Finish exercise 1

src/2025-11-07/presentation.tex

@@ -26,8 +26,7 @@
 \input{lib/latex-common/common.tex}
 \pgfplotsset{colorscheme/rocket}
 
-%TODO: Fix path
+\newcommand{\res}{src/2025-11-07/res}
-\newcommand{\res}{src/template/res}
 
 % \tikzstyle{every node}=[font=\small]
 % \captionsetup[sub]{font=small}
@@ -84,7 +83,7 @@
                 \item Wiederholung der für die Aufgaben wichtigsten Teile
                     der Theorie
             \end{itemize}
-        \item Angesetzte Struktur
+        \item Struktur der Tutorien
             \begin{table}
                 \begin{tabular}{l||c}
                     Abschnitt                           & Dauer \\\hline\hline
@@ -108,73 +107,143 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Theorie Wiederholung}
 
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
+\begin{frame}{Ereignisse \& Laplace}
-\begin{frame}
+    \vspace*{-15mm}
-    \frametitle{Theorie Wiederholung I}
+    \begin{itemize}
-
+        \item Ereignisse
-    \begin{columns}
+            \begin{columns}
-        \column{\kitthreecolumns}
+                \column{\kitthreecolumns}
-        \begin{greenblock}{Zufallsvariablen (ZV)}%
+                \begin{align*}
-            \vspace*{-6mm}
+                    \text{Ergebnisraum: } & \hspace{5mm} \Omega =
+                    \mleft\{ \omega_1, \ldots, \omega_N \mright\}\\
+                    \text{Ergebnis: } & \hspace{5mm} \omega_i\\
+                    \text{Ereignis: } & \hspace{5mm} A \subseteq \Omega
+                \end{align*}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{lightgrayhighlightbox}
+                    Beispiel: Würfeln mit einem Würfel
+                    \begin{align*}
+                        \Omega &= \mleft\{ 1, \ldots, 6 \mright\}\\
+                        A &= \mleft\{ 1, 6 \mright\}
+                    \end{align*}\\[1em]
+                    \vspace*{-12mm}
+                \end{lightgrayhighlightbox}
+                \begin{lightgrayhighlightbox}
+                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
+                    \begin{align*}
+                        \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
+                        1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
+                        A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
+                    \end{align*}
+                    \vspace*{-12mm}
+                \end{lightgrayhighlightbox}
+                \vspace*{0mm}
+            \end{columns}\pause
+        \item Laplace'sches Zufallsexperiment
             \begin{gather*}
-                f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
+                \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
-                P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
+                    \begin{array}{l}
-                E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
+                        \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\
-            \end{gather*}
+                        P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert}
-        \end{greenblock}
+                    \end{array}
+                    \right.\\[1em]
+                    P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
+                    \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
+                    Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
+                \end{gather*}
+        \end{itemize}
+    \end{frame}
 
-        \column{\kitthreecolumns}
+    \begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung}
-        \begin{greenblock}{Important Equations}%
+        \begin{itemize}
-            \vspace*{-6mm}
+            \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne
-            \begin{gather*}
+                Betrachtung der Reihenfolge
-                f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
+                \vspace*{5mm}
-                P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
+                \begin{columns}
-                E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
+                    \column{\kitthreecolumns}
-            \end{gather*}
+                    \begin{gather*}
-        \end{greenblock}
+                        \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} =
-    \end{columns}
+                        \frac{N!}{(N-K)!K!}
+                    \end{gather*}
+                    \column{\kitthreecolumns}
+                    \begin{lightgrayhighlightbox}
+                        Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt
+                        es beim Lotto ``6 aus 49''?
+                        \vspace*{0mm}
+                        \begin{align*}
+                            \begin{array}{c}
+                                N = 49 \\
+                                K = 6
+                            \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow
+                            \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816
+                        \end{align*}
+                        \vspace*{-8mm}
+                    \end{lightgrayhighlightbox}
+                \end{columns}
+                \pause
+            \item Hypergeometrische Verteilung
+                \begin{columns}
+                    \column{\kitthreecolumns}
+                    \begin{gather*}
+                        P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
+                    \end{gather*}
+                    \column{\kitthreecolumns}
+                    \begin{lightgrayhighlightbox}
+                        Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon
+                        R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
+                        beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen)
+                        genau r rote zu erwischen?
+                    \end{lightgrayhighlightbox}
+                \end{columns}
+        \end{itemize}
+    \end{frame}
 
-    \begin{greenblock}{Normalverteilung}
+    \begin{frame}{Zusammenfassung}
         \begin{columns}
             \column{\kitthreecolumns}
-            \begin{gather*}
+            \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}%
-                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
+                \vspace*{-6mm}
-                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
+                \begin{gather*}
-                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
+                    P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} =
-            \end{gather*}
+                    \frac{\text{Anzahl ``günstiger''
+                    Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}
+                \end{gather*}
+            \end{greenblock}
 
             \column{\kitthreecolumns}
-            \begin{figure}
+            \begin{greenblock}{Kombinationen}%
-                \centering
+                \vspace*{-6mm}
-                \begin{tikzpicture}
+                \begin{gather*}
-                    \begin{axis}[
+                    \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} =
-                            domain=-4:4,
+                    \frac{N!}{(N-K)!K!}
-                            samples=100,
+                \end{gather*}
-                            width=11cm,
+            \end{greenblock}
-                            height=6cm,
-                            ticks=none,
-                            xlabel={$x$},
-                            ylabel={$f_X(x)$}
-                        ]
-                        \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
-                    \end{axis}
-                \end{tikzpicture}
-            \end{figure}
         \end{columns}
-    \end{greenblock}
-\end{frame}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+        \begin{columns}
-\subsection{Aufgabe}
+            \column{\kitonecolumn}
+            \column{\kitthreecolumns}
+            \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}%
+                \vspace*{-6mm}
+                \begin{gather*}
+                    P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}
+                \end{gather*}
+            \end{greenblock}
+            \column{\kitonecolumn}
+        \end{columns}
+    \end{frame}
 
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
+    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frame}
+    \subsection{Aufgabe}
-    \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& Hypergeometrische\\ Verteilung}
 
-    Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
+    \begin{frame}
-    von 52 Karten (bestehend aus
+        \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
-    13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
+        Hypergeometrische\\ Verteilung}
-    dass der Spieler
+
+        Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
+        von 52 Karten (bestehend aus
+        13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
+        dass der Spieler
 
     % tex-fmt: off
     \begin{enumerate}[a{)}]
@@ -184,66 +253,98 @@
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
 
-\end{frame}
+    \end{frame}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+    \begin{frame}
-\section{Aufgabe 2}
+        \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \&
+        Hypergeometrische\\ Verteilung}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+        Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck
-\subsection{Theorie Wiederholung}
+        von 52 Karten (bestehend aus
+        13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
+        dass der Spieler
 
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
+        % tex-fmt: off
-\begin{frame}
+        \begin{enumerate}[a{)}]
-    \frametitle{Theorie Wiederholung II}
+            \item mindestens ein Ass hat?\pause
+                \begin{gather*}
+                    P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
+                    = 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0.341
+                \end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
+            \item genau ein Ass hat?\pause
+                \begin{gather*}
+                    P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0.299
+                \end{gather*}\pause
+            \item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
+                \begin{align*}
+                    P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
+                                                             &= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
+                                                             &= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0.493
+                \end{align*}
+        \end{enumerate}
+        % tex-fmt: on
 
-    \begin{gather*}
+    \end{frame}
-        f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
-        P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
-        E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
-    \end{gather*}
 
-    \begin{figure}
+    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-        \centering
+    \section{Aufgabe 2}
+    
+    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+    \subsection{Theorie Wiederholung}
 
-        \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
+    % TODO: Replace slide content with relevant stuff
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Theorie Wiederholung II}
+
+        \begin{gather*}
+            f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
+            P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
+            E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
+        \end{gather*}
+
+        \begin{figure}
             \centering
-            \begin{gather*}
-                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
-                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
-                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
-            \end{gather*}
-        \end{subfigure}%
-        \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
-            \centering
-            \begin{tikzpicture}
-                \begin{axis}[
-                        domain=-4:4,
-                        samples=100,
-                        width=\textwidth,
-                        height=0.5\textwidth,
-                        ticks=none,
-                        xlabel={$x$},
-                        ylabel={$f_X(x)$}
-                    ]
-                    \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
-                \end{axis}
-            \end{tikzpicture}
-        \end{subfigure}
-    \end{figure}
-\end{frame}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+            \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
-\subsection{Aufgabe}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
+                    f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
+                    e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
+                \end{gather*}
+            \end{subfigure}%
+            \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                            domain=-4:4,
+                            samples=100,
+                            width=\textwidth,
+                            height=0.5\textwidth,
+                            ticks=none,
+                            xlabel={$x$},
+                            ylabel={$f_X(x)$}
+                        ]
+                        \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{subfigure}
+        \end{figure}
+    \end{frame}
 
-% TODO: Replace slide content with relevant stuff
+    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frame}
+    \subsection{Aufgabe}
-    \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
 
-    Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
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-    Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den Zutaten Salat
+    \begin{frame}
-    (S), Käse (K), Tomate (T)
+        \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen}
-    und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
+
-    Burgers ausgewählt.
+        Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen
+        Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den
+        Zutaten Salat
+        (S), Käse (K), Tomate (T)
+        und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines
+        Burgers ausgewählt.
 
     % tex-fmt: off
     \begin{enumerate}[a{)}]
@@ -264,50 +365,50 @@
     \end{enumerate}
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-\end{frame}
+    \end{frame}
 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Zusammenfassung}
+    \section{Zusammenfassung}
 
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-\begin{frame}
+    \begin{frame}
-    \frametitle{Zusammenfassung}
+        \frametitle{Zusammenfassung}
 
-    \begin{gather*}
+        \begin{gather*}
-        f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
+            f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
-        P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
+            P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
-        E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
+            E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
-    \end{gather*}
+        \end{gather*}
 
-    \begin{figure}
+        \begin{figure}
-        \centering
-
-        \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
             \centering
-            \begin{gather*}
-                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
-                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
-                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
-            \end{gather*}
-        \end{subfigure}%
-        \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
-            \centering
-            \begin{tikzpicture}
-                \begin{axis}[
-                        domain=-4:4,
-                        samples=100,
-                        width=\textwidth,
-                        height=0.5\textwidth,
-                        ticks=none,
-                        xlabel={$x$},
-                        ylabel={$f_X(x)$}
-                    ]
-                    \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
-                \end{axis}
-            \end{tikzpicture}
-        \end{subfigure}
-    \end{figure}
-\end{frame}
 
-\end{document}
+            \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
+                    f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
+                    e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
+                \end{gather*}
+            \end{subfigure}%
+            \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                            domain=-4:4,
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+                            xlabel={$x$},
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+                        ]
+                        \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{subfigure}
+        \end{figure}
+    \end{frame}
+
+    \end{document}