Add solutions for exercise 1

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@@ -232,7 +232,7 @@
     können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
     der Wahrscheinlichkeit
     $p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
-    \Omega \rightarrow R$ beschreibt die Anzahl der
+    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
     Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
 
     % tex-fmt: off
@@ -276,6 +276,154 @@
     % tex-fmt: on
 \end{frame}
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
+
+    \vspace*{-16mm}
+
+    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
+    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
+    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
+    der Wahrscheinlichkeit
+    $p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
+    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
+    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
+            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
+            \pause\begin{gather*}
+                \Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
+                R \sim \text{Bin}(N=6, p=0.2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1.2
+            \end{gather*}
+        \vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
+            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
+            \pause \begin{gather*}
+                P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} 0.2^3 0.8^3 \approx 0.0819
+            \end{gather*}
+        \vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
+            Zufallsvariablen $R$.
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \vspace*{2mm}
+
+    \pause
+    \begin{columns}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{gather*}
+            F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
+            \binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
+        \end{gather*}
+        \begin{table}
+            \begin{tabular}{c|ccccccc}
+                $r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
+                $F_R(r)$ & 0.262 & 0.655 & 0.901 & 0.983 & 0.998 & 0.999 & 1
+            \end{tabular}
+        \end{table}
+        \column{\kitthreecolumns}
+        \begin{figure}[H]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[
+                        xmin=0,xmax=6,
+                        ymin=-0.2,ymax=1.2,
+                        xlabel=$r$,
+                        ylabel=$F_R(r)$,
+                        width=12cm,
+                        height=5cm,
+                    ]
+                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                    coordinates
+                    {
+                        (0,0.262)
+                        (1,0.262)
+                        (1,0.655)
+                        (2,0.655)
+                        (2,0.901)
+                        (3,0.901)
+                        (3,0.983)
+                        (4,0.983)
+                        (4,0.998)
+                        (5,0.998)
+                        (5,0.999)
+                        (6,0.999)
+                        (6,1)
+                    };
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
+
+    \vspace*{-16mm}
+
+    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
+    Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
+    dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
+    Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
+    bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0,3$.
+
+    \vspace*{2mm}
+
+    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
+            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
+            \pause\begin{gather*}
+                R := A + L
+            \end{gather*}%
+            \vspace*{-14mm}%
+            \begin{align*}
+                P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0.56 \\
+                P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0.38 \\
+                P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0.06
+            \end{align*}
+        \vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
+            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
+            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+
+    \vspace*{-6mm}
+
+    \pause
+    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \centering
+        \begin{align*}
+            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
+            E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0.38 +
+            2\cdot 0.06\right]\\[2mm]
+            &= 200\cdot 0.5 = 100
+        \end{align*}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}{0.06\textwidth}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \centering
+        \begin{align*}
+            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
+            E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
+                \text{Bin}(N=200,p=0.3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
+            L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200,p=0.2)}\Big)\\[2mm]
+            &= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
+            E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
+            &= 200\cdot 0.3 + 200 \cdot 0.2 = 100
+        \end{align*}
+    \end{minipage}
+\end{frame}
+
 % \begin{frame}
 %
 %     \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}