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\documentclass[de]{CELbeamer}
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% CEL Template
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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% Document setup
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\title{WT Tutorium 5}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{16. Januar 2026}

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% Custom commands
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\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}

\newlength{\depthofsumsign}
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\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
    \mathop{
        \raisebox
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        {\scalebox
            {#1}
            {$\displaystyle\sum$}%
        }
    }
}

% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}

%
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% Document body
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\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% TODO:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
    bzw. $\lambda_2$ gegeben.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
            zweier Zufallsvariablen.
        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
            charakteristischen Funktion.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    \vspace*{-3mm}

    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
    bzw. $\lambda_2$ gegeben.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
            zweier Zufallsvariablen.
            \pause\begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
                    = \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
                    = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
            \end{gather*}
            \pause\begin{align*}
                P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
                = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!}
            \end{align*}
            \vspace*{-4mm}
            \pause\begin{align*}
                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
                    \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
                    \frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
                    \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
                = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
                    ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
                    =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\[6mm]
                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
            charakteristischen Funktion.
            \pause\begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
                    \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda_1 (e^{js} -1)\right)
                \hspace{30mm}
                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
                    \phi_Y(s) = \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right)
            \end{gather*}
            \vspace*{-5mm}
            \pause\begin{align*}
                \phi_Z(s) &= \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s) \\
                &= \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \cdot
                    \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \\
                &= \text{exp}\left((\lambda_1 + \lambda_2) (e^{js} -1)\right) \\[4mm]
                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% TODO:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
            Transformationssatzes.
        \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
        \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    \vspace*{-15mm}

    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
            Transformationssatzes.
            \pause\begin{gather*}
                \left.
                \begin{array}{l}
                    U := X \\
                    V := Z = X \cdot Y
                \end{array}
                \right\}
                \Rightarrow
                \left\{
                \begin{array}{l}
                    X = h_1(U,V) = U \\
                    Y = h_2(U,V) = \frac{V}{U}
                \end{array}
                \hspace{20mm}
                \left(\begin{array}{l}
                    0 < x \le 1 \Rightarrow 0 < u \le 1 \\
                    0 < y \le 1 \Rightarrow 0 < v \le u \le 1
                \end{array}
                \right)
                \right.
            \end{gather*}
            \vspace*{5mm}
            \pause\begin{gather*}
                \mathcal{J} = \begin{pmatrix}
                    \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}  \\[2mm]
                    \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
                \end{pmatrix}
                 = \begin{pmatrix}
                     1 & 0 \\
                     - \frac{v}{u^2} & \frac{1}{u}
                \end{pmatrix}
            \end{gather*}
            \begin{align*}
                f_{U,V}(u,v) &= \lvert \text{det}(\mathcal{J}) \rvert
                    \cdot f_{X,Y} \big(h_1(u,v),h_2(u,v)\big)
                    = \frac{1}{u} \cdot \left(u + \frac{v}{u}\right)
                = 1 + \frac{v}{u^2}, && \hspace*{-20mm} 0 < v \le u \le 1 \\[3mm]
            \end{align*}
            \vspace*{-22mm}
            \pause\begin{align*}
                f_V(v) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{U,V}(u,v) du
                    = \int_{v}^{1} 1 + \frac{v}{u^2} du
                    = \left[ u - \frac{v}{u} \right]_v^1
                    = 2(1-v), && \hspace*{-20mm} 0 < v \le 1
            \end{align*}
            \vspace{5mm}
            \pause\begin{gather*}
                f_Z(z) = \left\{\begin{array}{ll}
                    2(1-z) \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} 0 < z \le 1 \\
                    0 \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} \text{sonst}\\
                \end{array}\right.
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
            \pause\begin{align*}
            \end{align*}
        \pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
            \pause\begin{align*}
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{frame}

\end{document}

