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TeX
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\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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%\tikzexternalize[prefix=build/]
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{bbm}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{calc}
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\title{WT Tutorium 5}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{16. Januar 2026}
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%
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% Custom commands
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}
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\newlength{\depthofsumsign}
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\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
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\newlength{\totalheightofsumsign}
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\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
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\mathop{
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\raisebox
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{-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
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{\scalebox
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{#1}
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{$\displaystyle\sum$}%
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}
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}
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}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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%
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%
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% Document body
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%
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
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\titlepage
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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% TODO:
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Aufgabe}
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\begin{frame}
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\frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
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|
Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
|
|
$Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
|
|
bzw. $\lambda_2$ gegeben.
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% tex-fmt: off
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|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
|
|
Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
|
|
\lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
|
|
zweier Zufallsvariablen.
|
|
\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
|
|
charakteristischen Funktion.
|
|
\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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|
\end{frame}
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\begin{frame}[fragile]
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|
\frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
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\vspace*{-3mm}
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|
|
|
Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
|
|
$Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
|
|
bzw. $\lambda_2$ gegeben.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
|
|
Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
|
|
\lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
|
|
zweier Zufallsvariablen.
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
|
|
\Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
|
|
= \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
|
|
Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
|
|
\Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
|
|
= \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
|
|
\end{gather*}
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
|
|
= \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
|
|
\cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!}
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-4mm}
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
|
|
\frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
|
|
&= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
|
|
\frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
|
|
&= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
|
|
\binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
|
|
= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
|
|
( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
|
|
=: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\[6mm]
|
|
& \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}
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|
\frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
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% tex-fmt: off
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|
\begin{enumerate}[a{)}]
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|
\setcounter{enumi}{1}
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|
\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
|
|
charakteristischen Funktion.
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|
\pause\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
|
|
\Leftrightarrow \hspace{3mm}
|
|
\phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda_1 (e^{js} -1)\right)
|
|
\hspace{30mm}
|
|
Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
|
|
\Leftrightarrow \hspace{3mm}
|
|
\phi_Y(s) = \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right)
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-5mm}
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
\phi_Z(s) &= \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s) \\
|
|
&= \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \cdot
|
|
\text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \\
|
|
&= \text{exp}\left((\lambda_1 + \lambda_2) (e^{js} -1)\right) \\[4mm]
|
|
& \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 2}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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|
\subsection{Theorie Wiederholung}
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|
% TODO:
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|
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|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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|
\subsection{Aufgabe}
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\begin{frame}
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|
\frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
|
|
|
|
Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
|
|
Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
|
|
$x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
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|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
|
|
Transformationssatzes.
|
|
\item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
|
|
Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
|
|
\item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
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|
\frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
|
|
|
|
\vspace*{-15mm}
|
|
|
|
Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
|
|
Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
|
|
$x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
|
|
Transformationssatzes.
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{l}
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|
U := X \\
|
|
V := Z = X \cdot Y
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|
\end{array}
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|
\right\}
|
|
\Rightarrow
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|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
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|
X = h_1(U,V) = U \\
|
|
Y = h_2(U,V) = \frac{V}{U}
|
|
\end{array}
|
|
\hspace{20mm}
|
|
\left(\begin{array}{l}
|
|
0 < x \le 1 \Rightarrow 0 < u \le 1 \\
|
|
0 < y \le 1 \Rightarrow 0 < v \le u \le 1
|
|
\end{array}
|
|
\right)
|
|
\right.
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
\mathcal{J} = \begin{pmatrix}
|
|
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[2mm]
|
|
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
|
|
\end{pmatrix}
|
|
= \begin{pmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
- \frac{v}{u^2} & \frac{1}{u}
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
f_{U,V}(u,v) &= \lvert \text{det}(\mathcal{J}) \rvert
|
|
\cdot f_{X,Y} \big(h_1(u,v),h_2(u,v)\big)
|
|
= \frac{1}{u} \cdot \left(u + \frac{v}{u}\right)
|
|
= 1 + \frac{v}{u^2}, && \hspace*{-20mm} 0 < v \le u \le 1 \\[3mm]
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-22mm}
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
f_V(v) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{U,V}(u,v) du
|
|
= \int_{v}^{1} 1 + \frac{v}{u^2} du
|
|
= \left[ u - \frac{v}{u} \right]_v^1
|
|
= 2(1-v), && \hspace*{-20mm} 0 < v \le 1
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace{5mm}
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
f_Z(z) = \left\{\begin{array}{ll}
|
|
2(1-z) \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} 0 < z \le 1 \\
|
|
0 \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} \text{sonst}\\
|
|
\end{array}\right.
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
|
|
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{1}
|
|
\item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
|
|
Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
\end{align*}
|
|
\pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\end{document}
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