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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\usepackage{xcolor}

\title{WT Tutorium 4}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{19. Dezember 2025}

%
%
% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Stetige Zufallsvariablen}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{lightgrayhighlightbox}
        Erinnerung: Diskrete Zufallsvariablen
        \begin{align*}
            \text{\normalfont Verteilung: }& P_X(x) = P(X = x) \\
            \text{\normalfont Verteilungsfunktion: }& F_X(x) = P(X \le x) =
            \sum_{n: x_n \le y} P_X(x)
        \end{align*}
        \vspace{-10mm}
    \end{lightgrayhighlightbox}

    \begin{columns}[t]
        \pause\column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \begin{itemize}
            \item Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer stetiger ZV
                \begin{gather*}
                    F_X(x) = P(X \le x) \\[5mm]
                    \text{Eigenschaften:} \\[3mm]
                    \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0 \\
                    \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1 \\
                    x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2)\\
                    \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(x + h) = F_X(x)
                \end{gather*}
        \end{itemize}
        \pause\column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \begin{itemize}
            \item Wahrscheinlichkeitsdichte $f_X(x)$ einer stetiger ZV
                \begin{gather*}
                    F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du \\[5mm]
                    \text{Eigenschaften:} \\[3mm]
                    f_X(x) \ge 0 \\
                    \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1
                \end{gather*}
        \end{itemize}
    \end{columns}
\end{frame}

% TODO: Write this
\begin{frame}
    \frametitle{TODO}

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \begin{columns}[c]
        \column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (kontinuierlich)}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                F_X(x) = P(X \le x)\\[8mm]
                \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0 \\
                \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1 \\
                x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2)\\
                \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(x + h) = F_X(x)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \centering
        \begin{greenblock}{Wahrscheinlichkeitsdichte \phantom{()}}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du \\[5mm]
                f_X(x) \ge 0 \\
                \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        %TODO: Rename this
        \begin{greenblock}{TODO}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a) \\[2mm]
                E(X) = \int_{-\infty}^{x} u f_X(u) du
            \end{gather*}
        \end{greenblock}

    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}

    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte

    % tex-fmt: off
    \begin{align*}
        f_X (x) =  \left\{
            \begin{array}{ll}
                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
                0, &\text{sonst}
            \end{array}
            \right.
    \end{align*}
    % tex-fmt: on

    mit dem Parameter $a > 0$.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
            erfüllen?
        \item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
        \item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}

    \vspace*{-15mm}

    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte

    % tex-fmt: off
    \begin{align*}
        f_X (x) =  \left\{
            \begin{array}{ll}
                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
                0, &\text{sonst}
            \end{array}
            \right.
    \end{align*}
    % tex-fmt: on

    mit dem Parameter $a > 0$.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
            \pause\begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{align*}
                    \text{Eigenschaften:} \hspace{5mm}
                    \left\{
                    \begin{array}{rl}
                        f_X(x) &\ge 0 \\[3mm]
                        \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= 1
                    \end{array}
                    \right.
                \end{align*}
                \pause\begin{gather*}
                    \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx
                    = \int_{-\infty}^{\infty} C\cdot x e^{-ax^2} dx
                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (-2ax) e^{-ax^2} dx  \\
                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-ax^2})' dx
                    = \frac{C}{-2a} \mleft[ e^{-ax^2} \mright]_0^{\infty} \overset{!}{=} 1 \hspace{10mm} \Rightarrow C = 2a
                \end{gather*}
                \centering
                \column{\kitthreecolumns}
                \pause \begin{align*}
                    f_X(x) =
                    \left\{
                        \begin{array}{ll}
                            2ax \cdot e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
                            0, & \text{sonst}
                        \end{array}
                    \right.
                \end{align*}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \begin{tikzpicture}
                        \begin{axis}[
                            domain=0:5,
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                            samples=100,
                            xlabel={$x$},
                            ylabel={$f_X(x)$},
                        ]
                            \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                                {x * exp(-0.5*x*x)};
                                % {x *exp(-a*x*x)};
                        \end{axis}
                    \end{tikzpicture}
                \end{figure}
            \end{columns}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}

    \vspace*{-20mm}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
            erfüllen?
            \pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
                \column{\kitonecolumn}
                \column{\kittwocolumns}
                \centering
                \begin{gather*}
                    \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0\\
                    \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1
                \end{gather*}
                \column{\kittwocolumns}
                \centering
                \begin{gather*}
                    x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
                    F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
                    \hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
                \end{gather*}
                \column{\kitonecolumn}
            \end{columns}
        \pause\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
        \begin{gather*}
            f_X(x) = 2ax\cdot e^{-ax^2}, \hspace{5mm} x\ge 0
        \end{gather*}
        \pause \vspace*{-6mm}\begin{gather*}
            F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
            = \left\{ \begin{array}{ll}
                    \displaystyle\int_{0}^{x} 2au\cdot e^{-au^2} du, & x\ge 0 \\
                    0, & x < 0
                \end{array} \right.
            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
                    \mleft[ -e^{-au^2} \mright]_0^{x}, & x\ge 0 \\
                    0, & x < 0
                \end{array} \right.
            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
                    1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
                    0, & x < 0
                \end{array} \right.
        \end{gather*}
        \pause\begin{figure}[H]
            \centering

            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    domain=0:5,
                    width=14cm,
                    height=5cm,
                    xlabel={$x$},
                    ylabel={$F_X(x)$},
                ]
                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                        {1 - exp(-0.5 * x*x)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
        \vspace*{-3mm}
        \pause\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
            \pause \begin{gather*}
                P(\mleft\{ \omega: 1 < X(\omega) \le 2 \mright\})
                = P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: off
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{sasdf}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}

    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
        \item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der Mittelwert
            $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt). Wie groß ist
            jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}

    \vspace*{-10mm}

    In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
    hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
    verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
    gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
    Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
    Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
    Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
    $S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
            \begin{columns}[c]
            \column{\kitthreecolumns}
            \centering
            \pause \begin{gather*}
                X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
            \end{gather*}
            \begin{align*}
                P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
                        \cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
                     &= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
                     &= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
                     &\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
                     &= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
            \end{align*}
            \column{\kitthreecolumns}
            \centering
            \pause\begin{figure}[H]
                \centering

                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        domain=4.6:5.3,
                        xmin=4.7, xmax=5.3,
                        width=14cm,
                        height=6cm,
                        xlabel={$x$},
                        ylabel={$F_X (x)$},
                        samples=100,
                        xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
                    ]
                        \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                            {1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};

                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
                        \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
                        \node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
                        \node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};

                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{figure}
        \end{columns}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}

    \vspace*{-18mm}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
            dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
            werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
            \pause\begin{gather*}
                P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
            \end{gather*}
            \vspace*{-18mm}
            \begin{columns}
                \pause\column{\kitthreecolumns}
                \centering
                \begin{align*}
                    P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
                        + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
                    &= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
                        + P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
                    &= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
                        + \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
                    &= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
                \end{align*}
                \pause\column{\kitthreecolumns}
                \centering
                \begin{gather*}
                    2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
                    \Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
                    \Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
                    \approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
                \end{gather*}
            \end{columns}
        \pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
            Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
            Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
            \pause \begin{align*}
                P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
                    + P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
                &\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
                & = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\end{document}

