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Andreas Tsouchlos
2026-02-12 17:51:31 +01:00
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110
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@@ -421,6 +421,8 @@
\begin{frame} \begin{frame}
\frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer} \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}
\vspace*{-15mm}
Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa
essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem
Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an
@@ -440,21 +442,31 @@
\item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$ \item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$
Messwerte und damit den ML-Schätzer für die Messwerte und damit den ML-Schätzer für die
Ankunftsrate $\lambda$. Ankunftsrate $\lambda$.
\vspace*{5mm}
\pause
\begin{align*} \begin{align*}
\hspace*{-77mm}
L_{\bm{x}}(\lambda) &= P(\bm{X} = \bm{x} | \lambda) = L_{\bm{x}}(\lambda) &= P(\bm{X} = \bm{x} | \lambda) =
\prod_{i=1}^{N} P(X_i=x_i | \lambda) = \prod_{i=1}^{N} P(X_i=x_i | \lambda) =
\prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \\ \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda}
\end{align*}
\vspace*{-3mm}
\pause
\begin{align*}
l_{\bm{x}}(\lambda) &= \ln \left( l_{\bm{x}}(\lambda) &= \ln \left(
L_{\bm{x}}(\lambda) \right) = \ln \left( L_{\bm{x}}(\lambda) \right) = \ln \left(
\prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \right) \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}
e^{-\lambda} \right)
= =
\sum_{i=1}^{N}\left[\ln \left( e^{-\lambda} \right) + \sum_{i=1}^{N}\left[\ln \left( e^{-\lambda} \right) +
\ln \left( \lambda^{x_i} \right) \ln \left( \lambda^{x_i} \right)
- \ln \left( x_i! \right)\right] - \ln \left( x_i! \right)\right]
= - N \lambda + \sum_{i=1}^{N} \left[ x_i \ln \left( = - N \lambda + \sum_{i=1}^{N} \left[ x_i \ln \left(
\lambda \right) - \sum_{n=1}^{x_i} \ln \left( n \right) \right] \lambda \right) - \sum_{n=1}^{x_i} \ln \left( n
\right) \right]
\end{align*} \end{align*}
\vspace*{5mm} \vspace*{5mm}
\pause
\begin{gather*} \begin{gather*}
\left. \left.
\begin{array}{l} \begin{array}{l}
@@ -462,7 +474,8 @@
l_{\bm{x}}(\lambda)}{\lambda} = -N + l_{\bm{x}}(\lambda)}{\lambda} = -N +
\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{N} x_i \overset{!}{=} 0 \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{N} x_i \overset{!}{=} 0
\Rightarrow \lambda = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \\[7mm] \Rightarrow \lambda = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \\[7mm]
\displaystyle\frac{\partial^2 l_{\bm{x}}(\lambda)}{\partial \displaystyle\frac{\partial^2
l_{\bm{x}}(\lambda)}{\partial
\lambda^2} = - \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} x_i < 0 \lambda^2} = - \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} x_i < 0
\end{array} \end{array}
% tex-fmt: off % tex-fmt: off
@@ -481,13 +494,17 @@
% TODO: Erwartungswert Rechenregeln in Zusammenfassung % TODO: Erwartungswert Rechenregeln in Zusammenfassung
% TODO: Tschebyscheff Ungleichung in Theorie und Zusammenfassung % TODO: Tschebyscheff Ungleichung in Theorie und Zusammenfassung
\begin{frame} \begin{frame}
\frametitle{} \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}
\vspace*{-10mm}
\begin{enumerate}% \begin{enumerate}%
% tex-fmt: off % tex-fmt: off
[a{)}] [a{)}]
% tex-fmt: on % tex-fmt: on
\setcounter{enumi}{1} \setcounter{enumi}{1}
\item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist. \item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist.
\pause
\begin{gather*} \begin{gather*}
E(\hat{\lambda}_\text{ML}) = E \left(\frac{1}{N} E(\hat{\lambda}_\text{ML}) = E \left(\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N} X_i \right) \sum_{i=1}^{N} X_i \right)
@@ -496,21 +513,40 @@
\hspace{7mm}\Rightarrow\hspace{7mm} \text{Schätzer \hspace{7mm}\Rightarrow\hspace{7mm} \text{Schätzer
ist erwartungstreu} ist erwartungstreu}
\end{gather*} \end{gather*}
\item Ist der ML-Schätzer konsistent? \pause
\vspace*{-5mm}
\item Ist der ML-Schätzer konsistent? \\[-5mm]
\pause
\begin{minipage}{0.24\textwidth}
\phantom{a}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.16\textwidth}
\begin{gather*}
E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
\rvert > \varepsilon
\right)
\end{gather*}
\end{minipage}%
\pause %
\begin{minipage}{0.22\textwidth}
\begin{gather*}
= E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} -
E\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) \rvert
> \varepsilon
\right)
\le
\frac{V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right)}{\varepsilon^2}
\end{gather*}
\end{minipage} \\[2mm]
\pause
\begin{gather*} \begin{gather*}
E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
\rvert > \varepsilon
\right)
= E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} -
E\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) \rvert > \varepsilon
\right)
\le
\frac{V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right)}{\varepsilon^2} \\
V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) = V \left( V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) = V \left(
\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) =
\frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} V(X_i) = \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} V(X_i) =
\frac{N\lambda}{N^2} = \frac{\lambda}{N} \frac{N\lambda}{N^2} = \frac{\lambda}{N}
\end{gather*} \end{gather*}
\pause
\begin{gather*} \begin{gather*}
E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
\rvert > \varepsilon \rvert > \varepsilon
@@ -521,7 +557,10 @@
\hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer
ist konsistent} ist konsistent}
\end{gather*} \end{gather*}
\pause
\vspace*{-5mm}
\item Ist der ML-Schätzer effizient? \item Ist der ML-Schätzer effizient?
\pause
\begin{gather*} \begin{gather*}
J\left( \lambda \right) = - E J\left( \lambda \right) = - E
\left( \left(
@@ -529,7 +568,10 @@
(\lambda) \right) (\lambda) \right)
= - E \left( \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) = - E \left( \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} X_i \right)
= \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} E\left( X_i = \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} E\left( X_i
\right) = \frac{N}{\lambda} \\[5mm] \right) = \frac{N}{\lambda}
\end{gather*}
\pause
\begin{gather*}
V\left( \hat{\lambda}_\text{ML} \right) V\left( \hat{\lambda}_\text{ML} \right)
% tex-fmt: off % tex-fmt: off
\overset{\text{c)}}{=} \overset{\text{c)}}{=}
@@ -642,6 +684,7 @@
\vspace*{5mm} \vspace*{5mm}
\pause
\begin{minipage}{0.25\textwidth} \begin{minipage}{0.25\textwidth}
\phantom{a} \phantom{a}
\end{minipage} \end{minipage}
@@ -653,7 +696,9 @@
\end{itemize} \end{itemize}
\end{minipage} \end{minipage}
\vspace*{5mm} \pause
\vspace*{15mm}
\begin{figure}[H] \begin{figure}[H]
\centering \centering
\includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf} \includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf}
@@ -671,6 +716,7 @@
\vspace*{-10mm} \vspace*{-10mm}
\pause
\begin{align*} \begin{align*}
\text{Median: } \hspace{5mm}&5 \\ \text{Median: } \hspace{5mm}&5 \\
\text{Untere Quartilsgrenze: } \hspace{5mm}&3 \\ \text{Untere Quartilsgrenze: } \hspace{5mm}&3 \\
@@ -720,6 +766,7 @@
\end{enumerate} \end{enumerate}
% %
\vspace*{-3mm} \vspace*{-3mm}
\pause
\begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{gather*} \begin{gather*}
z_1 = z_1 =
@@ -729,13 +776,22 @@
\rightarrow \rightarrow
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28 22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28
\end{pmatrix} \\[5mm] \end{pmatrix}
\overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 25 \\ \end{gather*}
s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} - \vspace*{-10mm}
\overline{z} \right)^2 = 4 \\[5mm] \pause
\begin{gather*}
z_{3/4} - z_{1/4} = 26 - 24 = 2 z_{3/4} - z_{1/4} = 26 - 24 = 2
\end{gather*} \end{gather*}
\vspace*{-8mm}
\pause
\begin{gather*}
\overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 25 \\
s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} -
\overline{z} \right)^2 = 4
\end{gather*}
\end{minipage}% \end{minipage}%
\pause
\begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{gather*} \begin{gather*}
z_1 = z_1 =
@@ -745,11 +801,19 @@
\rightarrow \rightarrow
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28 & 129 0 & 22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28 & 129
\end{pmatrix} \\[5mm] \end{pmatrix}
\end{gather*}
\vspace*{-10mm}
\pause
\begin{gather*}
z_{3/4} - z_{1/4} = \frac{26 + 28}{2} - \frac{22 + 24}{2} = 4
\end{gather*}
\vspace*{-8mm}
\pause
\begin{gather*}
\overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 34{,}875 \\ \overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 34{,}875 \\
s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} - s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} -
\overline{z} \right)^2 = 1525{,}84 \\[5mm] \overline{z} \right)^2 \approx 1525{,}84
z_{3/4} - z_{1/4} = \frac{26 + 28}{2} - \frac{22 + 24}{2} = 4
\end{gather*} \end{gather*}
\end{minipage} \end{minipage}
\end{frame} \end{frame}