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tut3: Add most of the theory for exercise 1

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Andreas Tsouchlos 2025-11-02 16:58:30 +01:00
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174
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@ -77,6 +77,174 @@
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1} \section{Aufgabe 1}
\begin{frame}
\frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
\vspace*{-10mm}
\begin{itemize}
\item Zufallsvariablen (ZV)
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\centering
\begin{gather*}
\text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
$\Omega$} \\[1cm]
X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
\underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
\end{gather*}
\end{minipage}%
\hspace*{15mm}%
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\centering
\begin{lightgrayhighlightbox}
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
\begin{gather*}
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
, 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
\underbrace{\left\{2,3,
\ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
\end{gather*}\\
\vspace*{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
\end{tikzpicture}
\vspace*{2mm}
\begin{gather*}
A = \text{\normalfont``Die Summe der
Augenzahlen ist 4''}
\end{gather*}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\centering
Direkter Weg
\begin{align*}
P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
(3,1) \mright\}) \\
&= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
&= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
\end{align*}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\centering
Über ZV
\begin{gather*}
P(A) = P_X(4) = \cdots
\end{gather*}
\end{minipage}
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{minipage}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
\vspace*{-18mm}
\begin{itemize}
\item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
\vspace*{-6mm}
\begin{columns}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{align*}
\overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
&= \sum_{n:x_n \le x}
\overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
&= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
\end{align*}
\column{\kitthreecolumns}
\begin{lightgrayhighlightbox}
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
\begin{gather*}
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
\end{gather*}
\vspace*{-10mm}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xmin=2,xmax=12,
ymin=-0.2,ymax=1.2,
xlabel=$x$,
ylabel=$F_X(x)$,
width=12cm,
height=5cm,
]
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
coordinates
{
(2 , 0.02777)
(3 , 0.02777)
(3 , 0.08333)
(4 , 0.08333)
(4 , 0.16666)
(5 , 0.16666)
(5 , 0.27777)
(6 , 0.27777)
(6 , 0.41666)
(7 , 0.41666)
(7 , 0.58333)
(8 , 0.58333)
(8 , 0.72222)
(9 , 0.72222)
(9 , 0.83333)
(10 , 0.83333)
(10, 0.91666)
(11, 0.91666)
(11, 0.97222)
(12, 0.97222)
(12, 1.00000)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\vspace*{-10mm}
\end{lightgrayhighlightbox}
\end{columns}
\pause \item Einige Kenngrößen von Verteilungen
\vspace*{2mm}
\begin{columns}[t]
\column{\kittwocolumns}
\centering
\textbf{Erwartungswert}
\begin{gather*}
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
\end{gather*}%
\vspace*{-8mm}%
\begin{align*}
E(X + b) &= E(X) + b\\
E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
E(aX) &= aE(X)
\end{align*}
\column{\kittwocolumns}
\centering
\textbf{Varianz}
\begin{gather*}
V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
\end{gather*}%
\vspace*{-8mm}
\begin{align*}
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
V(aX) &= a^2 V(x)\\
V(X+b) &= V(X)
\end{align*}
\column{\kittwocolumns}
\centering
\textbf{$p$-Quantil}
\begin{gather*}
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
\le x) \ge p \mright\}
\end{gather*}
\vspace*{-8mm}
\begin{gather*}
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
\equiv \text{``Median''}
\end{gather*}
\end{columns}
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung} \subsection{Theorie Wiederholung}
@ -523,7 +691,8 @@
% beobachtet. Der Fehler tritt % beobachtet. Der Fehler tritt
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ % mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
% eingetreten sind und mit der % eingetreten sind und mit der
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten % Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch
$B$ eingetreten
% sind. In allen anderen % sind. In allen anderen
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. % Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
% %
@ -587,7 +756,8 @@
% beobachtet. Der Fehler tritt % beobachtet. Der Fehler tritt
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ % mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
% eingetreten sind und mit der % eingetreten sind und mit der
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten % Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch
$B$ eingetreten
% sind. In allen anderen % sind. In allen anderen
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. % Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
% %