From 1a2987e92207a798a9322d678519a1208c9f6944 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andreas Tsouchlos Date: Sat, 25 Oct 2025 16:16:04 +0200 Subject: [PATCH] Finish exercise 1 --- src/2025-11-07/presentation.tex | 399 ++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 250 insertions(+), 149 deletions(-) diff --git a/src/2025-11-07/presentation.tex b/src/2025-11-07/presentation.tex index 2becdf0..89e1c8f 100644 --- a/src/2025-11-07/presentation.tex +++ b/src/2025-11-07/presentation.tex @@ -26,8 +26,7 @@ \input{lib/latex-common/common.tex} \pgfplotsset{colorscheme/rocket} -%TODO: Fix path -\newcommand{\res}{src/template/res} +\newcommand{\res}{src/2025-11-07/res} % \tikzstyle{every node}=[font=\small] % \captionsetup[sub]{font=small} @@ -84,7 +83,7 @@ \item Wiederholung der für die Aufgaben wichtigsten Teile der Theorie \end{itemize} - \item Angesetzte Struktur + \item Struktur der Tutorien \begin{table} \begin{tabular}{l||c} Abschnitt & Dauer \\\hline\hline @@ -108,73 +107,143 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Theorie Wiederholung} -% TODO: Replace slide content with relevant stuff -\begin{frame} - \frametitle{Theorie Wiederholung I} - - \begin{columns} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{greenblock}{Zufallsvariablen (ZV)}% - \vspace*{-6mm} +\begin{frame}{Ereignisse \& Laplace} + \vspace*{-15mm} + \begin{itemize} + \item Ereignisse + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{align*} + \text{Ergebnisraum: } & \hspace{5mm} \Omega = + \mleft\{ \omega_1, \ldots, \omega_N \mright\}\\ + \text{Ergebnis: } & \hspace{5mm} \omega_i\\ + \text{Ereignis: } & \hspace{5mm} A \subseteq \Omega + \end{align*} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: Würfeln mit einem Würfel + \begin{align*} + \Omega &= \mleft\{ 1, \ldots, 6 \mright\}\\ + A &= \mleft\{ 1, 6 \mright\} + \end{align*}\\[1em] + \vspace*{-12mm} + \end{lightgrayhighlightbox} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln + \begin{align*} + \Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{ + 1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\ + A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\} + \end{align*} + \vspace*{-12mm} + \end{lightgrayhighlightbox} + \vspace*{0mm} + \end{columns}\pause + \item Laplace'sches Zufallsexperiment \begin{gather*} - f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ - P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ - E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx - \end{gather*} - \end{greenblock} + \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{ + \begin{array}{l} + \lvert\Omega\rvert \text{ endlich}\\ + P(\omega_i) = \frac{1}{\lvert\Omega\rvert} + \end{array} + \right.\\[1em] + P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = + \frac{\text{Anzahl ``günstiger'' + Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} + \end{gather*} + \end{itemize} + \end{frame} - \column{\kitthreecolumns} - \begin{greenblock}{Important Equations}% - \vspace*{-6mm} - \begin{gather*} - f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ - P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ - E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx - \end{gather*} - \end{greenblock} - \end{columns} + \begin{frame}{Kombinationen und Hypergeometrische\\ Verteilung} + \begin{itemize} + \item Kombinationen: Ziehen ohne zurücklegen, ohne + Betrachtung der Reihenfolge + \vspace*{5mm} + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{gather*} + \lvert C_N^{(K)} \rvert = \binom{N}{K} = + \frac{N!}{(N-K)!K!} + \end{gather*} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt + es beim Lotto ``6 aus 49''? + \vspace*{0mm} + \begin{align*} + \begin{array}{c} + N = 49 \\ + K = 6 + \end{array} \hspace{5mm} \rightarrow + \hspace{5mm} \binom{49}{6} = 13983816 + \end{align*} + \vspace*{-8mm} + \end{lightgrayhighlightbox} + \end{columns} + \pause + \item Hypergeometrische Verteilung + \begin{columns} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{gather*} + P_r = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} + \end{gather*} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{lightgrayhighlightbox} + Beispiel: In einer Urne sind N Kugeln, davon + R rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit + beim ziehen von n Kugeln (ohne Zurücklegen) + genau r rote zu erwischen? + \end{lightgrayhighlightbox} + \end{columns} + \end{itemize} + \end{frame} - \begin{greenblock}{Normalverteilung} + \begin{frame}{Zusammenfassung} \begin{columns} \column{\kitthreecolumns} - \begin{gather*} - \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} - f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} - e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} - \end{gather*} + \begin{greenblock}{Laplace'sches Zufallsexperiment}% + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = + \frac{\text{Anzahl ``günstiger'' + Möglichkeiten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}} + \end{gather*} + \end{greenblock} \column{\kitthreecolumns} - \begin{figure} - \centering - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - domain=-4:4, - samples=100, - width=11cm, - height=6cm, - ticks=none, - xlabel={$x$}, - ylabel={$f_X(x)$} - ] - \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \end{figure} + \begin{greenblock}{Kombinationen}% + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + \lvert C_N^{(K)}\rvert = \binom{N}{K} = + \frac{N!}{(N-K)!K!} + \end{gather*} + \end{greenblock} \end{columns} - \end{greenblock} -\end{frame} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\subsection{Aufgabe} + \begin{columns} + \column{\kitonecolumn} + \column{\kitthreecolumns} + \begin{greenblock}{Hypergeometrische Verteilung}% + \vspace*{-6mm} + \begin{gather*} + P_R = \frac{\binom{R}{r}\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}} + \end{gather*} + \end{greenblock} + \column{\kitonecolumn} + \end{columns} + \end{frame} -% TODO: Replace slide content with relevant stuff -\begin{frame} - \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& Hypergeometrische\\ Verteilung} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \subsection{Aufgabe} - Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck - von 52 Karten (bestehend aus - 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, - dass der Spieler + \begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& + Hypergeometrische\\ Verteilung} + + Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck + von 52 Karten (bestehend aus + 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, + dass der Spieler % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] @@ -184,66 +253,98 @@ \end{enumerate} % tex-fmt: on -\end{frame} + \end{frame} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Aufgabe 2} + \begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 1: Ergebnisraum \& + Hypergeometrische\\ Verteilung} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\subsection{Theorie Wiederholung} + Bei einem Kartenspiel erhält ein Spieler 5 Karten aus einem Deck + von 52 Karten (bestehend aus + 13 Arten mit je 4 Farben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, + dass der Spieler -% TODO: Replace slide content with relevant stuff -\begin{frame} - \frametitle{Theorie Wiederholung II} + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item mindestens ein Ass hat?\pause + \begin{gather*} + P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass}) + = 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0.341 + \end{gather*}\pause\vspace*{-5mm} + \item genau ein Ass hat?\pause + \begin{gather*} + P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0.299 + \end{gather*}\pause + \item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause + \begin{align*} + P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\ + &= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\ + &= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0.493 + \end{align*} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on - \begin{gather*} - f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ - P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ - E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx - \end{gather*} + \end{frame} - \begin{figure} - \centering + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \section{Aufgabe 2} + + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \subsection{Theorie Wiederholung} - \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} + % TODO: Replace slide content with relevant stuff + \begin{frame} + \frametitle{Theorie Wiederholung II} + + \begin{gather*} + f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ + P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ + E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx + \end{gather*} + + \begin{figure} \centering - \begin{gather*} - \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} - f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} - e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} - \end{gather*} - \end{subfigure}% - \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} - \centering - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - domain=-4:4, - samples=100, - width=\textwidth, - height=0.5\textwidth, - ticks=none, - xlabel={$x$}, - ylabel={$f_X(x)$} - ] - \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \end{subfigure} - \end{figure} -\end{frame} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\subsection{Aufgabe} + \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} + \centering + \begin{gather*} + \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} + f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} + e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} + \end{gather*} + \end{subfigure}% + \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + domain=-4:4, + samples=100, + width=\textwidth, + height=0.5\textwidth, + ticks=none, + xlabel={$x$}, + ylabel={$f_X(x)$} + ] + \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{subfigure} + \end{figure} + \end{frame} -% TODO: Replace slide content with relevant stuff -\begin{frame} - \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \subsection{Aufgabe} - Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen - Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den Zutaten Salat - (S), Käse (K), Tomate (T) - und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines - Burgers ausgewählt. + % TODO: Replace slide content with relevant stuff + \begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen} + + Aufgabe 2: Variationen \& Permutationen + Ein Burgerrestaurant bietet verschiedene Burger mit den + Zutaten Salat + (S), Käse (K), Tomate (T) + und Patty (P) an. Diese werden zufällig für die Zubereitung eines + Burgers ausgewählt. % tex-fmt: off \begin{enumerate}[a{)}] @@ -264,50 +365,50 @@ \end{enumerate} % tex-fmt: on -\end{frame} + \end{frame} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Zusammenfassung} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \section{Zusammenfassung} -% TODO: Replace slide content with relevant stuff -\begin{frame} - \frametitle{Zusammenfassung} + % TODO: Replace slide content with relevant stuff + \begin{frame} + \frametitle{Zusammenfassung} - \begin{gather*} - f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ - P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ - E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx - \end{gather*} + \begin{gather*} + f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\ + P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\ + E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx + \end{gather*} - \begin{figure} - \centering - - \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} + \begin{figure} \centering - \begin{gather*} - \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} - f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} - e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} - \end{gather*} - \end{subfigure}% - \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} - \centering - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - domain=-4:4, - samples=100, - width=\textwidth, - height=0.5\textwidth, - ticks=none, - xlabel={$x$}, - ylabel={$f_X(x)$} - ] - \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \end{subfigure} - \end{figure} -\end{frame} -\end{document} + \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth} + \centering + \begin{gather*} + \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm} + f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} + e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} + \end{gather*} + \end{subfigure}% + \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth} + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + domain=-4:4, + samples=100, + width=\textwidth, + height=0.5\textwidth, + ticks=none, + xlabel={$x$}, + ylabel={$f_X(x)$} + ] + \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)}; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \end{subfigure} + \end{figure} + \end{frame} + + \end{document}