Compare commits
No commits in common. "main" and "tut1-v1.2" have entirely different histories.
@ -137,7 +137,7 @@
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|||||||
\begin{align*}
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\begin{align*}
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||||||
\Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
|
\Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
|
||||||
1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
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1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
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||||||
A &= \mleft\{ (1,1),(1,2), \ldots, (6,6) \mright\}
|
A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
|
||||||
\end{align*}
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\end{align*}
|
||||||
\vspace*{-12mm}
|
\vspace*{-12mm}
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||||||
\end{lightgrayhighlightbox}
|
\end{lightgrayhighlightbox}
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||||||
@ -275,17 +275,17 @@
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|||||||
\item mindestens ein Ass hat?\pause
|
\item mindestens ein Ass hat?\pause
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||||||
\begin{gather*}
|
\begin{gather*}
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||||||
P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
|
P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
|
||||||
= 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}341
|
= 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0,341
|
||||||
\end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
|
\end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
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||||||
\item genau ein Ass hat?\pause
|
\item genau ein Ass hat?\pause
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||||||
\begin{gather*}
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\begin{gather*}
|
||||||
P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}299
|
P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0,299
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||||||
\end{gather*}\pause
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\end{gather*}\pause
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||||||
\item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
|
\item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
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||||||
\begin{align*}
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\begin{align*}
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||||||
P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
|
P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
|
||||||
&= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
|
&= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
|
||||||
&= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}493
|
&= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0,493
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||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
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||||||
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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||||||
% tex-fmt: on
|
% tex-fmt: on
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||||||
@ -372,7 +372,7 @@
|
|||||||
\begin{lightgrayhighlightbox}
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\begin{lightgrayhighlightbox}
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||||||
Beispiel:
|
Beispiel:
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\begin{gather*}
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\begin{gather*}
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||||||
\Omega = \{A, B, C\}\\
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\Omega = {A, B, C}\\
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||||||
\Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
|
\Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
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||||||
(B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
|
(B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
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||||||
\end{gather*}
|
\end{gather*}
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||||||
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|||||||
@ -269,9 +269,9 @@
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|||||||
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
|
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
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oder groß ist.
|
oder groß ist.
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\pause\begin{align*}
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\pause\begin{align*}
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||||||
P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\
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P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\
|
||||||
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\
|
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\
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||||||
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17
|
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17
|
||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
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||||||
\item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
|
\item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
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||||||
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
|
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
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||||||
@ -280,7 +280,7 @@
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|||||||
P(N_1 \vert \overline{K})
|
P(N_1 \vert \overline{K})
|
||||||
= \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
|
= \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
|
||||||
= \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
|
= \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
|
||||||
= \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153
|
= \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153
|
||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
|
||||||
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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||||||
% tex-fmt: on
|
% tex-fmt: on
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||||||
@ -364,9 +364,9 @@
|
|||||||
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
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||||||
sind bekannt:
|
sind bekannt:
|
||||||
\begin{itemize}
|
\begin{itemize}
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||||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||||
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
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||||||
\end{itemize}
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\end{itemize}
|
||||||
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||||||
@ -381,9 +381,9 @@
|
|||||||
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||||||
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
||||||
beobachtet. Der Fehler tritt
|
beobachtet. Der Fehler tritt
|
||||||
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||||
eingetreten sind und mit der
|
eingetreten sind und mit der
|
||||||
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||||
sind. In allen anderen
|
sind. In allen anderen
|
||||||
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
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@ -408,9 +408,9 @@
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|||||||
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
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||||||
sind bekannt:
|
sind bekannt:
|
||||||
\begin{itemize}
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\begin{itemize}
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||||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
|
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||||
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
||||||
\end{itemize}
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\end{itemize}
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||||||
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@ -420,16 +420,16 @@
|
|||||||
Fehler $B$ und dafür, dass ein
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Fehler $B$ und dafür, dass ein
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||||||
Werkstück fehlerfrei ist.
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Werkstück fehlerfrei ist.
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\pause\begin{gather*}
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\pause\begin{gather*}
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||||||
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04
|
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
|
||||||
\end{gather*}\pause
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\end{gather*}\pause
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||||||
\vspace*{-15mm}\begin{gather*}
|
\vspace*{-15mm}\begin{gather*}
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||||||
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92
|
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
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||||||
\end{gather*}
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\end{gather*}
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||||||
\vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
\vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
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||||||
\pause\begin{gather*}
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\pause\begin{gather*}
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||||||
\left. \begin{array}{l}
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\left. \begin{array}{l}
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||||||
P(AB) = 0{,}01 \\
|
P(AB) = 0.01 \\
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||||||
P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002
|
P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
|
||||||
\end{array}\right\}
|
\end{array}\right\}
|
||||||
\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
|
\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
|
||||||
\end{gather*}
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\end{gather*}
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||||||
@ -444,9 +444,9 @@
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|||||||
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||||||
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
||||||
beobachtet. Der Fehler tritt
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beobachtet. Der Fehler tritt
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||||||
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||||
eingetreten sind und mit der
|
eingetreten sind und mit der
|
||||||
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||||
sind. In allen anderen
|
sind. In allen anderen
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||||||
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
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||||||
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||||||
@ -459,7 +459,7 @@
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|||||||
P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
|
P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
|
||||||
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
|
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
|
||||||
+ P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
|
+ P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
|
||||||
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094
|
&= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
|
||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
|
||||||
\vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
\vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
||||||
welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
|
welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
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||||||
@ -469,8 +469,8 @@
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|||||||
P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
|
P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
|
||||||
P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
|
P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
|
||||||
&= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
|
&= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
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||||||
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm]
|
&= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
|
||||||
P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
|
P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
|
||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
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||||||
\end{minipage}%
|
\end{minipage}%
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\hspace*{-10mm}
|
\hspace*{-10mm}
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||||||
@ -486,8 +486,8 @@
|
|||||||
P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
|
P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
|
||||||
P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
|
P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
|
||||||
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
|
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
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||||||
&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm]
|
&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
|
||||||
P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
|
P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
|
||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
|
||||||
\end{minipage}
|
\end{minipage}
|
||||||
\end{enumerate}
|
\end{enumerate}
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|||||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@ -1,425 +0,0 @@
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\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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||||||
\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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% Custom commands
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%
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2025-12-19/res}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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%
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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||||||
\usepackage{tikz-3dplot}
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\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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||||||
%\tikzexternalize[prefix=build/]
|
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||||||
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\usepackage{pgfplots}
|
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||||||
\pgfplotsset{compat=newest}
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||||||
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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||||||
\usepackage{enumerate}
|
|
||||||
\usepackage{listings}
|
|
||||||
\usepackage{subcaption}
|
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||||||
\usepackage{bbm}
|
|
||||||
\usepackage{multirow}
|
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||||||
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|
||||||
\usepackage{xcolor}
|
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||||||
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||||||
\title{WT Tutorium 4}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{19. Dezember 2025}
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%
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%
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% Document body
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
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\titlepage
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{sasdf}
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||||
\subsection{Aufgabe}
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\begin{frame}
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\frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
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Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
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% tex-fmt: off
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\begin{align*}
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f_X (x) = \left\{
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\begin{array}{ll}
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C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
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0, &\text{sonst}
|
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||||||
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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% tex-fmt: on
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mit dem Parameter $a > 0$.
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% tex-fmt: off
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\begin{enumerate}[a{)}]
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||||||
\item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
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||||||
Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
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||||||
\textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
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||||||
$f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
|
|
||||||
\item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
|
|
||||||
erfüllen?
|
|
||||||
\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
|
|
||||||
\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
|
|
||||||
$\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
% tex-fmt: on
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
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||||||
\frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
|
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||||||
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||||||
\vspace*{-15mm}
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||||||
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|
||||||
Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
|
|
||||||
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\begin{align*}
|
|
||||||
f_X (x) = \left\{
|
|
||||||
\begin{array}{ll}
|
|
||||||
C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
|
|
||||||
0, &\text{sonst}
|
|
||||||
\end{array}
|
|
||||||
\right.
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
% tex-fmt: on
|
|
||||||
|
|
||||||
mit dem Parameter $a > 0$.
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|
||||||
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
||||||
\item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
|
|
||||||
Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
|
|
||||||
\textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
|
|
||||||
$f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
|
|
||||||
\pause\begin{columns}
|
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\begin{align*}
|
|
||||||
\text{Eigenschaften:} \hspace{5mm}
|
|
||||||
\left\{
|
|
||||||
\begin{array}{rl}
|
|
||||||
f_X(x) &\ge 0 \\[3mm]
|
|
||||||
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= 1
|
|
||||||
\end{array}
|
|
||||||
\right.
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
\pause\begin{gather*}
|
|
||||||
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx
|
|
||||||
= \int_{-\infty}^{\infty} C\cdot x e^{-ax^2} dx
|
|
||||||
= \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (-2ax) e^{-ax^2} dx \\
|
|
||||||
= \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-ax^2})' dx
|
|
||||||
= \frac{C}{-2a} \mleft[ e^{-ax^2} \mright]_0^{\infty} \overset{!}{=} 1 \hspace{10mm} \Rightarrow C = 2a
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\pause \begin{align*}
|
|
||||||
f_X(x) =
|
|
||||||
\left\{
|
|
||||||
\begin{array}{ll}
|
|
||||||
2ax \cdot e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
|
|
||||||
0, & \text{sonst}
|
|
||||||
\end{array}
|
|
||||||
\right.
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
\begin{figure}[H]
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|
||||||
\centering
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||||||
\begin{tikzpicture}
|
|
||||||
\begin{axis}[
|
|
||||||
domain=0:5,
|
|
||||||
width=12cm,
|
|
||||||
height=5cm,
|
|
||||||
samples=100,
|
|
||||||
xlabel={$x$},
|
|
||||||
ylabel={$f_X(x)$},
|
|
||||||
]
|
|
||||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
{x * exp(-0.5*x*x)};
|
|
||||||
% {x *exp(-a*x*x)};
|
|
||||||
\end{axis}
|
|
||||||
\end{tikzpicture}
|
|
||||||
\end{figure}
|
|
||||||
\end{columns}
|
|
||||||
\end{enumerate}
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|
||||||
% tex-fmt: on
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
|
||||||
\frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
|
|
||||||
|
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||||||
\vspace*{-20mm}
|
|
||||||
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
||||||
\setcounter{enumi}{1}
|
|
||||||
\item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
|
|
||||||
erfüllen?
|
|
||||||
\pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
|
|
||||||
\column{\kitonecolumn}
|
|
||||||
\column{\kittwocolumns}
|
|
||||||
\centering
|
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||||||
\begin{gather*}
|
|
||||||
\lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0\\
|
|
||||||
\lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\column{\kittwocolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\begin{gather*}
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|
||||||
x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
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|
||||||
F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
|
|
||||||
\hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\column{\kitonecolumn}
|
|
||||||
\end{columns}
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|
||||||
\pause\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
|
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||||||
\begin{gather*}
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|
||||||
f_X(x) = 2ax\cdot e^{-ax^2}, \hspace{5mm} x\ge 0
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\pause \vspace*{-6mm}\begin{gather*}
|
|
||||||
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
|
|
||||||
= \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
||||||
\displaystyle\int_{0}^{x} 2au\cdot e^{-au^2} du, & x\ge 0 \\
|
|
||||||
0, & x < 0
|
|
||||||
\end{array} \right.
|
|
||||||
\hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
||||||
\mleft[ -e^{-au^2} \mright]_0^{x}, & x\ge 0 \\
|
|
||||||
0, & x < 0
|
|
||||||
\end{array} \right.
|
|
||||||
\hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
||||||
1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
|
|
||||||
0, & x < 0
|
|
||||||
\end{array} \right.
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\pause\begin{figure}[H]
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{tikzpicture}
|
|
||||||
\begin{axis}[
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|
||||||
domain=0:5,
|
|
||||||
width=14cm,
|
|
||||||
height=5cm,
|
|
||||||
xlabel={$x$},
|
|
||||||
ylabel={$F_X(x)$},
|
|
||||||
]
|
|
||||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
{1 - exp(-0.5 * x*x)};
|
|
||||||
\end{axis}
|
|
||||||
\end{tikzpicture}
|
|
||||||
\end{figure}
|
|
||||||
\vspace*{-3mm}
|
|
||||||
\pause\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
|
|
||||||
$\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
|
|
||||||
\pause \begin{gather*}
|
|
||||||
P(\mleft\{ \omega: 1 < X(\omega) \le 2 \mright\})
|
|
||||||
= P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
||||||
\section{Aufgabe 2}
|
|
||||||
|
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||||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
||||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
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|
||||||
\frametitle{sasdf}
|
|
||||||
\end{frame}
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||||||
|
|
||||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
||||||
\subsection{Aufgabe}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
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||||||
\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
|
|
||||||
|
|
||||||
In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
|
|
||||||
hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
|
|
||||||
verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
|
|
||||||
gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
|
|
||||||
Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
|
|
||||||
Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
|
|
||||||
Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
|
|
||||||
$S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
|
|
||||||
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
||||||
\item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
|
|
||||||
\item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
|
|
||||||
dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
|
|
||||||
werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
|
|
||||||
\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der Mittelwert
|
|
||||||
$\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt). Wie groß ist
|
|
||||||
jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
% tex-fmt: on
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
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|
||||||
\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
|
|
||||||
|
|
||||||
\vspace*{-10mm}
|
|
||||||
|
|
||||||
In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
|
|
||||||
hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
|
|
||||||
verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
|
|
||||||
gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
|
|
||||||
Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
|
|
||||||
Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
|
|
||||||
Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
|
|
||||||
$S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
|
|
||||||
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
||||||
\item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
|
|
||||||
\begin{columns}[c]
|
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\pause \begin{gather*}
|
|
||||||
X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\begin{align*}
|
|
||||||
P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
|
|
||||||
\cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
|
|
||||||
&= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
|
|
||||||
&= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
|
|
||||||
+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
|
|
||||||
&\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
|
|
||||||
&= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\pause\begin{figure}[H]
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{tikzpicture}
|
|
||||||
\begin{axis}[
|
|
||||||
domain=4.6:5.3,
|
|
||||||
xmin=4.7, xmax=5.3,
|
|
||||||
width=14cm,
|
|
||||||
height=6cm,
|
|
||||||
xlabel={$x$},
|
|
||||||
ylabel={$F_X (x)$},
|
|
||||||
samples=100,
|
|
||||||
xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
|
|
||||||
]
|
|
||||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
{1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
|
|
||||||
|
|
||||||
\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
|
|
||||||
\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
|
|
||||||
\node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
|
|
||||||
\node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
|
|
||||||
|
|
||||||
\end{axis}
|
|
||||||
\end{tikzpicture}
|
|
||||||
\end{figure}
|
|
||||||
\end{columns}
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
% tex-fmt: on
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
|
||||||
\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
|
|
||||||
|
|
||||||
\vspace*{-18mm}
|
|
||||||
|
|
||||||
% tex-fmt: off
|
|
||||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
||||||
\setcounter{enumi}{1}
|
|
||||||
\item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
|
|
||||||
dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
|
|
||||||
werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
|
|
||||||
\pause\begin{gather*}
|
|
||||||
P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\vspace*{-18mm}
|
|
||||||
\begin{columns}
|
|
||||||
\pause\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\begin{align*}
|
|
||||||
P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
|
|
||||||
+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
|
|
||||||
&= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
|
|
||||||
+ P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
|
|
||||||
&= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
|
|
||||||
+ \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
|
|
||||||
&= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
\pause\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\begin{gather*}
|
|
||||||
2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
|
|
||||||
\Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
|
|
||||||
\Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
|
|
||||||
\approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{columns}
|
|
||||||
\pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
|
|
||||||
Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
|
|
||||||
Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
|
|
||||||
\pause \begin{align*}
|
|
||||||
P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
|
|
||||||
+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
|
|
||||||
&\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
|
|
||||||
& = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
% tex-fmt: on
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
\end{document}
|
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