src/2026-01-16/presentation.tex

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-\ifdefined\ishandout
-\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
-\else
-\documentclass[de]{CELbeamer}
-\fi
-
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-% CEL Template
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-\newcommand{\templates}{preambles}
-\input{\templates/packages.tex}
-\input{\templates/macros.tex}
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-\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
-\groupnamewidth{80mm}
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-% Document setup
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-
-\usepackage{tikz}
-\usepackage{tikz-3dplot}
-\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
-%\tikzexternalize[prefix=build/]
-
-\usepackage{pgfplots}
-\pgfplotsset{compat=newest}
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-
-\usepackage{enumerate}
-\usepackage{listings}
-\usepackage{subcaption}
-\usepackage{bbm}
-\usepackage{multirow}
-\usepackage{xcolor}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{graphicx}
-\usepackage{calc}
-
-\title{WT Tutorium 5}
-\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
-\date[]{16. Januar 2026}
-
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-% Custom commands
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-\input{lib/latex-common/common.tex}
-\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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-\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}
-
-\newlength{\depthofsumsign}
-\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
-\newlength{\totalheightofsumsign}
-\newlength{\heightanddepthofargument}
-\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
-    \mathop{
-        \raisebox
-        {-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
-        {\scalebox
-            {#1}
-            {$\displaystyle\sum$}%
-        }
-    }
-}
-
-% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
-% \captionsetup[sub]{font=small}
-
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-% Document body
-%
-%
-
-\begin{document}
-
-\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
-    \titlepage
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Aufgabe 1}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Theorie Wiederholung}
-
-% TODO:
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Aufgabe}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
-
-    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
-    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
-    bzw. $\lambda_2$ gegeben.
-
-    % tex-fmt: off
-    \begin{enumerate}[a{)}]
-        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
-            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
-            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
-            zweier Zufallsvariablen.
-        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
-            charakteristischen Funktion.
-    \end{enumerate}
-    % tex-fmt: on
-\end{frame}
-
-\begin{frame}[fragile]
-    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
-
-    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
-    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
-    bzw. $\lambda_2$ gegeben.
-
-    % tex-fmt: off
-    \begin{enumerate}[a{)}]
-        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
-            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
-            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
-            zweier Zufallsvariablen.
-            \pause\begin{gather*}
-                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
-                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
-                    = \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
-                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
-                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
-                    = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
-            \end{gather*}
-            \vspace{2mm}
-            \pause\begin{align*}
-                P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
-                = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
-                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[3mm]
-                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
-                    \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
-                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
-                    \frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
-                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
-                    \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
-                = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
-                    ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
-                =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}
-            \end{align*}
-        \pause\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
-            charakteristischen Funktion.
-            \pause\begin{align*}
-                % TODO: Write solution
-            \end{align*}
-    \end{enumerate}
-    % tex-fmt: on
-\end{frame}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Aufgabe 2}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Theorie Wiederholung}
-
-% TODO:
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{Aufgabe}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
-
-    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
-    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
-    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
-
-    % tex-fmt: off
-    \begin{enumerate}[a{)}]
-        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
-            Transformationssatzes.
-        \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
-            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
-        \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
-    \end{enumerate}
-    % tex-fmt: on
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
-
-    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
-    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
-    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
-
-    % tex-fmt: off
-    \begin{enumerate}[a{)}]
-        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
-            Transformationssatzes.
-            \pause\begin{align*}
-                f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy
-                    = x + 0{,}5 \\
-                f(y) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx
-                    = y + 0{,}5
-            \end{align*}
-        \pause \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
-            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
-            \pause\begin{align*}
-            \end{align*}
-        \pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
-            \pause\begin{align*}
-            \end{align*}
-    \end{enumerate}
-    % tex-fmt: on
-
-\end{frame}
-
-\end{document}
-