diff --git a/src/2025-11-21/presentation.tex b/src/2025-11-21/presentation.tex index 3889842..b89d978 100644 --- a/src/2025-11-21/presentation.tex +++ b/src/2025-11-21/presentation.tex @@ -269,9 +269,9 @@ ausgewähltes Minion klein, mittelgroß oder groß ist. \pause\begin{align*} - P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\ - P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\ - P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17 + P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\ + P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\ + P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17 \end{align*} \item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es @@ -280,7 +280,7 @@ P(N_1 \vert \overline{K}) = \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})} = \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)} - = \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153 + = \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153 \end{align*} \end{enumerate} % tex-fmt: on @@ -364,9 +364,9 @@ beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: \begin{itemize} - \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ - \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler - \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den + \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ + \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler + \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. \end{itemize} @@ -381,9 +381,9 @@ Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ beobachtet. Der Fehler tritt - mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ + mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ eingetreten sind und mit der - Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten + Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten sind. In allen anderen Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. @@ -408,9 +408,9 @@ beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: \begin{itemize} - \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ - \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler - \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den + \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ + \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler + \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. \end{itemize} @@ -420,16 +420,16 @@ Fehler $B$ und dafür, dass ein Werkstück fehlerfrei ist. \pause\begin{gather*} - P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04 + P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04 \end{gather*}\pause \vspace*{-15mm}\begin{gather*} - P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92 + P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92 \end{gather*} \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? \pause\begin{gather*} \left. \begin{array}{l} - P(AB) = 0.01 \\ - P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002 + P(AB) = 0{,}01 \\ + P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002 \end{array}\right\} \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig} \end{gather*} @@ -444,9 +444,9 @@ Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ beobachtet. Der Fehler tritt - mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ + mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ eingetreten sind und mit der - Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten + Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten sind. In allen anderen Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. @@ -459,7 +459,7 @@ P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B}) + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B) + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\ - &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094 + &= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094 \end{align*} \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? @@ -469,8 +469,8 @@ P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm] P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\ &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\ - &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm] - P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213 + &= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm] + P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213 \end{align*} \end{minipage}% \hspace*{-10mm} @@ -486,8 +486,8 @@ P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm] P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A) + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\ - &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm] - P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213 + &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm] + P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213 \end{align*} \end{minipage} \end{enumerate}