diff --git a/src/2025-12-05/presentation.tex b/src/2025-12-05/presentation.tex
index 26a76ad..a17f472 100644
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+++ b/src/2025-12-05/presentation.tex
@@ -77,6 +77,174 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Aufgabe 1}
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Zufallsvariablen (ZV)
+            \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
+                    $\Omega$} \\[1cm]
+                    X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
+                    \underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
+                    P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
+                \end{gather*}
+            \end{minipage}%
+            \hspace*{15mm}%
+            \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+                \centering
+                \begin{lightgrayhighlightbox}
+                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
+                    \begin{gather*}
+                        X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
+                        X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
+                        , 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
+                        \underbrace{\left\{2,3,
+                        \ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
+                    \end{gather*}\\
+                    \vspace*{5mm}
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
+                    \end{tikzpicture}
+                    \vspace*{2mm}
+                    \begin{gather*}
+                        A = \text{\normalfont``Die Summe der
+                        Augenzahlen ist 4''}
+                    \end{gather*}
+                    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+                        \centering
+                        Direkter Weg
+                        \begin{align*}
+                            P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
+                            (3,1) \mright\}) \\
+                            &= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
+                            &= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
+                        \end{align*}
+                    \end{minipage}%
+                    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+                        \centering
+                        Über ZV
+                        \begin{gather*}
+                            P(A) = P_X(4) = \cdots
+                        \end{gather*}
+                    \end{minipage}
+                \end{lightgrayhighlightbox}
+            \end{minipage}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
+
+    \vspace*{-18mm}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
+            \vspace*{-6mm}
+            \begin{columns}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{align*}
+                    \overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
+                    &= \sum_{n:x_n \le x}
+                    \overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
+                    &= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
+                \end{align*}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{lightgrayhighlightbox}
+                    Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
+                    \begin{gather*}
+                        X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
+                    \end{gather*}
+                    \vspace*{-10mm}
+                    \begin{figure}[H]
+                        \centering
+                        \begin{tikzpicture}
+                            \begin{axis}[
+                                    xmin=2,xmax=12,
+                                    ymin=-0.2,ymax=1.2,
+                                    xlabel=$x$,
+                                    ylabel=$F_X(x)$,
+                                    width=12cm,
+                                    height=5cm,
+                                ]
+                                \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                                coordinates
+                                {
+                                    (2 , 0.02777)
+                                    (3 , 0.02777)
+                                    (3 , 0.08333)
+                                    (4 , 0.08333)
+                                    (4 , 0.16666)
+                                    (5 , 0.16666)
+                                    (5 , 0.27777)
+                                    (6 , 0.27777)
+                                    (6 , 0.41666)
+                                    (7 , 0.41666)
+                                    (7 , 0.58333)
+                                    (8 , 0.58333)
+                                    (8 , 0.72222)
+                                    (9 , 0.72222)
+                                    (9 , 0.83333)
+                                    (10 , 0.83333)
+                                    (10, 0.91666)
+                                    (11, 0.91666)
+                                    (11, 0.97222)
+                                    (12, 0.97222)
+                                    (12, 1.00000)
+                                };
+                            \end{axis}
+                        \end{tikzpicture}
+                    \end{figure}
+                    \vspace*{-10mm}
+                \end{lightgrayhighlightbox}
+            \end{columns}
+        \pause \item Einige Kenngrößen von Verteilungen
+            \vspace*{2mm}
+            \begin{columns}[t]
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \textbf{Erwartungswert}
+                \begin{gather*}
+                    E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
+                \end{gather*}%
+                \vspace*{-8mm}%
+                \begin{align*}
+                    E(X + b) &= E(X) + b\\
+                    E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
+                    E(aX) &= aE(X)
+                \end{align*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \textbf{Varianz}
+                \begin{gather*}
+                    V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
+                \end{gather*}%
+                \vspace*{-8mm}
+                \begin{align*}
+                    V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
+                    V(aX) &= a^2 V(x)\\
+                    V(X+b) &= V(X)
+                \end{align*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \textbf{$p$-Quantil}
+                \begin{gather*}
+                    x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
+                    \le x) \ge p \mright\}
+                \end{gather*}
+                \vspace*{-8mm}
+                \begin{gather*}
+                    p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
+                    \equiv \text{``Median''}
+                \end{gather*}
+            \end{columns}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Theorie Wiederholung}
 
@@ -523,7 +691,8 @@
 %     beobachtet. Der Fehler tritt
 %     mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
 %     eingetreten sind und mit der
-%     Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+%     Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch
+$B$ eingetreten
 %     sind. In allen anderen
 %     Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
 %
@@ -587,7 +756,8 @@
 %     beobachtet. Der Fehler tritt
 %     mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
 %     eingetreten sind und mit der
-%     Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
+%     Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch
+$B$ eingetreten
 %     sind. In allen anderen
 %     Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
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