Add solution to exercise 2a

src/2026-01-30/presentation.tex

@@ -0,0 +1,359 @@
+\ifdefined\ishandout
+\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
+\else
+\documentclass[de]{CELbeamer}
+\fi
+
+%
+%
+% CEL Template
+%
+%
+
+\newcommand{\templates}{preambles}
+\input{\templates/packages.tex}
+\input{\templates/macros.tex}
+
+\grouplogo{CEL_logo.pdf}
+
+\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
+\groupnamewidth{80mm}
+
+\fundinglogos{}
+
+%
+%
+% Document setup
+%
+%
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
+
+% \ifdefined\ishandout\else
+% \tikzexternalize
+% \fi
+
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=newest}
+\usepgfplotslibrary{fillbetween}
+\usepgfplotslibrary{groupplots}
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{bbm}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{calc}
+\usepackage{amssymb}
+
+\title{WT Tutorium 6}
+\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
+\date[]{30. Januar 2026}
+
+%
+%
+% Custom commands
+%
+%
+
+\input{lib/latex-common/common.tex}
+\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
+
+\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}
+
+\newlength{\depthofsumsign}
+\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
+\newlength{\totalheightofsumsign}
+\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
+    \mathop{
+        \raisebox
+        {-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
+        {\scalebox
+            {#1}
+            {$\displaystyle\sum$}%
+        }
+    }
+}
+
+% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
+% \captionsetup[sub]{font=small}
+
+\newlength{\hght}
+\newlength{\wdth}
+
+\newcommand{\canceltotikz}[3][.5ex]{
+    \setlength{\hght}{\heightof{$#3$}}
+    \setlength{\wdth}{\widthof{$#3$}}
+    \makebox[0pt][l]{
+        \tikz[baseline]{\draw[-latex](0,-#1)--(\wdth,\hght+#1)
+            node[shift={(2mm,2mm)}]{#2};
+        }
+    }#3
+}
+
+%
+%
+% Document body
+%
+%
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
+    \titlepage
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 1}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+% TODO: Write
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Korrelationskoeffizienten}
+
+    Es ist die Zufallsvariable $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ gegeben. Berechnen Sie
+    jeweils den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ für
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item $Y = aX + b \hspace{8mm}\text{mit } a, b \in R
+            \text{ und } a \neq 0$.
+        \item $Y = X^2$.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Korrelationskoeffizienten}
+
+    Es ist die Zufallsvariable $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ gegeben. Berechnen Sie
+    jeweils den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ für
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item $Y = aX + b \hspace{8mm}\text{mit } a, b \in R
+            \text{ und } a \neq 0$.
+            \pause \begin{gather*}
+                \rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}
+            \end{gather*}
+            \pause\begin{align*}
+                \text{cov}(X,Y) &= E(XY) - \canceltotikz[1ex]{0}{E(X)} E(Y)
+                    = E(XY) \\
+                    &= E(aX^2 + bX) = a\underbrace{E(X^2)}_{= V(X) = 1}
+                    + b\canceltotikz[1ex]{0}{E(X)} = a
+            \end{align*}
+            \pause\begin{gather*}
+                V(Y) = E\big( (Y - E(Y))^2 \big) = E\big( (aX)^2 \big)
+                    = a^2 \underbrace{E(X^2)}_{= V(X) = 1} = a^2
+            \end{gather*}
+            \pause\begin{align*}
+                \rho_{XY} = \frac{a}{\sqrt{a^2}} = \frac{a}{\lvert a \rvert}
+                = \left\{ \begin{array}{c}
+                    +1, \hspace{5mm} a > 0 \\
+                    -1, \hspace{5mm} a < 0
+                \end{array}
+                \right.
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Korrelationskoeffizienten}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item $Y = X^2$.
+            \pause \begin{gather*}
+                \rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}
+            \end{gather*}
+            \pause\begin{columns}
+                \column{\kitfourcolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \text{cov}(X,Y) = E(XY) - \canceltotikz[1ex]{0}{E(X)} E(Y)
+                        = E(XY) = E(X^3)
+                \end{gather*}
+                \vspace*{-12mm}
+                \pause\begin{gather*}
+                    \hspace*{-18mm} = \int_{-\infty}^{\infty}
+                        \underbrace{x^3}_\text{ungerade}
+                        \cdot\underbrace{f_X(x)}_\text{gerade} dx = 0 \\[7mm]
+                    \rho_{XY} = 0
+                \end{gather*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{figure}[H]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \begin{axis}[
+                            domain=-3:3,
+                            width=10cm,
+                            height=6.5cm,
+                            samples=100,
+                            xtick={0},
+                            ytick={0},
+                            legend pos = south east,
+                            legend cell align = left,
+                        ]
+                            \addplot+[scol1, mark=none, line width=1pt]
+                                {1 / sqrt(2*pi) * exp(-x^2)};
+                            \addlegendentry{$f_X(x)$}
+                            \addplot+[scol2, mark=none, line width=1pt]
+                                {0.01 * x^3};
+                            \addlegendentry{$x^3$}
+                        \end{axis}
+
+                        \node at (8.7, 4.7) {\footnotemark};
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{figure}
+            \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \footnotetext{Die zwei Kurven sind bezüglich der $y$-Achse
+    unterschiedlich skaliert.}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 2}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+% TODO: Write
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Abschätzungen von Verteilungen \\(ZGWS)}
+
+    Im Werk einer Zahnradfabrik werden verschiedene
+    Präzisionsmetallteile gefertigt. Während einer
+    Schicht werden 5000 Stück eines Typs A hergestellt. Bei der
+    Qualitätskontrolle werden 3% dieser
+    Teile als defekt klassifiziert und aussortiert.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
+            während einer Schicht zwischen $125$ und $180$ Teile aussortiert
+            werden.
+        \item Die aussortierten Teile werden nach Schichtende zur
+            Wiederverwertung in einem Kessel auf einmal eingeschmolzen. Wie
+            viele Teile muss der Kessel fassen, damit er mit einer
+            Wahrscheinlichkeit von min. $0{,}98$ nicht überfüllt ist?
+        \item Der Kessel fasse maximal $200$ Teile. Es sollen nun mehr als
+            $5000$ Teile pro Schicht hergestellt werden. Wie viele Teile
+            können maximal gefertigt werden, damit der Kessel mit einer
+            Wahrscheinlichkeit von $0,98$ nicht überfüllt ist?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\newcommand{\canceltoredtikz}[3][.5ex]{
+    \setlength{\hght}{\heightof{$#3$}}
+    \setlength{\wdth}{\widthof{$#3$}}
+    \makebox[0pt][l]{
+        \tikz[baseline]{\draw[KITred, -latex](0,-#1)--(\wdth,\hght+#1)
+            node[shift={(2.5mm,2.5mm)}]{#2};
+        }
+    }#3
+}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Abschätzungen von Verteilungen \\(ZGWS)}
+
+    Im Werk einer Zahnradfabrik werden verschiedene
+    Präzisionsmetallteile gefertigt. Während einer Schicht werden
+    $5000$ Stück eines Typs A hergestellt. Bei der Qualitätskontrolle
+    werden $3 \%$ dieser Teile als defekt klassifiziert und aussortiert.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
+            während einer Schicht zwischen $125$ und $180$ Teile aussortiert
+            werden.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \vspace*{-15mm}
+    \begin{gather*}
+        S_N := \text{Anzahl an defekten Teilen}
+    \end{gather*}
+    \vspace*{-12mm}
+    \pause
+    \begin{gather*}
+        S_N \sim \text{Bin}(N=5000, p=0{,}03)
+    \end{gather*}
+    \pause
+    \vspace*{-5mm}
+    \visible<3>{
+        \begin{gather*}
+            P(125 \le S_N \le 180) = \nsum_{k=125}^{180}
+            \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
+        \end{gather*}
+    }
+    \pause
+    \vspace*{-34.8mm}
+    \begin{gather*}
+        \canceltoredtikz[3ex]{\text{Viel zu aufwändig}}{
+            P(125 \le S_N \le 180) = \nsum_{k=125}^{180}
+            \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
+        }%
+    \end{gather*} \\[3mm]
+
+    \pause\centering
+    \rule[1pt]{16cm}{1pt}
+
+    \vspace*{-7mm}
+    \begin{gather*}
+        Np(1-p) = 145{,}5 \ge 9 \hspace*{3mm}
+        \hspace*{5mm} \rightarrow \hspace*{5mm}
+        \tilde{S}_N \sim \mathcal{N}(\underbrace{Np}_{=150},
+        \underbrace{Np(1-p)}_{=145{,}5})
+    \end{gather*}
+    \pause
+    \begin{align*}
+        P(125 \le \tilde{S}_N \le 180)
+        &= P\left(\frac{125 - 150}{\sqrt{145{,}5}} \le \frac{\tilde{S}_N -
+            E(\tilde{S}_N)}{\sqrt{V(\tilde{S}_N)}} \le \frac{180 -
+        150}{\sqrt{145{,}5}}\right) \\
+        &\approx \Phi(2.487) - \Phi(-2.726) \\
+        &= \Phi(2.487) - (1 - \Phi(2.726)) = 97{,}4
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Abschätzungen von Verteilungen \\(ZGWS)}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item Die aussortierten Teile werden nach Schichtende zur
+            Wiederverwertung in einem Kessel auf einmal eingeschmolzen. Wie
+            viele Teile muss der Kessel fassen, damit er mit einer
+            Wahrscheinlichkeit von min. $0{,}98$ nicht überfüllt ist?
+        \pause\item Der Kessel fasse maximal $200$ Teile. Es sollen nun mehr als
+            $5000$ Teile pro Schicht hergestellt werden. Wie viele Teile
+            können maximal gefertigt werden, damit der Kessel mit einer
+            Wahrscheinlichkeit von $0,98$ nicht überfüllt ist?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\end{document}
+