395 lines
10 KiB
TeX
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TeX
\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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% \ifdefined\ishandout\else
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% \tikzexternalize
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% \fi
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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\usepgfplotslibrary{groupplots}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{bbm}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{calc}
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\usepackage{amssymb}
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\title{WT Tutorium 7}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{13. Februar 2026}
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%
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%
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% Custom commands
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%
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%
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2026-02-13/res}
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\newlength{\depthofsumsign}
|
|
\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
|
|
\newlength{\totalheightofsumsign}
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\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
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|
\mathop{
|
|
\raisebox
|
|
{-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
|
|
{\scalebox
|
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{#1}
|
|
{$\displaystyle\sum$}%
|
|
}
|
|
}
|
|
}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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\newlength{\hght}
|
|
\newlength{\wdth}
|
|
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|
\newcommand{\canceltotikz}[3][.5ex]{
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|
\setlength{\hght}{\heightof{$#3$}}
|
|
\setlength{\wdth}{\widthof{$#3$}}
|
|
\makebox[0pt][l]{
|
|
\tikz[baseline]{\draw[-latex](0,-#1)--(\wdth,\hght+#1)
|
|
node[shift={(2mm,2mm)}]{#2};
|
|
}
|
|
}#3
|
|
}
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%
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%
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% Document body
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%
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
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\titlepage
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|
\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
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\vspace*{-5mm}
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|
\begin{itemize}
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|
\item Einfache Stichprobe
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|
\begin{gather*}
|
|
X_1, \ldots, X_N \hspace{2mm}\overbrace{\text{unabhäng und haben
|
|
dieselbe Verteilung}}^{\text{``iid.''}}
|
|
\hspace*{5mm} \rightarrow\hspace*{5mm}
|
|
\bm{X} :=
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
X_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
X_N
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\pause
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|
\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
|
|
|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Wahrscheinlichkeitstheorie
|
|
\end{itemize}
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[
|
|
rectangle,
|
|
minimum width=7cm, minimum height=4cm,
|
|
line width=1pt,
|
|
draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
|
|
] (model) {
|
|
$\bm{X} =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
X_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
X_N
|
|
\end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
|
|
};
|
|
|
|
\node[right=of model] (x) {
|
|
$\bm{x} =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
x_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
x_N
|
|
\end{pmatrix}$
|
|
};
|
|
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (x);
|
|
\node[above=22mm of model.center] {Modell};
|
|
\node[above=20.8mm of x.center] {Beobachtung};
|
|
\end{tikzpicture}%
|
|
\vspace*{15mm}
|
|
\end{subfigure}%
|
|
\only<2>{\hspace*{16cm}}%
|
|
\only<3->{\vspace*{-12.6mm}}%
|
|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
|
|
\only<3>{
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Statistik
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[
|
|
rectangle,
|
|
minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
|
|
line width=1pt,
|
|
draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
|
|
] (real) {};
|
|
|
|
\node[right=of real] (x) {
|
|
$\bm{x} =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
x_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
x_N
|
|
\end{pmatrix}$
|
|
};
|
|
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
|
|
\node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
|
|
\node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};
|
|
|
|
\node[below=25.5mm of real.center]
|
|
{\phantom{Modellierung}};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
}%
|
|
\only<4->{
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Statistik
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[
|
|
rectangle,
|
|
minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
|
|
line width=1pt,
|
|
draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
|
|
] (real) {};
|
|
|
|
\node[right=of real] (x) {
|
|
$\bm{x} =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
x_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
x_N
|
|
\end{pmatrix}$
|
|
};
|
|
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
|
|
\node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
|
|
\node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};
|
|
|
|
\node[
|
|
rectangle,
|
|
minimum width=6.5cm, minimum height=3.5cm,
|
|
line width=1pt,
|
|
draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
|
|
densely dashed,
|
|
] (model) at (real) {
|
|
$\bm{X} =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
X_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
X_N
|
|
\end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
|
|
};
|
|
|
|
\draw[
|
|
line width=1pt, densely dashed,
|
|
] (x.south)
|
|
edge[-{Latex}, bend left]
|
|
node[below] {Modellierung}
|
|
(model.south);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
}
|
|
\vspace*{1mm}
|
|
\end{subfigure}
|
|
\only<3->{
|
|
\vspace*{12.5mm}
|
|
}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Schätzer I}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item asdf
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Schätzer II}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item asdf
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
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|
\begin{frame}
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|
\frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}
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|
Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa
|
|
essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem
|
|
Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an
|
|
Studierenden pro Minute ist.
|
|
\begin{gather*}
|
|
X_i \sim \text{Poisson}(\lambda),\hspace*{10mm} P(X_i = k
|
|
\vert \lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}
|
|
e^{-\lambda},\hspace*{3mm} k\in \mathbb{N}_0
|
|
\end{gather*}
|
|
Aus N statistisch unabhängigen Messungen $x_i$ soll nun die mittlere
|
|
Ankunftsrate mithilfe eines ML-Schätzers geschätzt werden.
|
|
|
|
\begin{enumerate}%
|
|
% tex-fmt: off
|
|
[a{)}]
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$
|
|
Messwerte und damit den ML-Schätzer für die
|
|
Ankunftsrate $\lambda$.
|
|
\item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist.
|
|
\item Ist der ML-Schätzer konsistent?
|
|
\item Ist der ML-Schätzer effizient?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
% TODO: Add slides
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 2}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
|
|
|
% TODO: Add slides
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Deskriptive Statistik}
|
|
|
|
\vspace*{-15mm}
|
|
|
|
\begin{enumerate}%
|
|
% tex-fmt: off
|
|
[a{)}]
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\item Nennen Sie zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
|
|
damit eine Stichprobe als einfache
|
|
Stichprobe gilt. Wie muss eine Stichprobe vorverarbeitet
|
|
werden, um daraus den Median
|
|
oder Quantile bestimmen zu können?
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|
% TODO: Insert plot
|
|
\item Lesen Sie aus dem Boxplot folgende Werte ab: den
|
|
Median, die untere Quartilsgrenze, die
|
|
größte normale Beobachtung.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf}
|
|
\end{figure}
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
Die Zufallsvariable $Z \in \mathbb{N}$ beschreibt die
|
|
Studiendauer am KIT bis zum Abschluss der Promotion. Eine
|
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einfache Zufallsstichprobe mit $n = 6$ Studierenden ergab die
|
|
folgenden Studiendauern:
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\begin{gather*}
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|
z_1 =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{gather*}
|
|
|
|
Durch fehlerhaftes Eintragen wurde für zwei weitere Studierende
|
|
die Studiendauer $0$ und $129$ vermerkt. Die erweiterte
|
|
Stichprobe lautet:
|
|
\vspace*{-5mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
z_1 =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24 & 0 & 129
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{gather*}
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
\begin{enumerate}%
|
|
% tex-fmt: off
|
|
[a{)}]
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Berechnen Sie für beide Stichproben die empirische
|
|
Varianz und den Quartilsabstand. Erklären Sie anhand der
|
|
Ergebnisse einen Vorteil des Quartilsabstands gegenüber
|
|
der Varianz als Maß für die Streuung.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
% TODO: Add slides
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|