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\documentclass[de]{CELbeamer}
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\title{WT Tutorium 5}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{16. Januar 2026}

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\newcommand{\res}{src/2026-01-16/res}

\newlength{\depthofsumsign}
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\newcommand{\nsum}[1][1.4]{
    \mathop{
        \raisebox
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        {\scalebox
            {#1}
            {$\displaystyle\sum$}%
        }
    }
}

% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}

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% Document body
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\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Summen Unabhängiger Zufallsvariablen}

    \begin{gather*}
        Z = X + Y, \hspace{10mm}X,Y \text{ unabhängig} \\[4mm]
        \begin{array}{rl}
            \text{Faltungssatz (diskret): } & P_Z(n) =
            \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k) \\[2mm]
            \text{Charakteristische Funktion: } & \phi_Z(s) = \phi_X(s)
            \cdot \phi_Y(s)
        \end{array}
    \end{gather*}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Poisson-Verteilung}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit
            $pN=\text{const.}=: \lambda$ \\
            \begin{itemize}
                \item ``Übergang von diskreter auf stetige
                    Zeitachse bei fester mittlerer Rate'' \\
                \item $\lambda \equiv$ ``mittlere Rate an Treffern
                    pro Zeitabschnitt''
            \end{itemize}
        \item Beispiele
            \begin{itemize}
                \item Sternschnuppen pro Stunde
                \item Anzahl an Websitebesuchern pro Minute
            \end{itemize}
    \end{itemize}

    \pause
    \begin{gather*}
        X \sim \text{Poisson}(\lambda)
    \end{gather*}
    \vspace*{-2mm}
    \begin{gather*}
        P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\[2mm]
        \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda (e^{js} -1)\right)
    \end{gather*}
    \vspace*{-2mm}
    \begin{align*}
        E(X) &= \lambda\\
        V(X) &= \lambda
    \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \vspace*{-20mm}

    \begin{columns}[t]
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Poisson-Verteilung}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda) \\[3mm]
                P_X(k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} \\[4mm]
                \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda (e^{js} -1)\right)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Binomialentwicklung}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \nsum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^k b^{n-k} = (a+b)^n, \hspace{15mm}
                \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k!)k!}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Faltungssatz (diskrete ZV)}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                Z = X + Y, \hspace{10mm}X,Y \text{ unabhängig} \\[3mm]
                P_Z(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Charakteristische Funktion einer Summe von ZV}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                Z = X + Y, \hspace{10mm}X,Y \text{ unabhängig} \\[3mm]
                \phi_Z(s) = \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
    bzw. $\lambda_2$ gegeben.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
            zweier Zufallsvariablen.
        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
            charakteristischen Funktion.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    \vspace*{-3mm}

    Es seien zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X$ und
    $Y$ mit den Parametern $\lambda_1$
    bzw. $\lambda_2$ gegeben.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Zeigen Sie, dass die Summe $Z = X + Y$ ebenfalls
            Poisson-verteilt ist mit dem Parameter $\lambda = \lambda_1 +
            \lambda_2$. Nutzen Sie dazu den Faltungssatz für die Addition
            zweier Zufallsvariablen.
            \pause\begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_X(k)
                    = \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!} \hspace{30mm}
                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm} P_Y(k)
                    = \frac{\lambda_2^k \cdot e^{-\lambda_2}}{k!}
            \end{gather*}
            \pause\begin{align*}
                P_Z(n) &= P_{X+Y}(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
                = \nsum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \cdot e^{-\lambda_1}}{k!}
                    \cdot \frac{\lambda_2^{n-k} \cdot e^{-\lambda_2}}{(n-k)!}
            \end{align*}
            \vspace*{-4mm}
            \pause\begin{align*}
                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \nsum_{k=0}^{n}
                    \frac{1}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
                    \frac{n!}{k! (n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \\[3mm]
                &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \nsum_{k=0}^{n}
                    \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}
                = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}
                    ( \lambda_1 + \lambda_2 )^n
                    =: \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\[6mm]
                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1:\\Faltungssatz \& Charakteristische Funktion}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Erbringen Sie denselben Nachweis mithilfe der
            charakteristischen Funktion.
            \pause\begin{gather*}
                X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
                    \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda_1 (e^{js} -1)\right)
                \hspace{30mm}
                Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \hspace{3mm}
                    \Leftrightarrow \hspace{3mm}
                    \phi_Y(s) = \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right)
            \end{gather*}
            \vspace*{-5mm}
            \pause\begin{align*}
                \phi_Z(s) &= \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s) \\
                &= \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \cdot
                    \text{exp}\left(\lambda_2 (e^{js} -1)\right) \\
                &= \text{exp}\left((\lambda_1 + \lambda_2) (e^{js} -1)\right) \\[4mm]
                & \hspace*{-15mm}\Rightarrow Z \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Mehrdimensionale Zufallsvariablen}

    \vspace*{-20mm}

    \begin{columns}[t]
        \column{\kitfourcolumns}
        \begin{itemize}
            \item Randdichte
                \begin{align*}
                    f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy
                \end{align*}
        \end{itemize}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{figure}[H]
            \centering

            \begin{tikzpicture}[
                    /pgfplots/scale only axis,
                    /pgfplots/width=5cm,
                    /pgfplots/height=5cm
                ]

                \begin{axis}[
                        name=main axis,
                        view={0}{90},
                        ticks=none,
                        xlabel={$x$},ylabel={$y$},
                    ]
                    \addplot3[
                        surf, shader=interp,
                        samples=40,
                        domain=-3:3, y domain=-3:3
                    ]
                    {1/(2*pi*sqrt(0.5)) * exp(-1/(2*(1 -
                    sqrt(0.5))) * (x^2 -2*sqrt(0.5)*x*y + y^2) )};
                \end{axis}

                \node[below] at
                ($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$) {$f_{X,Y}(x,y)$};

                \begin{axis}[
                        anchor=south west,
                        at=(main axis.north west),
                        height=2cm,
                        ticks=none,
                        ylabel={$f_X(x)$},
                        samples=50,
                        domain=-3:3,
                        xmin=-3,xmax=3,
                    ]
                    \addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
                    exp(-x^2/2)};
                \end{axis}

                \begin{axis}[
                        anchor=north west,
                        at=(main axis.north east),
                        width=2cm,
                        ticks=none,
                        xlabel={$f_Y(y)$},
                        samples=50,
                        domain=-3:3,
                        ymin=-3,ymax=3,
                    ]
                    \addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
                    * exp(-x^2/2)}, {x} );
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
    \end{columns}

    \pause
    \vspace*{-45mm}
    \begin{columns}
        \column{\kitfourcolumns}
        \begin{itemize}
            \item Umrechnung von Dichten mit dem Transformationssatz
                \begin{gather*}
                    X = h_1(U,V), \hspace{5mm} Y = h_2(U,V) \\[5mm]
                    \mathcal{J} =
                    \begin{pmatrix}
                        \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                        \partial u}x & \frac{\displaystyle
                        \partial}{\displaystyle \partial v}x  \\[3mm]
                        \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                        \partial u}y & \frac{\displaystyle
                        \partial}{\displaystyle \partial v}y
                    \end{pmatrix}
                    =
                    \begin{pmatrix}
                        \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                        \partial u}h_1(u,v) & \frac{\displaystyle
                        \partial}{\displaystyle \partial v}h_1(u,v)  \\[3mm]
                        \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                        \partial u}h_2(u,v) & \frac{\displaystyle
                        \partial}{\displaystyle \partial v}h_2(u,v)
                    \end{pmatrix} \\[5mm]
                    f_{U,V}(u,v) = \lvert
                    \text{det}(\mathcal{J}) \rvert
                    \cdot f_{X,Y} \big(h_1(u,v),h_2(u,v)\big)
                \end{gather*}
        \end{itemize}
        \column{\kittwocolumns}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Unabhängigkeit \& Korrelation I}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Unabhängige ZV (stetig)
            \begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{align*}
                    X,Y \text{ unabhängig}
                    \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm}
                    f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)
                \end{align*}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Erinnerung: Unabhängige Ereignisse
                    \begin{align*}
                        X,Y \text{ \normalfont unabhängig}
                        \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm}
                        P(AB) = P(A)P(B)
                    \end{align*}
                    \vspace*{-13mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
            \pause
        \item Kovarianz
            \begin{columns}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{align*}
                    \text{cov}(X,Y) &= E\bigg( \big(X - E(X)\big) \big(Y
                    - E(Y)\big) \bigg) \\
                    &= E(XY) - E(X)E(Y)
                \end{align*}
                \column{\kitthreecolumns}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Erinnerung: Varianz
                    \begin{align*}
                        V(X) = E\big( \left(X - E(X)\right)^2 \big) = E(X^2) - E^2(X)
                    \end{align*}
                    \vspace*{-13mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{columns}
        \item Korrelation
            \begin{align*}
                E(XY)
            \end{align*}
            \pause
        \item Korrelationskoeffizient
            \begin{align*}
                \rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}
                \hspace{25mm} \rho_{XY} = 0
                \hspace{2mm}\Leftrightarrow\hspace{2mm}
                E(XY) = E(X)E(Y)
            \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Unabhängigkeit \& Korrelation II}

    \vspace*{-15mm}

    \begin{itemize}
        \item Korrelation misst einen linearen Zusammenhang zwischen zwei ZV.\\
            Unabhängigkeit gibt an ob zwei ZV ``überhaupt zusammenhängen''
            \begin{align*}
                \hspace{5mm} X,Y \text{ unabhängig}
                \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}
                X,Y \text{ unkorreliert}
            \end{align*}
        \item Bei gemeinsam normalverteilten ZV gilt zusätzlich
            \begin{align*}
                \hspace{5mm} X,Y \text{ unkorreliert}
                \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}
                X,Y \text{ unabhängig}
            \end{align*}
            \vspace*{5mm}
            \pause
        \item Korrelation und Unabhängigkeit haben nichts mit den
            Einzelverteilungen zu tun. Sie sind ``eine Ebene höher''
            \begin{figure}[H]
                \centering

                \begin{subfigure}{0.32\textwidth}
                    \begin{tikzpicture}[
                            /pgfplots/scale only axis,
                            /pgfplots/width=3.5cm,
                            /pgfplots/height=3.5cm
                        ]

                        \begin{axis}[
                                name=main axis,
                                view={0}{90},
                                ticks=none,
                                xlabel={$x$},ylabel={$y$},
                            ]
                            \addplot3[
                                surf, shader=interp,
                                samples=40,
                                domain=-3:3, y domain=-3:3
                            ]
                            {1/(2*pi*sqrt(0.5)) * exp(-1/(2*(1 -
                            sqrt(0.5))) * (x^2 -2*sqrt(0.5)*x*y + y^2) )};
                        \end{axis}

                        \node[below] at
                        ($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$)
                        {$f_{X,Y}(x,y)$};

                        \begin{axis}[
                                anchor=south west,
                                at=(main axis.north west),
                                height=2cm,
                                ticks=none,
                                ylabel={$f_X(x)$},
                                samples=50,
                                domain=-3:3,
                                xmin=-3,xmax=3,
                            ]
                            \addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
                            exp(-x^2/2)};
                        \end{axis}

                        \begin{axis}[
                                anchor=north west,
                                at=(main axis.north east),
                                width=2cm,
                                ticks=none,
                                xlabel={$f_Y(y)$},
                                samples=50,
                                domain=-3:3,
                                ymin=-3,ymax=3,
                            ]
                            \addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
                            * exp(-x^2/2)}, {x} );
                        \end{axis}
                    \end{tikzpicture}
                \end{subfigure}%
                \begin{subfigure}{0.32\textwidth}
                    \begin{tikzpicture}[
                            /pgfplots/scale only axis,
                            /pgfplots/width=3.5cm,
                            /pgfplots/height=3.5cm
                        ]

                        \begin{axis}[
                                name=main axis,
                                view={0}{90},
                                ticks=none,
                                xlabel={$x$},ylabel={$y$},
                            ]
                            \addplot3[
                                surf, shader=interp,
                                samples=40,
                                domain=-3:3, y domain=-3:3
                            ]
                            {1/(2*pi) * exp(-1/2 * (x^2 + y^2) )};
                        \end{axis}

                        \node[below] at
                        ($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$)
                        {$f_{X,Y}(x,y)$};

                        \begin{axis}[
                                anchor=south west,
                                at=(main axis.north west),
                                height=2cm,
                                ticks=none,
                                ylabel={$f_X(x)$},
                                samples=50,
                                domain=-3:3,
                                xmin=-3,xmax=3,
                            ]
                            \addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
                            exp(-x^2/2)};
                        \end{axis}

                        \begin{axis}[
                                anchor=north west,
                                at=(main axis.north east),
                                width=2cm,
                                ticks=none,
                                xlabel={$f_Y(y)$},
                                samples=50,
                                domain=-3:3,
                                ymin=-3,ymax=3,
                            ]
                            \addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
                            * exp(-x^2/2)}, {x} );
                        \end{axis}
                    \end{tikzpicture}
                \end{subfigure}%
                \begin{subfigure}{0.32\textwidth}
                    \begin{tikzpicture}[
                            /pgfplots/scale only axis,
                            /pgfplots/width=3.5cm,
                            /pgfplots/height=3.5cm
                        ]

                        \begin{axis}[
                                name=main axis,
                                view={0}{90},
                                ticks=none,
                                xlabel={$x$},ylabel={$y$},
                            ]
                            \addplot3[
                                surf, shader=interp,
                                samples=40,
                                domain=-3:3, y domain=-3:3
                            ]
                            {1/(2*pi*sqrt(0.5)) * exp(-1/(2*(1 -
                            sqrt(0.5))) * (x^2 +2*sqrt(0.5)*x*y + y^2) )};
                        \end{axis}

                        \node[below] at
                        ($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$)
                        {$f_{X,Y}(x,y)$};

                        \begin{axis}[
                                anchor=south west,
                                at=(main axis.north west),
                                height=2cm,
                                ticks=none,
                                ylabel={$f_X(x)$},
                                samples=50,
                                domain=-3:3,
                                xmin=-3,xmax=3,
                            ]
                            \addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
                            exp(-x^2/2)};
                        \end{axis}

                        \begin{axis}[
                                anchor=north west,
                                at=(main axis.north east),
                                width=2cm,
                                ticks=none,
                                xlabel={$f_Y(y)$},
                                samples=50,
                                domain=-3:3,
                                ymin=-3,ymax=3,
                            ]
                            \addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
                            * exp(-x^2/2)}, {x} );
                        \end{axis}
                    \end{tikzpicture}
                \end{subfigure}
            \end{figure}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \vspace*{-20mm}

    \begin{columns}[t]
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Korrelationskoeffizient}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Kovarianz}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                \text{cov}(X,Y) = E(X Y) - E(X)E(Y)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Randdichte}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitfourcolumns}
        \begin{greenblock}{Umrechnung von Dichten mit dem Transformationssatz}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                X = h_1(U,V), \hspace{5mm} Y = h_2(U,V) \\[5mm]
                \mathcal{J} =
                \begin{pmatrix}
                    \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                    \partial u}x & \frac{\displaystyle
                    \partial}{\displaystyle \partial v}x  \\[3mm]
                    \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                    \partial u}y & \frac{\displaystyle
                    \partial}{\displaystyle \partial v}y
                \end{pmatrix}
                =
                \begin{pmatrix}
                    \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                    \partial u}h_1(u,v) & \frac{\displaystyle
                    \partial}{\displaystyle \partial v}h_1(u,v)  \\[3mm]
                    \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle
                    \partial u}h_2(u,v) & \frac{\displaystyle
                    \partial}{\displaystyle \partial v}h_2(u,v)
                \end{pmatrix} \\[5mm]
                f_{U,V}(u,v) = \lvert
                \text{det}(\mathcal{J}) \rvert
                \cdot f_{X,Y} \big(h_1(u,v),h_2(u,v)\big)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Erwartungswert \& Varianz}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{align*}
                V(X) &= E\big( (X - E(X))^2 \big) = E(X^2) - E^2(X) \\
                E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx \\
                E(g(X)) &= \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) dx
            \end{align*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
            Transformationssatzes.
        \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
            Dichte.\\
            \textit{Hinweis}: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
        \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    \vspace*{-15mm}

    Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
    Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
    $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
            Transformationssatzes.
            \pause\begin{gather*}
                \left.
                \begin{array}{l}
                    U := X \\
                    V := Z = X \cdot Y
                \end{array}
                \right\}
                \Rightarrow
                \left\{
                \begin{array}{l}
                    X = h_1(U,V) = U \\
                    Y = h_2(U,V) = \frac{V}{U}
                \end{array}
                \hspace{20mm}
                \left(\begin{array}{l}
                    0 < x \le 1 \Rightarrow 0 < u \le 1 \\
                    0 < y \le 1 \Rightarrow 0 < v \le u \le 1
                \end{array}
                \right)
                \right.
            \end{gather*}
            \vspace*{5mm}
            \pause\begin{gather*}
                \mathcal{J} = \begin{pmatrix}
                    \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}  \\[2mm]
                    \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
                \end{pmatrix}
                 = \begin{pmatrix}
                     1 & 0 \\
                     - \frac{v}{u^2} & \frac{1}{u}
                \end{pmatrix}
            \end{gather*}
            \begin{align*}
                f_{U,V}(u,v) &= \lvert \text{det}(\mathcal{J}) \rvert
                    \cdot f_{X,Y} \big(h_1(u,v),h_2(u,v)\big)
                    = \frac{1}{u} \cdot \left(u + \frac{v}{u}\right)
                = 1 + \frac{v}{u^2}, && \hspace*{-20mm} 0 < v \le u \le 1 \\[3mm]
            \end{align*}
            \vspace*{-22mm}
            \pause\begin{align*}
                f_V(v) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{U,V}(u,v) du
                    = \int_{v}^{1} 1 + \frac{v}{u^2} du
                    = \left[ u - \frac{v}{u} \right]_v^1
                    = 2(1-v), && \hspace*{-20mm} 0 < v \le 1
            \end{align*}
            \vspace{5mm}
            \pause\begin{gather*}
                f_Z(z) = \left\{\begin{array}{ll}
                    2(1-z) \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} 0 < z \le 1 \\
                    0 \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} \text{sonst}\\
                \end{array}\right.
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    \begin{minipage}[c]{0.64\textwidth}
        % tex-fmt: off
        \begin{enumerate}[a{)}]
            \setcounter{enumi}{1}
            \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
                Dichte.\\
                \textit{Hinweis}: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
        \end{enumerate}
        % tex-fmt: on
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
        \begin{lightgrayhighlightbox}
            \vspace*{-8mm}
            % tex-fmt: off
            \begin{gather*}
                \text{Bekannt: } \hspace{10mm} f_{X,Y}(x,y) = x + y
            \end{gather*}
            % tex-fmt: on
            \vspace*{-12mm}
        \end{lightgrayhighlightbox}
    \end{minipage}

    \pause
    \begin{align*}
        P(Z \le z) = \int_{-\infty}^{z} f_Z(t) dt
    \end{align*}

    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \pause
        \begin{figure}[H]
            \centering

            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        view={20}{30},
                        xlabel=$x$, ylabel=$y$, zlabel={$f_{X,Y}(x,y)$},
                        xmin=0, xmax=1, ymin=0, ymax=1, zmin=0, zmax=2,
                        xtick={0,0.5,1},ytick={0,0.5,1},ztick={0,1,2},
                        point meta min=0, point meta max=2,
                        declare function={cutoff(\x) = 0.3/\x;},
                        legend,
                    ]
                    \addplot3[
                        surf, shader=interp,
                        samples=40,
                        domain=0:1, y domain=0:1
                    ] (
                        x,
                        {y * min(1, cutoff(x))},
                        {x + (y * min(1, cutoff(x)))}
                    );
                    \addlegendentry{$x\cdot y \le z$}

                    \addplot3[
                        surf, shader=interp,
                        samples=40,
                        domain=0.3:1, y domain=0:1,
                        fill=gray,
                        draw=none,
                        point meta=1.1,
                        colormap name=cividis,
                    ] (
                        x,
                        {cutoff(x) + y*(1 - cutoff(x))},
                        {x + (cutoff(x) + y*(1 - cutoff(x)))}
                    );

                    \addplot3[
                        mesh,
                        samples=15,
                        domain=0:1, y domain=0:1,
                        draw=black,
                        opacity=0.3
                    ] {x + y};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.58\textwidth}
        \pause
        \begin{align*}
            P(Z \le z) &= P(XY \le z) = \int_{-\infty}^{\infty}
            \int_{-\infty}^{z/x} f_{X,Y}(x,y) dy dx
        \end{align*}
        \vspace*{-10mm}
        \pause
        \begin{align*}
            \overset{
                \begin{subarray}{l}
                    u = xy \\
                    du = xdy
            \end{subarray}}{=}
            &\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z} f_{X,Y}(x,
            \frac{u}{x})\frac{1}{x}\; du dx \\[2mm]
            = &\int_{-\infty}^{z}
            \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,
            \frac{u}{x})\frac{1}{x}\; dx}_{f_Z(u)}du \\
        \end{align*}
    \end{minipage}

    \pause
    \begin{gather*}
        0 < y \le 1 \hspace{5mm} \Rightarrow\hspace{5mm} 0 <
        \frac{u}{x} \le 1 \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm} 0 <
        u \le x \le 1 \\
        f_Z(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,
        \frac{u}{x})\frac{1}{x}\; dx
        = \int_{z}^{1} 1 + \frac{u}{x^2} dx = 2(1-u), \hspace{5mm} 0 < u \le 1
    \end{gather*}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}

    \vspace*{-15mm}

    \begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
        % tex-fmt: off
        \begin{enumerate}[a{)}]
            \setcounter{enumi}{2}
            \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$.
        \end{enumerate}
        % tex-fmt: on
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
        \begin{lightgrayhighlightbox}
            \vspace*{-8mm}
            % tex-fmt: off
            \begin{gather*}
                \text{Bekannt: } \hspace{10mm}
                \left\{\hspace{2mm}
                    \begin{array}{l}
                        f_{X,Y}(x,y) = x + y \\
                        f_{Z}(z) = 2(1-z), \hspace{10mm} Z = X\cdot Y
                    \end{array}
                    \right.
            \end{gather*}
            % tex-fmt: on
            \vspace*{-10mm}
        \end{lightgrayhighlightbox}
    \end{minipage}
    \vspace*{2mm}
    \pause
    \begin{gather*}
        \rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}},
        \hspace{15mm}
        \begin{array}{l}
            \text{cov}(X,Y) = \overbrace{E(XY)}^{E(Z)} - E(X)E(Y) \\
            V(X) = E(X^2) - E^2(X)
        \end{array},
        \hspace*{15mm}
        E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x) dx
    \end{gather*}
    \vspace*{5mm}
    \pause
    \begin{gather*}
        f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy
        = \int_{0}^{1} x + y dy
        = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = x + \frac{1}{2}
    \end{gather*}
    \vspace*{-3mm}
    \pause
    \begin{gather*}
        f(x,y) = f(y,x) \Rightarrow
        \left\{
            \begin{array}{l}
                E(X) = E(Y) \\
                V(X) = V(Y)
            \end{array}
            \right.
            \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}
            \rho_{XY} = \frac{E(Z) - E^2(X)}{E(X^2) - E^2(X)}
        \end{gather*}
        \vspace*{5mm}
        \pause
        \begin{gather*}
            \left.
            \begin{array}{rl}
                E(X) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx
                = \int_{0}^{1} x(x+ \frac{1}{2}) dx
                = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} \right]_0^1
                = \frac{7}{12} \\
                E(X^2) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}
                x^2 f_X(x) dx
                = \int_{0}^{1} x^2 (x + \frac{1}{2} ) dx
                = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{6} \right]_0^1
                = \frac{5}{12} \\
                E(Z) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z f_Z(z) dz
                = \int_{0}^{1} z \cdot 2(1-z) dz
                = 2 \left[ \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} \right]_0^1
                = \frac{1}{3}
            \end{array}
            \hspace{3mm}
        \right\}
        \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}
        \rho_{XY} = \frac{\frac{1}{3} - (\frac{7}{12})^2}{\frac{5}{12}
        - (\frac{7}{12})^2} = -\frac{1}{11}
    \end{gather*}
\end{frame}

\end{document}

