\ifdefined\ishandout
\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
\else
\documentclass[de]{CELbeamer}
\fi

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% CEL Template
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/macros.tex}

\grouplogo{CEL_logo.pdf}

\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
\groupnamewidth{80mm}

\fundinglogos{}

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% Document setup
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\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}

% \ifdefined\ishandout\else
% \tikzexternalize
% \fi

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
\usepgfplotslibrary{groupplots}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{listings}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{bbm}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{calc}
\usepackage{amssymb}

\title{WT Tutorium 7}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{13. Februar 2026}

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% Custom commands
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\input{lib/latex-common/common.tex}
\pgfplotsset{colorscheme/rocket}

\newcommand{\res}{src/2026-02-13/res}

\newlength{\depthofsumsign}
\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
\newlength{\totalheightofsumsign}
\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
    \mathop{
        \raisebox
        {-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
        {\scalebox
            {#1}
            {$\displaystyle\sum$}%
        }
    }
}

% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}

\newlength{\hght}
\newlength{\wdth}

\newcommand{\canceltotikz}[3][.5ex]{
    \setlength{\hght}{\heightof{$#3$}}
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    \makebox[0pt][l]{
        \tikz[baseline]{\draw[-latex](0,-#1)--(\wdth,\hght+#1)
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        }
    }#3
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%
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% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}

    \vspace*{-5mm}

    \begin{itemize}
        \item Einfache Stichprobe
            \begin{gather*}
                X_1, \ldots, X_N \hspace{2mm}\overbrace{\text{unabhäng und haben
                dieselbe Verteilung}}^{\text{``iid.''}}
                \hspace*{5mm} \rightarrow\hspace*{5mm}
                \bm{X} :=
                \begin{pmatrix}
                    X_1 \\
                    \vdots \\
                    X_N
                \end{pmatrix}
            \end{gather*}
    \end{itemize}

    \pause
    \begin{figure}[H]
        \centering

        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering

            \begin{itemize}
                \item Wahrscheinlichkeitstheorie
            \end{itemize}
            \vspace*{2mm}
            \begin{tikzpicture}
                \node[
                    rectangle,
                    minimum width=7cm, minimum height=4cm,
                    line width=1pt,
                    draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
                ] (model) {
                    $\bm{X} =
                    \begin{pmatrix}
                        X_1 \\
                        \vdots \\
                        X_N
                    \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
                };

                \node[right=of model] (x) {
                    $\bm{x} =
                    \begin{pmatrix}
                        x_1 \\
                        \vdots \\
                        x_N
                    \end{pmatrix}$
                };

                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (x);
                \node[above=22mm of model.center] {Modell};
                \node[above=20.8mm of x.center] {Beobachtung};
            \end{tikzpicture}%
            \vspace*{15mm}
        \end{subfigure}%
        \only<2>{\hspace*{16cm}}%
        \only<3->{\vspace*{-12.6mm}}%
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering

            \only<3>{
                \begin{itemize}
                    \item Statistik
                \end{itemize}
                \begin{tikzpicture}
                    \node[
                        rectangle,
                        minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
                        line width=1pt,
                        draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
                    ] (real) {};

                    \node[right=of real] (x) {
                        $\bm{x} =
                        \begin{pmatrix}
                            x_1 \\
                            \vdots \\
                            x_N
                        \end{pmatrix}$
                    };

                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
                    \node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
                    \node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};

                    \node[below=25.5mm of real.center]
                    {\phantom{Modellierung}};
                \end{tikzpicture}
            }%
            \only<4->{
                \begin{itemize}
                    \item Statistik
                \end{itemize}
                \begin{tikzpicture}
                    \node[
                        rectangle,
                        minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
                        line width=1pt,
                        draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
                    ] (real) {};

                    \node[right=of real] (x) {
                        $\bm{x} =
                        \begin{pmatrix}
                            x_1 \\
                            \vdots \\
                            x_N
                        \end{pmatrix}$
                    };

                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
                    \node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
                    \node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};

                    \node[
                        rectangle,
                        minimum width=6.5cm, minimum height=3.5cm,
                        line width=1pt,
                        draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
                        densely dashed,
                    ] (model) at (real) {
                        $\bm{X} =
                        \begin{pmatrix}
                            X_1 \\
                            \vdots \\
                            X_N
                        \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
                    };

                    \draw[
                        line width=1pt, densely dashed,
                    ] (x.south)
                    edge[-{Latex}, bend left]
                    node[below] {Modellierung}
                    (model.south);
                \end{tikzpicture}
            }
            \vspace*{1mm}
        \end{subfigure}
        \only<3->{
            \vspace*{12.5mm}
        }
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Schätzer I}

    \begin{itemize}
        \item asdf
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Schätzer II}

    \begin{itemize}
        \item asdf
    \end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}

    Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa
    essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem
    Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an
    Studierenden pro Minute ist.
    \begin{gather*}
        X_i \sim \text{Poisson}(\lambda),\hspace*{10mm} P(X_i = k
        \vert \lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}
        e^{-\lambda},\hspace*{3mm} k\in \mathbb{N}_0
    \end{gather*}
    Aus N statistisch unabhängigen Messungen $x_i$ soll nun die mittlere
    Ankunftsrate mithilfe eines ML-Schätzers geschätzt werden.

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
        \item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$
            Messwerte und damit den ML-Schätzer für die
            Ankunftsrate $\lambda$.
        \item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist.
        \item Ist der ML-Schätzer konsistent?
        \item Ist der ML-Schätzer effizient?
    \end{enumerate}
\end{frame}

% TODO: Add slides

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% TODO: Add slides

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Deskriptive Statistik}

    \vspace*{-15mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
        \item Nennen Sie zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
            damit eine Stichprobe als einfache
            Stichprobe gilt. Wie muss eine Stichprobe vorverarbeitet
            werden, um daraus den Median
            oder Quantile bestimmen zu können?
            % TODO: Insert plot
        \item Lesen Sie aus dem Boxplot folgende Werte ab: den
            Median, die untere Quartilsgrenze, die
            größte normale Beobachtung.
    \end{enumerate}

    \vspace*{5mm}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf}
    \end{figure}
    \vspace*{5mm}

    Die Zufallsvariable $Z \in \mathbb{N}$ beschreibt die
    Studiendauer am KIT bis zum Abschluss der Promotion. Eine
    einfache Zufallsstichprobe mit $n = 6$ Studierenden ergab die
    folgenden Studiendauern:
    \begin{gather*}
        z_1 =
        \begin{pmatrix}
            28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}

    Durch fehlerhaftes Eintragen wurde für zwei weitere Studierende
    die Studiendauer $0$ und $129$ vermerkt. Die erweiterte
    Stichprobe lautet:
    \vspace*{-5mm}
    \begin{gather*}
        z_1 =
        \begin{pmatrix}
            28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24 & 0 & 129
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}

    \vspace*{5mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
            \setcounter{enumi}{2}
        \item Berechnen Sie für beide Stichproben die empirische
            Varianz und den Quartilsabstand. Erklären Sie anhand der
            Ergebnisse einen Vorteil des Quartilsabstands gegenüber
            der Varianz als Maß für die Streuung.
    \end{enumerate}

\end{frame}
% TODO: Add slides

\end{document}

