diff --git a/src/2026-02-13/presentation.tex b/src/2026-02-13/presentation.tex index 9cd04db..e0a660d 100644 --- a/src/2026-02-13/presentation.tex +++ b/src/2026-02-13/presentation.tex @@ -421,6 +421,8 @@ \begin{frame} \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer} + \vspace*{-15mm} + Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an @@ -440,21 +442,31 @@ \item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$ Messwerte und damit den ML-Schätzer für die Ankunftsrate $\lambda$. + \vspace*{5mm} + \pause \begin{align*} + \hspace*{-77mm} L_{\bm{x}}(\lambda) &= P(\bm{X} = \bm{x} | \lambda) = \prod_{i=1}^{N} P(X_i=x_i | \lambda) = - \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \\ + \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} + \end{align*} + \vspace*{-3mm} + \pause + \begin{align*} l_{\bm{x}}(\lambda) &= \ln \left( L_{\bm{x}}(\lambda) \right) = \ln \left( - \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \right) + \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} + e^{-\lambda} \right) = \sum_{i=1}^{N}\left[\ln \left( e^{-\lambda} \right) + \ln \left( \lambda^{x_i} \right) - \ln \left( x_i! \right)\right] = - N \lambda + \sum_{i=1}^{N} \left[ x_i \ln \left( - \lambda \right) - \sum_{n=1}^{x_i} \ln \left( n \right) \right] + \lambda \right) - \sum_{n=1}^{x_i} \ln \left( n + \right) \right] \end{align*} \vspace*{5mm} + \pause \begin{gather*} \left. \begin{array}{l} @@ -462,7 +474,8 @@ l_{\bm{x}}(\lambda)}{\lambda} = -N + \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{N} x_i \overset{!}{=} 0 \Rightarrow \lambda = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \\[7mm] - \displaystyle\frac{\partial^2 l_{\bm{x}}(\lambda)}{\partial + \displaystyle\frac{\partial^2 + l_{\bm{x}}(\lambda)}{\partial \lambda^2} = - \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} x_i < 0 \end{array} % tex-fmt: off @@ -481,13 +494,17 @@ % TODO: Erwartungswert Rechenregeln in Zusammenfassung % TODO: Tschebyscheff Ungleichung in Theorie und Zusammenfassung \begin{frame} - \frametitle{} + \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer} + + \vspace*{-10mm} + \begin{enumerate}% % tex-fmt: off [a{)}] % tex-fmt: on \setcounter{enumi}{1} \item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist. + \pause \begin{gather*} E(\hat{\lambda}_\text{ML}) = E \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) @@ -496,21 +513,40 @@ \hspace{7mm}\Rightarrow\hspace{7mm} \text{Schätzer ist erwartungstreu} \end{gather*} - \item Ist der ML-Schätzer konsistent? + \pause + \vspace*{-5mm} + \item Ist der ML-Schätzer konsistent? \\[-5mm] + \pause + \begin{minipage}{0.24\textwidth} + \phantom{a} + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.16\textwidth} + \begin{gather*} + E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda + \rvert > \varepsilon + \right) + \end{gather*} + \end{minipage}% + \pause % + \begin{minipage}{0.22\textwidth} + \begin{gather*} + = E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - + E\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) \rvert + > \varepsilon + \right) + \le + \frac{V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right)}{\varepsilon^2} + \end{gather*} + \end{minipage} \\[2mm] + + \pause \begin{gather*} - E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda - \rvert > \varepsilon - \right) - = E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - - E\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) \rvert > \varepsilon - \right) - \le - \frac{V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right)}{\varepsilon^2} \\ V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) = V \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) = \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} V(X_i) = \frac{N\lambda}{N^2} = \frac{\lambda}{N} \end{gather*} + \pause \begin{gather*} E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda \rvert > \varepsilon @@ -521,7 +557,10 @@ \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer ist konsistent} \end{gather*} + \pause + \vspace*{-5mm} \item Ist der ML-Schätzer effizient? + \pause \begin{gather*} J\left( \lambda \right) = - E \left( @@ -529,7 +568,10 @@ (\lambda) \right) = - E \left( \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) = \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} E\left( X_i - \right) = \frac{N}{\lambda} \\[5mm] + \right) = \frac{N}{\lambda} + \end{gather*} + \pause + \begin{gather*} V\left( \hat{\lambda}_\text{ML} \right) % tex-fmt: off \overset{\text{c)}}{=} @@ -642,6 +684,7 @@ \vspace*{5mm} + \pause \begin{minipage}{0.25\textwidth} \phantom{a} \end{minipage} @@ -653,7 +696,9 @@ \end{itemize} \end{minipage} - \vspace*{5mm} + \pause + + \vspace*{15mm} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf} @@ -671,6 +716,7 @@ \vspace*{-10mm} + \pause \begin{align*} \text{Median: } \hspace{5mm}&5 \\ \text{Untere Quartilsgrenze: } \hspace{5mm}&3 \\ @@ -720,6 +766,7 @@ \end{enumerate} % \vspace*{-3mm} + \pause \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{gather*} z_1 = @@ -729,13 +776,22 @@ \rightarrow \begin{pmatrix} 22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28 - \end{pmatrix} \\[5mm] - \overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 25 \\ - s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} - - \overline{z} \right)^2 = 4 \\[5mm] + \end{pmatrix} + \end{gather*} + \vspace*{-10mm} + \pause + \begin{gather*} z_{3/4} - z_{1/4} = 26 - 24 = 2 \end{gather*} + \vspace*{-8mm} + \pause + \begin{gather*} + \overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 25 \\ + s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} - + \overline{z} \right)^2 = 4 + \end{gather*} \end{minipage}% + \pause \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{gather*} z_1 = @@ -745,11 +801,19 @@ \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28 & 129 - \end{pmatrix} \\[5mm] + \end{pmatrix} + \end{gather*} + \vspace*{-10mm} + \pause + \begin{gather*} + z_{3/4} - z_{1/4} = \frac{26 + 28}{2} - \frac{22 + 24}{2} = 4 + \end{gather*} + \vspace*{-8mm} + \pause + \begin{gather*} \overline{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 34{,}875 \\ s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} - - \overline{z} \right)^2 = 1525{,}84 \\[5mm] - z_{3/4} - z_{1/4} = \frac{26 + 28}{2} - \frac{22 + 24}{2} = 4 + \overline{z} \right)^2 \approx 1525{,}84 \end{gather*} \end{minipage} \end{frame}