498 lines
17 KiB
TeX
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TeX
\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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%
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% Custom commands
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%
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%
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2025-11-21/res}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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%
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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|
%\tikzexternalize[prefix=build/]
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{bbm}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{xcolor}
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\title{WT Tutorium 2}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{21. November 2025}
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%
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%
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% Document body
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%
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
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\titlepage
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{Bedingte Wahrscheinlichkeiten \& Bayes}
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\vspace*{-10mm}
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|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\item Formel von Bayes
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[rectangle, minimum width=8cm, minimum height=5cm,
|
|
draw, line width=1pt, fill=black!20] at (0,0) {};
|
|
\node [circle, minimum size = 4cm,
|
|
draw, line width=1pt, fill=KITgreen,
|
|
fill opacity = 0.5] at (1.25cm,0) {};
|
|
\draw[line width=1pt, fill=KITblue,
|
|
fill opacity = 0.5, rounded corners=5mm]
|
|
(-2.4cm, -2.25cm) -- (-2.4cm, 2.25cm) -- (1.1cm,0) -- cycle;
|
|
|
|
\node[left] at (4cm, 2cm) {\Large $\Omega$};
|
|
\node at (-1.8cm, 0) {$A$};
|
|
\node at (1.8cm, 0) {$B$};
|
|
\node at (0, 0) {$AB$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{columns}
|
|
\vspace*{1cm}
|
|
\pause
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{gather*}
|
|
\text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
A_1, A_2, \ldots \text{ disjunkt}\\
|
|
\displaystyle\sum_{n} A_n = \Omega
|
|
\end{array}
|
|
\right.\\[1em]
|
|
P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)\\
|
|
\end{gather*}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{itemize}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{figure}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\newcommand{\hordist}{1.2cm}
|
|
\newcommand{\vertdist}{2cm}
|
|
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm] (root) at (0, 0) {};
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm, below left=\vertdist and
|
|
2.4*\hordist of root] (n1) {};
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm, below right=\vertdist and
|
|
2.4*\hordist of root] (n2) {};
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
|
|
of n1] (n11) {};
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
|
|
of n1] (n12) {};
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
|
|
of n2] (n21) {};
|
|
\node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
|
|
minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
|
|
of n2] (n22) {};
|
|
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n1);
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n2);
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n11);
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n12);
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n21);
|
|
\draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n22);
|
|
|
|
\node[left] at ($(root)!0.4!(n1)$) {$P(A_1)$};
|
|
\node[right] at ($(root)!0.4!(n2)$) {$P(A_2)$};
|
|
|
|
\node[left] at ($(n1)!0.4!(n11)$) {$P(B\vert A_1)$};
|
|
\node[right] at ($(n1)!0.2!(n12)$) {$P(C\vert A_1)$};
|
|
\node[left] at ($(n2)!0.6!(n21)$) {$P(B\vert A_2)$};
|
|
\node[right] at ($(n2)!0.4!(n22)$) {$P(C\vert A_2)$};
|
|
|
|
\node[below] at (n11) {$P(BA_1)$};
|
|
\node[below] at (n12) {$P(CA_1)$};
|
|
\node[below] at (n21) {$P(BA_2)$};
|
|
\node[below] at (n22) {$P(CA_2)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
|
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Formel von Bayes}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitonecolumn}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitonecolumn}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}
|
|
|
|
In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
|
|
werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
|
|
\item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
|
|
mittelgroß und $10\%$ klein.
|
|
\item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$
|
|
mittelgroß und $35\%$ klein.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
|
|
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
|
|
oder groß ist.
|
|
\item Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
|
|
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
|
|
einäugig?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}
|
|
|
|
In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
|
|
werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
|
|
\item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
|
|
mittelgroß und $10\%$ klein.
|
|
\item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$
|
|
mittelgroß und $35\%$ klein.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
|
|
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
|
|
oder groß ist.
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\
|
|
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\
|
|
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17
|
|
\end{align*}
|
|
\item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
|
|
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
|
|
einäugig?
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
P(N_1 \vert \overline{K})
|
|
= \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
|
|
= \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
|
|
= \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 2}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Erweiterte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\pause
|
|
\item Unabhängigkeit
|
|
\begin{gather*}
|
|
A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm}
|
|
\Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B)
|
|
\hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A)
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
|
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Formel von Bayes}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen}
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(AB) = P(A) P(B)
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
|
|
|
\vspace*{-18mm}
|
|
|
|
Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
|
|
aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
|
|
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
|
sind bekannt:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
|
|
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
Fehler $B$ und dafür, dass ein
|
|
Werkstück fehlerfrei ist.
|
|
\item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
|
beobachtet. Der Fehler tritt
|
|
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
|
eingetreten sind und mit der
|
|
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
|
sind. In allen anderen
|
|
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
Fehler $C$.
|
|
\item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
|
welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
|
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
|
|
Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
|
|
aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
|
|
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
|
sind bekannt:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
|
|
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
Fehler $B$ und dafür, dass ein
|
|
Werkstück fehlerfrei ist.
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04
|
|
\end{gather*}\pause
|
|
\vspace*{-15mm}\begin{gather*}
|
|
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
\left. \begin{array}{l}
|
|
P(AB) = 0{,}01 \\
|
|
P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002
|
|
\end{array}\right\}
|
|
\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
|
|
|
\vspace*{-13mm}
|
|
|
|
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
|
beobachtet. Der Fehler tritt
|
|
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
|
eingetreten sind und mit der
|
|
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
|
sind. In allen anderen
|
|
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
Fehler $C$.
|
|
\pause\begin{align*}
|
|
P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
|
|
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
|
|
+ P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
|
|
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
|
welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
|
|
\pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{align*}
|
|
P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
|
|
P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
|
|
&= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
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|
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm]
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P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
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\end{align*}
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\end{minipage}%
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\hspace*{-10mm}
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\begin{minipage}{0.06\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}%
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\begin{minipage}{0.48\textwidth}
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\centering
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\begin{align*}
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P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
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P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
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+ \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
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&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm]
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P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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\end{frame}
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\end{document}
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