\ifdefined\ishandout
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\documentclass[de]{CELbeamer}
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% CEL Template
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
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% Document setup
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\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
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\usepackage{listings}
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\title{WT Tutorium 5}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{16. Januar 2026}

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% Custom commands
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\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}

\newlength{\depthofsumsign}
\setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
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\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
    \mathop{
        \raisebox
        {-#1\depthofsumsign+1\depthofsumsign}
        {\scalebox
            {#1}
            {$\displaystyle\sum$}%
        }
    }
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}

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% Document body
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\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% TODO:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
    bzw. $\lambda_2$ gegeben.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
            zweier Zufallsvariablen.
        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
            charakteristischen Funktion.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    \vspace*{-3mm}

    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
    bzw. $\lambda_2$ gegeben.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
            zweier Zufallsvariablen.
            \pause\begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
                    = \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
                    = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
            \end{gather*}
            \pause\begin{align*}
                P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
                = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!}
            \end{align*}
            \vspace*{-4mm}
            \pause\begin{align*}
                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
                    \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
                    \frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
                    \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
                = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
                    ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
                    =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\[6mm]
                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
            charakteristischen Funktion.
            \pause\begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
                    \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda_1 (e^{js} -1)\right)
                \hspace{30mm}
                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
                    \phi_Y(s) = \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right)
            \end{gather*}
            \vspace*{-5mm}
            \pause\begin{align*}
                \phi_Z(s) &= \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s) \\
                &= \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \cdot
                    \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \\
                &= \text{exp}\left((\lambda_1 + \lambda_2) (e^{js} -1)\right) \\[4mm]
                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% TODO:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
            Transformationssatzes.
        \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
        \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
            Transformationssatzes.
            \pause\begin{align*}
                f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy
                    = x + 0{,}5 \\
                f(y) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx
                    = y + 0{,}5
            \end{align*}
        \pause \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
            \pause\begin{align*}
            \end{align*}
        \pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
            \pause\begin{align*}
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

\end{frame}

\end{document}