Add solution to exercise 1a

src/2026-01-16/presentation.tex

@@ -0,0 +1,229 @@
+\ifdefined\ishandout
+\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
+\else
+\documentclass[de]{CELbeamer}
+\fi
+
+%
+%
+% CEL Template
+%
+%
+
+\newcommand{\templates}{preambles}
+\input{\templates/packages.tex}
+\input{\templates/macros.tex}
+
+\grouplogo{CEL_logo.pdf}
+
+\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
+\groupnamewidth{80mm}
+
+\fundinglogos{}
+
+%
+%
+% Document setup
+%
+%
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
+%\tikzexternalize[prefix=build/]
+
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=newest}
+\usepgfplotslibrary{fillbetween}
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{bbm}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{calc}
+
+\title{WT Tutorium 5}
+\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
+\date[]{16. Januar 2026}
+
+%
+%
+% Custom commands
+%
+%
+
+\input{lib/latex-common/common.tex}
+\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
+
+\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}
+
+\newlength{\depthofsumsign}
+\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
+\newlength{\totalheightofsumsign}
+\newlength{\heightanddepthofargument}
+\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
+    \mathop{
+        \raisebox
+        {-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
+        {\scalebox
+            {#1}
+            {$\displaystyle\sum$}%
+        }
+    }
+}
+
+% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
+% \captionsetup[sub]{font=small}
+
+%
+%
+% Document body
+%
+%
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
+    \titlepage
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 1}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+% TODO:
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
+
+    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
+    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
+    bzw. $\lambda_2$ gegeben.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
+            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
+            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
+            zweier Zufallsvariablen.
+        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
+            charakteristischen Funktion.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}
+
+    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
+    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
+    bzw. $\lambda_2$ gegeben.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
+            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
+            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
+            zweier Zufallsvariablen.
+            \pause\begin{gather*}
+                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
+                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
+                    = \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
+                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
+                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
+                    = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
+            \end{gather*}
+            \vspace{2mm}
+            \pause\begin{align*}
+                P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
+                = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
+                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!} \\[3mm]
+                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
+                    \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
+                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
+                    \frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
+                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
+                    \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
+                = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
+                    ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
+                =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}
+            \end{align*}
+        \pause\item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
+            charakteristischen Funktion.
+            \pause\begin{align*}
+                % TODO: Write solution
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Aufgabe 2}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Theorie Wiederholung}
+
+% TODO:
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\subsection{Aufgabe}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
+
+    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
+    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
+    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
+            Transformationssatzes.
+        \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
+            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
+        \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
+
+    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
+    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
+    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
+            Transformationssatzes.
+            \pause\begin{align*}
+                f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy
+                    = x + 0{,}5 \\
+                f(y) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx
+                    = y + 0{,}5
+            \end{align*}
+        \pause \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
+            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
+            \pause\begin{align*}
+            \end{align*}
+        \pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
+            \pause\begin{align*}
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+\end{frame}
+
+\end{document}
+