*}
            \end{minipage}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\end{document}