770 lines
26 KiB
TeX
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TeX
\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
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\else
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\fi
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%
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%
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% CEL Template
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%
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%
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\newcommand{\templates}{preambles}
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\input{\templates/packages.tex}
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\input{\templates/macros.tex}
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\grouplogo{CEL_logo.pdf}
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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\groupnamewidth{80mm}
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\fundinglogos{}
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%
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%
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% Custom commands
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%
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%
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\input{lib/latex-common/common.tex}
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\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
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\newcommand{\res}{src/2025-12-05/res}
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
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% \captionsetup[sub]{font=small}
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%
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%
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% Document setup
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%
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%
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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|
%\tikzexternalize[prefix=build/]
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usepgfplotslibrary{fillbetween}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{bbm}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{xcolor}
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\title{WT Tutorium 3}
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\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
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\date[]{5. Dezember 2025}
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%
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%
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% Document body
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%
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%
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\begin{document}
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\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
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\titlepage
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Aufgabe 1}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
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\vspace*{-10mm}
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\begin{itemize}
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|
\item Zufallsvariablen (ZV)
|
|
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{gather*}
|
|
\text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
|
|
$\Omega$} \\[1cm]
|
|
X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
|
|
\underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
|
|
P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\hspace*{15mm}%
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
|
\begin{gather*}
|
|
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
|
|
X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
|
|
, 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
|
|
\underbrace{\left\{2,3,
|
|
\ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
|
|
\end{gather*}\\
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
A = \text{\normalfont``Die Summe der
|
|
Augenzahlen ist 4''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
Direkter Weg
|
|
\begin{align*}
|
|
P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
|
|
(3,1) \mright\}) \\
|
|
&= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
|
|
&= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
Über ZV
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(A) = P_X(4) = \cdots
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
|
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|
|
\vspace*{-18mm}
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|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{align*}
|
|
\overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
|
|
&= \sum_{n:x_n \le x}
|
|
\overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
|
|
&= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
|
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
|
\begin{gather*}
|
|
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=2,xmax=12,
|
|
ymin=-0.2,ymax=1.2,
|
|
xlabel=$x$,
|
|
ylabel=$F_X(x)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(2 , 0.02777)
|
|
(3 , 0.02777)
|
|
(3 , 0.08333)
|
|
(4 , 0.08333)
|
|
(4 , 0.16666)
|
|
(5 , 0.16666)
|
|
(5 , 0.27777)
|
|
(6 , 0.27777)
|
|
(6 , 0.41666)
|
|
(7 , 0.41666)
|
|
(7 , 0.58333)
|
|
(8 , 0.58333)
|
|
(8 , 0.72222)
|
|
(9 , 0.72222)
|
|
(9 , 0.83333)
|
|
(10 , 0.83333)
|
|
(10, 0.91666)
|
|
(11, 0.91666)
|
|
(11, 0.97222)
|
|
(12, 0.97222)
|
|
(12, 1.00000)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
\end{columns}
|
|
\pause
|
|
\item Einige Kenngrößen von Verteilungen
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Erwartungswert}
|
|
\begin{gather*}
|
|
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-8mm}%
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X + b) &= E(X) + b\\
|
|
E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
|
|
E(aX) &= aE(X)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Varianz}
|
|
\begin{gather*}
|
|
V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\begin{align*}
|
|
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
|
|
V(aX) &= a^2 V(x)\\
|
|
V(X+b) &= V(X)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{$p$-Quantil}
|
|
\begin{gather*}
|
|
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
|
|
\le x) \ge p \mright\}
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-8mm}
|
|
\begin{gather*}
|
|
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
|
|
\equiv \text{``Median''}
|
|
\end{gather*}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Beispiele von Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-18mm}
|
|
|
|
\begin{columns}[t]
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Bernoulli Verteilung}\\
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
$X$ kann nur die Werte $0$ oder $1$\\ annehmen
|
|
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
|
\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Bernoulli}(p)
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P(X=0) = 1-p, \hspace{5mm} P(X=1) = p
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= p\\
|
|
V(X) &= p(1-p)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Binomialverteilung}\\
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
$X\equiv$ ``Zählen der Treffer bei $N$ unabhängigen Versuchen''
|
|
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
|
\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Bin}(N,p)
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{1-k}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= Np\\
|
|
V(X) &= Np(1-p)
|
|
\end{align*}
|
|
\column{\kittwocolumns}
|
|
\centering
|
|
\textbf{Poisson Verteilung}\\
|
|
\vspace*{10mm}
|
|
Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit $pN=\text{const.}=: \lambda$
|
|
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
|
\begin{gather*}
|
|
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{gather*}
|
|
P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(X) &= \lambda\\
|
|
V(X) &= \lambda
|
|
\end{align*}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
|
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{greenblock}{Binomialverteilung}
|
|
adsf
|
|
\end{greenblock}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
% \begin{frame}
|
|
% \frametitle{Zusammenfassung}
|
|
%
|
|
% \begin{columns}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \end{columns}
|
|
% \begin{columns}
|
|
% \column{\kitonecolumn}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \column{\kitonecolumn}
|
|
% \end{columns}
|
|
% \end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-10mm}
|
|
|
|
Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
|
|
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
|
|
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
|
|
der Wahrscheinlichkeit
|
|
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
|
|
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
|
|
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
|
|
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
|
|
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
|
|
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
|
|
\item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
|
|
Zufallsvariablen $R$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
\textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den
|
|
bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.}
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
|
|
Landstraße und über die
|
|
Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
|
|
Autofahrer auf der Landstraße bzw.
|
|
auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
|
|
liegt bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei
|
|
$p_\text{A} = 0{,}3$.
|
|
|
|
\vspace*{5mm}
|
|
|
|
\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
|
|
an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
|
|
\item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
|
|
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
|
|
Autofahrer innerhalb eines Jahres?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-16mm}
|
|
|
|
Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
|
|
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
|
|
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
|
|
der Wahrscheinlichkeit
|
|
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
|
|
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
|
|
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
|
|
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
\Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
|
|
R \sim \text{Bin}(N=6, p=0{,}2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1{,}2
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
|
|
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
|
|
\pause \begin{gather*}
|
|
P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^3 \approx 0{,}0819
|
|
\end{gather*}
|
|
\vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
|
|
Zufallsvariablen $R$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
|
|
\pause
|
|
\begin{columns}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{gather*}
|
|
F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
|
|
\binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
|
|
\end{gather*}
|
|
\begin{table}
|
|
\begin{tabular}{c|ccccccc}
|
|
$r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
|
|
$F_R(r)$ & $0{,}262$ & $0{,}655$ & $0{,}901$ &
|
|
$0{,}983$ & $0{,}998$ & $0{,}999$ & $1$
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
\column{\kitthreecolumns}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}[
|
|
xmin=0,xmax=6,
|
|
ymin=-0.2,ymax=1.2,
|
|
xlabel=$r$,
|
|
ylabel=$F_R(r)$,
|
|
width=12cm,
|
|
height=5cm,
|
|
]
|
|
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
coordinates
|
|
{
|
|
(0,0.262)
|
|
(1,0.262)
|
|
(1,0.655)
|
|
(2,0.655)
|
|
(2,0.901)
|
|
(3,0.901)
|
|
(3,0.983)
|
|
(4,0.983)
|
|
(4,0.998)
|
|
(5,0.998)
|
|
(5,0.999)
|
|
(6,0.999)
|
|
(6,1)
|
|
};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{columns}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
|
|
|
\vspace*{-16mm}
|
|
|
|
Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
|
|
Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
|
|
dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
|
|
Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
|
|
bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0{,}3$.
|
|
|
|
\vspace*{2mm}
|
|
|
|
\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
|
|
|
|
% tex-fmt: off
|
|
\begin{enumerate}[a{)}]
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
|
|
an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
|
|
\pause\begin{gather*}
|
|
R := A + L
|
|
\end{gather*}%
|
|
\vspace*{-14mm}%
|
|
\begin{align*}
|
|
P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}56 \\
|
|
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
|
|
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}06
|
|
\end{align*}
|
|
\vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
|
|
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
|
|
Autofahrer innerhalb eines Jahres?
|
|
\end{enumerate}
|
|
% tex-fmt: on
|
|
|
|
\vspace*{-6mm}
|
|
|
|
\pause
|
|
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{align*}
|
|
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
|
|
E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0{,}38 +
|
|
2\cdot 0{,}06\right]\\[2mm]
|
|
&= 200\cdot 0{,}5 = 100
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\begin{minipage}{0.06\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}%
|
|
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{align*}
|
|
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
|
|
E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
|
|
\text{Bin}(N=200, p=0{,}3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
|
|
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200, p=0{,}2)}\Big)\\[2mm]
|
|
&= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
|
|
E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
|
|
&= 200\cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}2 = 100
|
|
\end{align*}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\section{Aufgabe 2}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
|
|
|
% \begin{frame}
|
|
% \frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit}
|
|
%
|
|
% \begin{itemize}
|
|
% \item Erweiterte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \pause
|
|
% \item Unabhängigkeit
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm}
|
|
% \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B)
|
|
% \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A)
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{itemize}
|
|
% \end{frame}
|
|
%
|
|
% \begin{frame}
|
|
% \frametitle{Zusammenfassung}
|
|
%
|
|
% \begin{columns}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \end{columns}
|
|
% \begin{columns}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \column{\kitthreecolumns}
|
|
% \begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen}
|
|
% \vspace*{-6mm}
|
|
% \begin{gather*}
|
|
% P(AB) = P(A) P(B)
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{greenblock}
|
|
% \end{columns}
|
|
% \end{frame}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\subsection{Aufgabe}
|
|
|
|
% \begin{frame}
|
|
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
|
%
|
|
% \vspace*{-18mm}
|
|
%
|
|
% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
|
|
% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
|
|
% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
|
% sind bekannt:
|
|
% \begin{itemize}
|
|
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
|
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
|
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
|
% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
|
% \end{itemize}
|
|
%
|
|
% % tex-fmt: off
|
|
% \begin{enumerate}[a{)}]
|
|
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
% Fehler $B$ und dafür, dass ein
|
|
% Werkstück fehlerfrei ist.
|
|
% \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
|
% es auch Fehler $A$?
|
|
% \end{enumerate}
|
|
% % tex-fmt: on
|
|
%
|
|
% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
|
% beobachtet. Der Fehler tritt
|
|
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
|
% eingetreten sind und mit der
|
|
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
|
% sind. In allen anderen
|
|
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
|
%
|
|
% % tex-fmt: off
|
|
% \begin{enumerate}[a{)}]
|
|
% \setcounter{enumi}{2}
|
|
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
% Fehler $C$.
|
|
% \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
|
% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
|
|
% \end{enumerate}
|
|
% % tex-fmt: on
|
|
% \end{frame}
|
|
%
|
|
% \begin{frame}
|
|
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
|
%
|
|
% \vspace*{-10mm}
|
|
%
|
|
% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
|
|
% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
|
|
% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
|
% sind bekannt:
|
|
% \begin{itemize}
|
|
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
|
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
|
% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
|
% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
|
% \end{itemize}
|
|
%
|
|
% % tex-fmt: off
|
|
% \begin{enumerate}[a{)}]
|
|
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
% Fehler $B$ und dafür, dass ein
|
|
% Werkstück fehlerfrei ist.
|
|
% \pause\begin{gather*}
|
|
% P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
|
|
% \end{gather*}\pause
|
|
% \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
|
|
% P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
|
% es auch Fehler $A$?
|
|
% \pause\begin{gather*}
|
|
% \left. \begin{array}{l}
|
|
% P(AB) = 0.01 \\
|
|
% P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
|
|
% \end{array}\right\}
|
|
% \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
|
|
% \end{gather*}
|
|
% \end{enumerate}
|
|
% % tex-fmt: on
|
|
% \end{frame}
|
|
%
|
|
% \begin{frame}
|
|
% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
|
|
%
|
|
% \vspace*{-13mm}
|
|
%
|
|
% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
|
% beobachtet. Der Fehler tritt
|
|
% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
|
% eingetreten sind und mit der
|
|
% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
|
% sind. In allen anderen
|
|
% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
|
%
|
|
% % tex-fmt: off
|
|
% \begin{enumerate}[a{)}]
|
|
% \setcounter{enumi}{2}
|
|
% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
|
|
% Fehler $C$.
|
|
% \pause\begin{align*}
|
|
% P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
|
|
% + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
|
|
% + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
|
|
% &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
|
|
% \end{align*}
|
|
% \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
|
% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
|
|
% \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
% \centering
|
|
% \begin{align*}
|
|
% P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
|
|
% P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
|
|
% &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
|
|
% &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
|
|
% P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
|
|
% \end{align*}
|
|
% \end{minipage}%
|
|
% \hspace*{-10mm}
|
|
% \begin{minipage}{0.06\textwidth}
|
|
% \centering
|
|
% \begin{tikzpicture}
|
|
% \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm);
|
|
% \end{tikzpicture}
|
|
% \end{minipage}%
|
|
% \begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
|
% \centering
|
|
% \begin{align*}
|
|
% P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
|
|
% P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
|
|
% + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
|
|
% &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
|
|
% P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
|
|
% \end{align*}
|
|
% \end{minipage}
|
|
% \end{enumerate}
|
|
% % tex-fmt: on
|
|
% \end{frame}
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|