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\else
\documentclass[de]{CELbeamer}
\fi

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% CEL Template
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\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
\groupnamewidth{80mm}

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% Document setup
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% \ifdefined\ishandout\else
% \tikzexternalize
% \fi

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\usepackage{listings}
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\title{WT Tutorium 7}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{13. Februar 2026}

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% Custom commands
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\newcommand{\res}{src/2026-02-13/res}

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\newcommand{\nprod}[1][1.4]{
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% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
% \captionsetup[sub]{font=small}

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% Document body
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\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\ifdefined\ishandout
\begin{frame}
    \frametitle{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}

    \vspace*{-5mm}

    \begin{itemize}
        \item Einfache Stichprobe
            \begin{gather*}
                X_1, \ldots, X_N
                \hspace{2mm}\overbrace{\text{unabhängig und haben
                dieselbe Verteilung}}^{\text{``iid.''}}
                \hspace*{5mm} \rightarrow\hspace*{5mm}
                \bm{X} :=
                \begin{pmatrix}
                    X_1 \\
                    \vdots \\
                    X_N
                \end{pmatrix}
            \end{gather*}
    \end{itemize}

    \begin{figure}[H]
        \centering

        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering

            \begin{itemize}
                \item Wahrscheinlichkeitstheorie
            \end{itemize}
            \vspace*{2mm}
            \begin{tikzpicture}
                \node[
                    rectangle,
                    minimum width=7cm, minimum height=4cm,
                    line width=1pt,
                    draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
                ] (model) {
                    $\bm{X} =
                    \begin{pmatrix}
                        X_1 \\
                        \vdots \\
                        X_N
                    \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
                };

                \node[right=of model] (x) {
                    $\bm{x} =
                    \begin{pmatrix}
                        x_1 \\
                        \vdots \\
                        x_N
                    \end{pmatrix}$
                };

                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (x);
                \node[above=22mm of model.center] {Modell};
                \node[above=20.8mm of x.center] {Beobachtung};
            \end{tikzpicture}%
            \vspace*{15mm}
        \end{subfigure}%
        \vspace*{-12.6mm}%
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering

            \begin{itemize}
                \item Statistik
            \end{itemize}
            \begin{tikzpicture}
                \node[
                    rectangle,
                    minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
                    line width=1pt,
                    draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
                ] (real) {};

                \node[right=of real] (x) {
                    $\bm{x} =
                    \begin{pmatrix}
                        x_1 \\
                        \vdots \\
                        x_N
                    \end{pmatrix}$
                };

                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
                \node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
                \node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};

                \node[
                    rectangle,
                    minimum width=6.5cm, minimum height=3.5cm,
                    line width=1pt,
                    draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
                    densely dashed,
                ] (model) at (real) {
                    $\bm{X} =
                    \begin{pmatrix}
                        X_1 \\
                        \vdots \\
                        X_N
                    \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
                };

                \draw[
                    line width=1pt, densely dashed,
                ] (x.south)
                edge[-{Latex}, bend left]
                node[below] {Modellierung}
                (model.south);
            \end{tikzpicture}
            \vspace*{1mm}
        \end{subfigure}
    \end{figure}
\end{frame}
\else
\begin{frame}
    \frametitle{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}

    \vspace*{-5mm}

    \begin{itemize}
        \item Einfache Stichprobe
            \begin{gather*}
                X_1, \ldots, X_N
                \hspace{2mm}\overbrace{\text{unabhängig und haben
                dieselbe Verteilung}}^{\text{``iid.''}}
                \hspace*{5mm} \rightarrow\hspace*{5mm}
                \bm{X} :=
                \begin{pmatrix}
                    X_1 \\
                    \vdots \\
                    X_N
                \end{pmatrix}
            \end{gather*}
    \end{itemize}

    \pause
    \begin{figure}[H]
        \centering

        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering

            \begin{itemize}
                \item Wahrscheinlichkeitstheorie
            \end{itemize}
            \vspace*{2mm}
            \begin{tikzpicture}
                \node[
                    rectangle,
                    minimum width=7cm, minimum height=4cm,
                    line width=1pt,
                    draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
                ] (model) {
                    $\bm{X} =
                    \begin{pmatrix}
                        X_1 \\
                        \vdots \\
                        X_N
                    \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
                };

                \node[right=of model] (x) {
                    $\bm{x} =
                    \begin{pmatrix}
                        x_1 \\
                        \vdots \\
                        x_N
                    \end{pmatrix}$
                };

                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (x);
                \node[above=22mm of model.center] {Modell};
                \node[above=20.8mm of x.center] {Beobachtung};
            \end{tikzpicture}%
            \vspace*{15mm}
        \end{subfigure}%
        \only<2>{\hspace*{16cm}}%
        \only<3->{\vspace*{-12.6mm}}%
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering

            \only<3>{
                \begin{itemize}
                    \item Statistik
                \end{itemize}
                \begin{tikzpicture}
                    \node[
                        rectangle,
                        minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
                        line width=1pt,
                        draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
                    ] (real) {};

                    \node[right=of real] (x) {
                        $\bm{x} =
                        \begin{pmatrix}
                            x_1 \\
                            \vdots \\
                            x_N
                        \end{pmatrix}$
                    };

                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
                    \node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
                    \node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};

                    \node[below=25.5mm of real.center]
                    {\phantom{Modellierung}};
                \end{tikzpicture}
            }%
            \only<4->{
                \begin{itemize}
                    \item Statistik
                \end{itemize}
                \begin{tikzpicture}
                    \node[
                        rectangle,
                        minimum width=7.5cm, minimum height=4.5cm,
                        line width=1pt,
                        draw=kit-orange, fill=kit-orange!20,
                    ] (real) {};

                    \node[right=of real] (x) {
                        $\bm{x} =
                        \begin{pmatrix}
                            x_1 \\
                            \vdots \\
                            x_N
                        \end{pmatrix}$
                    };

                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (real) -- (x);
                    \node[above=23mm of real.center] {``Echte Welt''};
                    \node[above=21.8mm of x.center] {Beobachtung};

                    \node[
                        rectangle,
                        minimum width=6.5cm, minimum height=3.5cm,
                        line width=1pt,
                        draw=kit-blue, fill=kit-blue!20,
                        densely dashed,
                    ] (model) at (real) {
                        $\bm{X} =
                        \begin{pmatrix}
                            X_1 \\
                            \vdots \\
                            X_N
                        \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$
                    };

                    \draw[
                        line width=1pt, densely dashed,
                    ] (x.south)
                    edge[-{Latex}, bend left]
                    node[below] {Modellierung}
                    (model.south);
                \end{tikzpicture}
            }
            \vspace*{1mm}
        \end{subfigure}
        \only<3->{
            \vspace*{12.5mm}
        }
    \end{figure}
\end{frame}
\fi

\ifdefined\ishandout
\begin{frame}
    \frametitle{Punktschätzer}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Beispiel: Temperaturschätzung
            \vspace*{-5mm}
            \begin{figure}[H]
                \centering

                \begin{tikzpicture}
                    \node[
                        rectangle,
                        densely dashed,
                        draw,
                        inner sep=5mm,
                    ] (x) {
                        $
                        \bm{x} =
                        \begin{pmatrix}
                            26{,}2 \\
                            27{,}8 \\
                            25{,}7 \\
                            \vdots
                        \end{pmatrix}
                        $
                    };

                    \node[
                        rectangle,
                        right=of x,
                        minimum width=5cm, minimum height=2cm,
                        draw=kit-green, fill=kit-green!20,
                        line width=1pt,
                        align=center,
                        inner sep=3mm
                    ] (est) {Schätzer\\[5mm] $T_N(\bm{x}) =
                        \displaystyle\frac{1}{N}
                    \nsum_{i=0}^{N} x_i$};

                    \node[
                        above=of est,
                        rectangle,
                        densely dashed,
                        draw,
                        inner sep=5mm,
                    ] (model) {
                        $X_i \sim \mathcal{N}(\mu = \vartheta,
                        \sigma^2 = 1)$
                    };

                    \node[right=of est] (theta) {$\hat{\vartheta}
                    = 26{,}0$};

                    \node[below] at (x.south) {Beobachtung};
                    \node[above] at (model.north) {Parametrisiertes Modell};

                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (x) -- (est);
                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (est);
                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (est);
                    \draw[-{Latex}, line width=1pt] (est) -- (theta);
                \end{tikzpicture}
            \end{figure}
        \item Punktschätzer: Rechenvorschrift zur Berechnung von
            Parametern aus Beobachtungen \\
            $\rightarrow$ Schätzer hängen von den Realisierungen ab
            und sind damit selbst auch zufällig \\
            $\rightarrow$ Schätzer haben einen Erwartungswert und eine Varianz
    \end{itemize}
\end{frame}
\else
\begin{frame}
    \frametitle{Punktschätzer}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Beispiel: Temperaturschätzung
            \vspace*{-5mm}
            \begin{figure}[H]
                \centering

                \only<1>{
                    \begin{tikzpicture}
                        \node[
                            rectangle,
                            densely dashed,
                            draw,
                            inner sep=5mm,
                        ] (x) {
                            $
                            \bm{x} =
                            \begin{pmatrix}
                                26{,}2 \\
                                27{,}8 \\
                                25{,}7 \\
                                \vdots
                            \end{pmatrix}
                            $
                        };

                        \node[
                            draw opacity=0,
                            fill opacity=0,
                            rectangle,
                            right=of x,
                            minimum width=5cm, minimum height=2cm,
                            draw=kit-green, fill=kit-green!20,
                            line width=1pt,
                            align=center,
                            inner sep=3mm
                        ] (est) {Schätzer\\[5mm] $T_N(\bm{x}) =
                            \displaystyle\frac{1}{N}
                        \nsum_{i=0}^{N} x_i$};

                        \node[
                            draw opacity=0,
                            fill opacity=0,
                            above=of est,
                            rectangle,
                            densely dashed,
                            draw,
                            inner sep=5mm,
                        ] (model) {
                            $X_i \sim \mathcal{N}(\mu = \vartheta,
                            \sigma^2 = 1)$
                        };

                        \node[right=of est, draw opacity=0, fill
                        opacity=0] (theta) {$\hat{\vartheta} = 26{,}0$};

                        \node[below] at (x.south) {Beobachtung};
                        \node[above, draw opacity=0, fill opacity=0]
                        at (model.north) {Parametrisiertes Modell};
                    \end{tikzpicture}
                }%
                \only<2>{
                    \begin{tikzpicture}
                        \node[
                            rectangle,
                            densely dashed,
                            draw,
                            inner sep=5mm,
                        ] (x) {
                            $
                            \bm{x} =
                            \begin{pmatrix}
                                26{,}2 \\
                                27{,}8 \\
                                25{,}7 \\
                                \vdots
                            \end{pmatrix}
                            $
                        };

                        \node[
                            draw opacity=0,
                            fill opacity=0,
                            rectangle,
                            right=of x,
                            minimum width=5cm, minimum height=2cm,
                            draw=kit-green, fill=kit-green!20,
                            line width=1pt,
                            align=center,
                            inner sep=3mm
                        ] (est) {Schätzer\\[5mm] $T_N(\bm{x}) =
                            \displaystyle\frac{1}{N}
                        \nsum_{i=0}^{N} x_i$};

                        \node[
                            above=of est,
                            rectangle,
                            densely dashed,
                            draw,
                            inner sep=5mm,
                        ] (model) {
                            $X_i \sim \mathcal{N}(\mu = \vartheta,
                            \sigma^2 = 1)$
                        };

                        \node[right=of est, draw opacity=0, fill
                        opacity=0] (theta) {$\hat{\vartheta}
                        = 26{,}0$};

                        \node[below] at (x.south) {Beobachtung};
                        \node[above] at (model.north) {Parametrisiertes Modell};
                    \end{tikzpicture}
                }%
                \only<3->{
                    \begin{tikzpicture}
                        \node[
                            rectangle,
                            densely dashed,
                            draw,
                            inner sep=5mm,
                        ] (x) {
                            $
                            \bm{x} =
                            \begin{pmatrix}
                                26{,}2 \\
                                27{,}8 \\
                                25{,}7 \\
                                \vdots
                            \end{pmatrix}
                            $
                        };

                        \node[
                            rectangle,
                            right=of x,
                            minimum width=5cm, minimum height=2cm,
                            draw=kit-green, fill=kit-green!20,
                            line width=1pt,
                            align=center,
                            inner sep=3mm
                        ] (est) {Schätzer\\[5mm] $T_N(\bm{x}) =
                            \displaystyle\frac{1}{N}
                        \nsum_{i=0}^{N} x_i$};

                        \node[
                            above=of est,
                            rectangle,
                            densely dashed,
                            draw,
                            inner sep=5mm,
                        ] (model) {
                            $X_i \sim \mathcal{N}(\mu = \vartheta,
                            \sigma^2 = 1)$
                        };

                        \node[right=of est] (theta) {$\hat{\vartheta}
                        = 26{,}0$};

                        \node[below] at (x.south) {Beobachtung};
                        \node[above] at (model.north) {Parametrisiertes Modell};

                        \draw[-{Latex}, line width=1pt] (x) -- (est);
                        \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (est);
                        \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (est);
                        \draw[-{Latex}, line width=1pt] (est) -- (theta);
                    \end{tikzpicture}
                }
            \end{figure}
            \pause
            \pause
        \item Punktschätzer: Rechenvorschrift zur Berechnung von
            Parametern aus Beobachtungen \\
            \pause
            $\rightarrow$ Schätzer hängen von den Realisierungen ab
            und sind damit selbst auch zufällig \\
            $\rightarrow$ Schätzer haben einen Erwartungswert und eine Varianz
    \end{itemize}
\end{frame}
\fi

\begin{frame}
    \frametitle{Likelihood und Log-Likelihood (Diskret)}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Maximum Likelihood (ML) Schätzer\\
            \begin{minipage}{0.21\textwidth}
                \phantom{a}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.16\textwidth}
                \centering
                \begin{align*}
                    \hat{\vartheta}_\text{ML}
                    = \argmax_\vartheta \hspace{2mm} P(\bm{X} = \bm{x}
                    \vert \vartheta)
                \end{align*}
            \end{minipage}%
            \visible<2->{
                \begin{minipage}{0.15\textwidth}
                    \centering
                    \begin{align*}
                        \hspace*{-3mm} = \argmax_\vartheta
                        \hspace{2mm} L_{\bm{x}} (\vartheta)
                    \end{align*}
                \end{minipage}%
            }
            \visible<3->{
                \begin{minipage}{0.13\textwidth}
                    \centering
                    \begin{align*}
                        \hspace*{-10mm} = \argmax_\vartheta
                        \hspace{2mm} l_{\bm{x}} (\vartheta)
                    \end{align*}
                \end{minipage}%
            }

            \begin{figure}[H]
                \centering
                ``Welches $\vartheta$ maximiert die
                Wahrscheinlichkeit die beobachtete Realisierung zu bekommen?''
            \end{figure}
            \pause
        \item Likelihoodfunktion
    \end{itemize}

    \vspace*{5mm}

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            L_{\bm{x}}(\vartheta) = P(\bm{X} = \bm{x} \vert
            \vartheta) \overset{X_i \text{
            iid.}}{=\joinrel=\joinrel=} \nprod_{i=1}^{N}
            P(X_i = x_i \vert \vartheta)
        \end{align*}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \centering
        \begin{lightgrayhighlightbox}
            \vspace*{-3mm}
            Beispiel

            \vspace*{-10mm}
            \begin{gather*}
                X_i \sim \text{\normalfont Binomial} (p = \vartheta, K) \\
                L_{\bm{x}}(\vartheta) = P(\bm{X}=\bm{x} \vert \vartheta) =
                \nprod_{i=1}^{N}
                \binom{K}{x_i}\vartheta^{x_i}(1-\vartheta)^{K-x_i}
            \end{gather*}
            \vspace*{-10mm}
        \end{lightgrayhighlightbox}
    \end{minipage}%

    \vspace*{5mm}

    \begin{itemize}
            \pause
        \item Log-Likelihoodfunktion
            \begin{align*}
                l_{\bm{x}}(\vartheta) = \ln \left( L_{\bm{x}}(\vartheta) \right)
            \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Eigenschaften von Punktschätzern}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Erwartungtreue
            \begin{gather*}
                E(\hat{\vartheta}) = E\big( T_N(\bm{X}) \big) = \vartheta
            \end{gather*}

            \begin{figure}[H]
                \centering
                ``Im Mittel gibt der Schätzer der richtigen Wert zurück''
            \end{figure}

            \vspace*{10mm}
            \pause
        \item Konsistenz
            \begin{gather*}
                \lim_{N\rightarrow \infty} P \big( \lvert
                \hat{\vartheta} - \vartheta \rvert \ge \varepsilon \big) = 0
            \end{gather*}

            \begin{figure}[H]
                \centering
                ``Der Schätzer streut weniger, je mehr Realisierungen
                betrachtet werden''
            \end{figure}

            \vspace*{10mm}
            \pause
        \item Effizienz (für erwartungtreue Schätzer)
            \begin{minipage}{0.68\textwidth}
                \begin{gather*}
                    V(\hat{\vartheta}) = \frac{1}{J(\vartheta)},
                    \hspace*{5mm} J(\vartheta) = - E\left(
                        \frac{\partial^2}{\partial \vartheta^2}
                        l_{\bm{X}}(\vartheta)
                    \right)
                \end{gather*}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    ``Für jedes fixe N hat der Schätzer jeweils die
                    kleinstmögliche Varianz''
                \end{figure}
            \end{minipage}%
            \begin{minipage}{0.3\textwidth}
                \begin{lightgrayhighlightbox}
                    Cramér-Rao Ungleichung \\
                    \vspace*{-6mm}
                    \begin{gather*}
                        V(\hat{\vartheta}) \ge \frac{1}{J(\vartheta)}
                    \end{gather*}
                    \vspace*{-10mm}
                \end{lightgrayhighlightbox}
            \end{minipage}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        % \begin{greenblock}{Einfache Stichprobe}
        %     \vspace*{-8mm}
        %     \begin{gather*}
        %         \bm{X} =
        %         \begin{pmatrix}
        %             X_1 \\
        %             \vdots \\
        %             X_N
        %         \end{pmatrix},\hspace{5mm}
        %         X_1, \ldots, X_N \text{ iid.}
        %     \end{gather*}
        %     \vspace*{-3mm}
        % \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Likelihood und co. (diskret)}
            \vspace*{-10mm}
            \begin{align*}
                \text{Likelihoodfunktion: } &L_{\bm{x}} (\vartheta) = P\left(
                    \bm{X} = \bm{x}
                \vert \vartheta \right) \\[3mm]
                \text{Log-Likelihoodfunktion: } &l_{\bm{x}}
                (\vartheta) = \ln \left( L_{\bm{x}}
                (\vartheta) \right) \\[3mm]
                \text{ML-Schätzer: } &\hat{\vartheta}_\text{ML} =
                \argmax_\vartheta
                \hspace{2mm} l_{\bm{x}} (\vartheta)
            \end{align*}
            \vspace*{-6mm}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Eigenschaften von Schätzern}
            \vspace*{-10mm}
            \begin{align*}
                \text{Erwartungtreue: } & E\left( \hat{\vartheta}
                \right) = \vartheta \\
                \text{Konsistenz: } & \lim_{N\rightarrow \infty}
                P\left( \lvert \hat{\vartheta}
                    - \vartheta \rvert \ge \varepsilon
                \right) = 0  \\
                \text{Effizienz: } & V(\hat{\vartheta}) =
                \frac{1}{J(\vartheta)},\hspace{5mm} J(\vartheta) = - E\left(
                    \frac{\partial^2}{\partial \vartheta^2}
                l_{\bm{x}}(\vartheta) \right)
            \end{align*}
            \vspace*{-3mm}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Erwartungswert \& Varianz Rechenregeln}
            \vspace*{-10mm}
            \begin{align*}
                E(aX) &= aE(X) \\
                E(X + b) &= E(X) + b \\
                E(X + Y) &= E(X) + E(Y) \\[5mm]
                V(aX) &= a^2V(X) \\
                V(X + b) &= E(X) \\
                V(X + Y) &= V(X) + V(Y)
            \end{align*}
            \vspace*{-8mm}
        \end{greenblock}
        \begin{greenblock}{Tschebyscheff Ungleichung}
            \vspace*{-8mm}
            \begin{align*}
                P\left( \lvert X - E(X) \rvert \ge \varepsilon \right) \le
                \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
            \end{align*}
            \vspace*{-6mm}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}

    Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa
    essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem
    Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an
    Studierenden pro Minute ist.
    \begin{gather*}
        X_i \sim \text{Poisson}(\lambda),\hspace*{10mm} P(X_i = k
        \vert \lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}
        e^{-\lambda},\hspace*{3mm} k\in \mathbb{N}_0
    \end{gather*}
    Aus N statistisch unabhängigen Messungen $x_i$ soll nun die mittlere
    Ankunftsrate mithilfe eines ML-Schätzers geschätzt werden.

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
        \item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$
            Messwerte und damit den ML-Schätzer für die
            Ankunftsrate $\lambda$.
        \item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist.
        \item Ist der ML-Schätzer konsistent?
        \item Ist der ML-Schätzer effizient?
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}

    \vspace*{-15mm}

    Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa
    essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem
    Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an
    Studierenden pro Minute ist.
    \begin{gather*}
        X_i \sim \text{Poisson}(\lambda),\hspace*{10mm} P(X_i = k
        \vert \lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}
        e^{-\lambda},\hspace*{3mm} k\in \mathbb{N}_0
    \end{gather*}
    Aus N statistisch unabhängigen Messungen $x_i$ soll nun die mittlere
    Ankunftsrate mithilfe eines ML-Schätzers geschätzt werden.

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
        \item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$
            Messwerte und damit den ML-Schätzer für die
            Ankunftsrate $\lambda$.
            \vspace*{5mm}
            \pause
            \begin{align*}
                \hspace*{-77mm}
                L_{\bm{x}}(\lambda) &= P(\bm{X} = \bm{x} | \lambda) =
                \nprod_{i=1}^{N} P(X_i=x_i | \lambda) =
                \nprod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda}
            \end{align*}
            \vspace*{-3mm}
            \pause
            \begin{align*}
                l_{\bm{x}}(\lambda) &= \ln \left(
                L_{\bm{x}}(\lambda) \right) = \ln \left(
                    \nprod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}
                e^{-\lambda} \right)
                =
                \nsum_{i=1}^{N}\left[\ln \left( e^{-\lambda} \right) +
                    \ln \left( \lambda^{x_i} \right)
                - \ln \left( x_i! \right)\right]
                = - N \lambda + \nsum_{i=1}^{N} \left[ x_i \ln \left(
                    \lambda \right) - \nsum_{n=1}^{x_i} \ln \left( n
                \right) \right]
            \end{align*}
            \vspace*{5mm}
            \pause
            \begin{gather*}
                \left.
                \begin{array}{l}
                    \displaystyle\frac{\partial
                    l_{\bm{x}}(\lambda)}{\lambda} = -N +
                    \frac{1}{\lambda} \nsum_{i=1}^{N} x_i \overset{!}{=} 0
                    \Rightarrow \lambda = \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N}
                    x_i \\[7mm]
                    \displaystyle\frac{\partial^2
                    l_{\bm{x}}(\lambda)}{\partial
                    \lambda^2} = - \frac{1}{\lambda^2} \nsum_{i=1}^{N} x_i < 0
                \end{array}
                % tex-fmt: off
                \right\}
                % tex-fmt: on
                \Rightarrow \hat{\lambda}_\text{ML} =
                \argmax_\lambda \hspace{2mm} l_{\bm{x}}(\lambda) =
                \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N} x_i
                %
                % \hat{\lambda}_\text{ML} = \argmax_\lambda
                % \hspace{2mm} \ln \left( l_{\bm{x}} (\lambda) \right)
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
\end{frame}

% TODO: Erwartungswert Rechenregeln in Zusammenfassung
% TODO: Tschebyscheff Ungleichung in Theorie und Zusammenfassung
\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
            \setcounter{enumi}{1}
        \item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist.
            \pause
            \begin{gather*}
                E(\hat{\lambda}_\text{ML}) = E \left(\frac{1}{N}
                \nsum_{i=1}^{N} X_i \right)
                = \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N} E(X_i) = \frac{1}{N}
                \cdot N \lambda = \lambda
                \hspace{7mm}\Rightarrow\hspace{7mm} \text{Schätzer
                ist erwartungstreu}
            \end{gather*}
            \pause
            \vspace*{-5mm}
        \item Ist der ML-Schätzer konsistent? \\[-5mm]
            \pause
            \begin{minipage}{0.24\textwidth}
                \phantom{a}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.16\textwidth}
                \begin{gather*}
                    P\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
                        \rvert \ge \varepsilon
                    \right)
                \end{gather*}
            \end{minipage}%
            \pause %
            \begin{minipage}{0.22\textwidth}
                \begin{gather*}
                    = P\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} -
                        E\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) \rvert
                        \ge \varepsilon
                    \right)
                    \le
                    \frac{V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right)}{\varepsilon^2}
                \end{gather*}
            \end{minipage} \\[2mm]

            \pause
            \begin{gather*}
                V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) = V \left(
                \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N} X_i \right) =
                \frac{1}{N^2} \nsum_{i=1}^{N} V(X_i) =
                \frac{N\lambda}{N^2} = \frac{\lambda}{N}
            \end{gather*}
            \pause
            \begin{gather*}
                P\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
                    \rvert \ge \varepsilon
                \right) \le \frac{\lambda}{N \varepsilon^2}
                \overset{N\rightarrow
                \infty}{\relbar\joinrel\relbar\joinrel\relbar\joinrel\rightarrow}
                0
                \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer
                ist konsistent}
            \end{gather*}
            \pause
            \vspace*{-5mm}
        \item Ist der ML-Schätzer effizient?
            \pause
            \begin{gather*}
                J\left( \lambda \right) = - E
                \left(
                    \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} l_{\bm{X}}
                (\lambda) \right)
                = E \left( \frac{1}{\lambda^2} \nsum_{i=1}^{N} X_i \right)
                = \frac{1}{\lambda^2} \nsum_{i=1}^{N} E\left( X_i
                \right) = \frac{N}{\lambda}
            \end{gather*}
            \pause
            \begin{gather*}
                V\left( \hat{\lambda}_\text{ML} \right)
                % tex-fmt: off
                \overset{\text{c)}}{=}
                % tex-fmt: on
                \frac{\lambda}{N} = \frac{1}{J\left( \lambda \right)}
                \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer
                ist effizient}
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Empirische Kenngrößen I}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Empirischer Erwartungswert
    \end{itemize}

    \begin{minipage}{0.47\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            \overline{x} = \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N} x_i
        \end{align*}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.53\textwidth}
        \centering
        \begin{lightgrayhighlightbox}
            \vspace*{-3mm}
            Erinnerung: Erwartungswert (diskret)
            \begin{align*}
                E(X) = \nsum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
            \end{align*}
            \vspace*{-10mm}
        \end{lightgrayhighlightbox}
    \end{minipage}%

    \vspace*{10mm}

    \pause
    \begin{itemize}
        \item Empirische Varianz
    \end{itemize}

    \begin{minipage}{0.47\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            s^2 = \frac{1}{N-1} \nsum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2
        \end{align*}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.53\textwidth}
        \centering
        \begin{lightgrayhighlightbox}
            \vspace*{-3mm}
            Erinnerung: Varianz (diskret)
            \begin{align*}
                V(X) = E\left( \left( X - E(X) \right)^2
                \right) = \nsum_{n=1}^{\infty} \left( x_n -
                E(X) \right)^2 P(X=x_n)
            \end{align*}
            \vspace*{-10mm}
        \end{lightgrayhighlightbox}
    \end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Empirische Kenngrößen II}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{itemize}
        \item Geordnete Stichprobe
            \begin{align*}
                \begin{pmatrix}
                    x_1 & \cdots & x_N
                \end{pmatrix}
                \hspace{10mm} \rightarrow \hspace{10mm}
                \begin{pmatrix}
                    x_{(1)} & \cdots & x_{(N)}
                \end{pmatrix}, \hspace{5mm} x_{(1)} \le \cdots \le x_{(N)}
            \end{align*}
            \pause
        \item Empirischer Median
            \begin{align*}
                x_{1/2} =
                \begin{cases}
                    x_{\left( \frac{N+1}{2} \right)}, & N \text{
                    ungerade} \\[3mm]
                    \frac{1}{2} \left( x_{\left( \frac{N}{2} \right)}
                    + x_{\left( \frac{N}{2} +1 \right)} \right), & N
                    \text{ gerade}
                \end{cases}
            \end{align*}
            \pause
        \item $p$-Quantil
            \begin{align*}
                x_{p} =
                \begin{cases}
                    x_{\left( \lfloor Np + 1 \rfloor \right)}, & Np
                    \notin \mathbb{N} \\[3mm]
                    \frac{1}{2} \left( x_{\left( Np \right)}
                    + x_{\left( Np + 1 \right)} \right), & Np \in \mathbb{N}
                \end{cases}
            \end{align*}
            \pause
        \item Quartilsabstand
            \begin{align*}
                x_{3/4} - x_{1/4}
            \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Boxplots}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                    width=24cm,
                    height=6cm,
                    clip=false,
                    xticklabel=\empty,
                    yticklabel=\empty,
                ]
                \addplot+ [
                    mark=*,
                    kit-red,
                    boxplot prepared={
                        lower whisker=5,
                        lower quartile=7,
                        median=8.5,
                        upper quartile=9.5,
                        upper whisker=10,
                    },
                    boxplot/every median/.style={draw=kit-blue,line width=2pt},
                    boxplot/every whisker/.style={draw=kit-green,line
                    width=1pt},
                    boxplot/every box/.style={black,line width=1pt},
                ] table [row sep=\\,y index=0] {
                    data\\ 1\\ 3\\
                };

                \node at (7.5,0) (median)
                {\textcolor{kit-blue}{Median: $x_{1/2}$}};

                \node[below right=0cm and 0cm of median,align=center]
                (uw) {
                    \textcolor{kit-green}{Größte normale Beobachtung:}\\
                    $\textcolor{kit-green}{x_{3/4} + \frac{3}{2}
                    \left( x_{3/4} - x_{1/4} \right)}$
                };
                \node[below left=0cm and 0cm of median,align=center] (lw)
                {
                    \textcolor{kit-green}{Kleinste normale Beobachtung:}\\
                    $\textcolor{kit-green}{x_{1/4} - \frac{3}{2} \left(
                    x_{3/4} - x_{1/4} \right)}$
                };

                \node at (9.78, 2) (uq)
                {Oberes Quartil: $x_{3/4}$};
                \node[left=of uq] (lq)
                {Unteres Quartil: $x_{1/4}$};

                \node[above left=0cm and 0cm of lw] (out)
                {\textcolor{kit-red}{Ausreißer}};

                \draw[kit-blue, line width=1pt] (axis cs: 8.4,0.65) -- (median);
                \draw[kit-green, line width=1pt] (axis cs: 5,0.65) -- (lw);
                \draw[kit-green, line width=1pt] (axis cs: 10,0.65) -- (uw);

                \draw[kit-red, line width=1pt] (axis cs: 1.08,0.9) -- (out);
                \draw[kit-red, line width=1pt] (axis cs: 2.9,0.9) -- (out);

                \draw[line width=1pt] (axis cs: 7,1.42) -- (lq);
                \draw[line width=1pt] (axis cs: 9.5,1.42) -- (uq);
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{columns}
        \column{\kitfourcolumns}
        \begin{greenblock}{Empirische Kenngrößen}
            \vspace*{-8mm}
            \begin{align*}
                \text{Empirischer Erwartungswert: } & \overline{x} = \frac{1}{N}
                \nsum_{i=1}^{N} x_i \\[3mm]
                \text{Empirische Varianz: } & s^2 = \frac{1}{N-1}
                \nsum_{i=1}^{N} \left( x_i - \overline{x} \right)^2 \\[3mm]
                p\text{-Quantil: }
                & x_p =
                \begin{cases}
                    x_{\left( \lfloor Np + 1 \rfloor \right)}, & Np
                    \notin \mathbb{N} \\[3mm]
                    \frac{1}{2} \left( x_{\left( Np \right)}
                    + x_{\left( Np + 1 \right)} \right), & Np \in \mathbb{N}
                \end{cases} \\[3mm]
                \text{Median: } & x_{1/2} \\[3mm]
                \text{Quartilsabstand: } & x_{3/4} - x_{1/4}
            \end{align*}
            \vspace*{-4mm}
        \end{greenblock}
        \column{\kittwocolumns}
        \begin{greenblock}{Boxplot}
            \begin{figure}[H]
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                            width=3cm,
                            height=12cm,
                            boxplot/draw direction=y,
                            clip=false,
                            xtick=\empty,
                            ytick=\empty,
                            axis lines=none,
                        ]
                        \addplot+ [
                            mark=*,
                            kit-red,
                            boxplot prepared={
                                lower whisker=5,
                                lower quartile=7,
                                median=8.5,
                                upper quartile=9.5,
                                upper whisker=10,
                            },
                            boxplot/every
                            median/.style={draw=kit-blue,line width=2pt},
                            boxplot/every
                            whisker/.style={draw=kit-green,line width=1pt},
                            boxplot/every box/.style={black,line width=1pt},
                        ] table [row sep=\\,y index=0] {
                            data\\ 1\\ 3\\
                        };

                        \node[right] (median) at (2.5,8.5)
                        {$\textcolor{kit-blue}{x_{1/2}}$};
                        \node[right] (lq) at (2.5,7) {$x_{1/4}$};
                        \node[right] (uq) at (2.5,9.5) {$x_{3/4}$};
                        \node[right] (lw) at (2.5,5)
                        {
                            $\textcolor{kit-green}{
                                x_{1/4} - \frac{3}{2} \left( x_{3/4} -
                                x_{1/4} \right)
                            }$
                        };
                        \node[right] (uw) at (2.5,10.6)
                        {
                            $\textcolor{kit-green}{
                                x_{1/4} + \frac{3}{2} \left( x_{3/4} -
                                x_{1/4} \right)
                            }$
                        };
                        \node[right] (out) at (2.5,2)
                        {
                            \textcolor{kit-red}{Ausreißer}
                        };

                        \draw[kit-blue,line width=1pt] (1.6,8.5) -- (median);
                        \draw[line width=1pt] (1.6,9.5) -- (uq);
                        \draw[line width=1pt] (1.6,7) -- (lq);
                        \draw[kit-green,line width=1pt] (1.6,5) -- (lw);
                        \draw[kit-green,line width=1pt] (1.6,10) -- (uw);
                        \draw[kit-red,line width=1pt] (1.3,1) -- (out);
                        \draw[kit-red,line width=1pt] (1.3,3) -- (out);
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{figure}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Deskriptive Statistik}

    \vspace*{-15mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
        \item Nennen Sie zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
            damit eine Stichprobe als einfache
            Stichprobe gilt. Wie muss eine Stichprobe vorverarbeitet
            werden, um daraus den Median
            oder Quantile bestimmen zu können?
    \end{enumerate}

    \vspace*{5mm}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf}
    \end{figure}

    \begin{enumerate}
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
            \setcounter{enumi}{1}
        \item Lesen Sie aus dem Boxplot folgende Werte ab: den
            Median, die untere Quartilsgrenze, die
            größte normale Beobachtung.
    \end{enumerate}

    \vspace*{5mm}

    Die Zufallsvariable $Z \in \mathbb{N}$ beschreibt die
    Studiendauer am KIT bis zum Abschluss der Promotion. Eine
    einfache Zufallsstichprobe mit $n = 6$ Studierenden ergab die
    folgenden Studiendauern:
    \begin{gather*}
        z_1 =
        \begin{pmatrix}
            28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}

    Durch fehlerhaftes Eintragen wurde für zwei weitere Studierende
    die Studiendauer $0$ und $129$ vermerkt. Die erweiterte
    Stichprobe lautet:
    \vspace*{-5mm}
    \begin{gather*}
        z_1 =
        \begin{pmatrix}
            28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24 & 0 & 129
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}

    \vspace*{5mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
            \setcounter{enumi}{2}
        \item Berechnen Sie für beide Stichproben die empirische
            Varianz und den Quartilsabstand. Erklären Sie anhand der
            Ergebnisse einen Vorteil des Quartilsabstands gegenüber
            der Varianz als Maß für die Streuung.
    \end{enumerate}
\end{frame}

% TODO: Boxplot erklären
\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Deskriptive Statistik}

    \vspace*{-15mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
        \item Nennen Sie zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
            damit eine Stichprobe als einfache
            Stichprobe gilt. Wie muss eine Stichprobe vorverarbeitet
            werden, um daraus den Median
            oder Quantile bestimmen zu können?
    \end{enumerate}

    \vspace*{5mm}

    \pause
    \begin{minipage}{0.25\textwidth}
        \phantom{a}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \centering
        \begin{itemize}
            \item Die Messung muss unabhängig und identisch verteilt sein
            \item Die Stichprobe muss sortiert werden
        \end{itemize}
    \end{minipage}

    \pause

    \vspace*{15mm}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=1.4]{res/boxplot.pdf}
    \end{figure}

    \begin{enumerate}
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
            \setcounter{enumi}{1}
        \item Lesen Sie aus dem Boxplot folgende Werte ab: den
            Median, die untere Quartilsgrenze, die
            größte normale Beobachtung.
    \end{enumerate}

    \vspace*{-10mm}

    \pause
    \begin{align*}
        \text{Median: } \hspace{5mm}&5 \\
        \text{Untere Quartilsgrenze: } \hspace{5mm}&3 \\
        \text{Größte normale Beobachtung: } \hspace{5mm}&9
    \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Deskriptive Statistik}

    \vspace*{-17mm}

    Die Zufallsvariable $Z \in \mathbb{N}$ beschreibt die
    Studiendauer am KIT bis zum Abschluss der Promotion. Eine
    einfache Zufallsstichprobe mit $n = 6$ Studierenden ergab die
    folgenden Studiendauern:
    \begin{gather*}
        z_1 =
        \begin{pmatrix}
            28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}

    Durch fehlerhaftes Eintragen wurde für zwei weitere Studierende
    die Studiendauer $0$ und $129$ vermerkt. Die erweiterte
    Stichprobe lautet:
    \vspace*{-5mm}
    \begin{gather*}
        z_1 =
        \begin{pmatrix}
            28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24 & 0 & 129
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}

    \vspace*{5mm}

    \begin{enumerate}%
        % tex-fmt: off
    [a{)}]
        % tex-fmt: on
            \setcounter{enumi}{2}
        \item Berechnen Sie für beide Stichproben die empirische
            Varianz und den Quartilsabstand. Erklären Sie anhand der
            Ergebnisse einen Vorteil des Quartilsabstands gegenüber
            der Varianz als Maß für die Streuung.
    \end{enumerate}
    %
    \vspace*{-3mm}
    \pause
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{gather*}
            z_1 =
            \begin{pmatrix}
                28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24
            \end{pmatrix}\\
            \rightarrow
            \begin{pmatrix}
                22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28
            \end{pmatrix}
        \end{gather*}
        \vspace*{-10mm}
        \pause
        \begin{gather*}
            z_{3/4} - z_{1/4} = 26 - 24 = 2
        \end{gather*}
        \vspace*{-8mm}
        \pause
        \begin{gather*}
            \overline{z} = \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 25 \\
            s^2 = \frac{1}{N-1} \nsum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} -
            \overline{z} \right)^2 = 4
        \end{gather*}
    \end{minipage}%
    \pause
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{gather*}
            z_1 =
            \begin{pmatrix}
                28 & 22 & 25 & 26 & 25 & 24 & 0 & 129
            \end{pmatrix}\\
            \rightarrow
            \begin{pmatrix}
                0 & 22 & 24 & 25 & 25 & 26 & 28 & 129
            \end{pmatrix}
        \end{gather*}
        \vspace*{-10mm}
        \pause
        \begin{gather*}
            z_{3/4} - z_{1/4} = \frac{26 + 28}{2} - \frac{22 + 24}{2} = 4
        \end{gather*}
        \vspace*{-8mm}
        \pause
        \begin{gather*}
            \overline{z} = \frac{1}{N} \nsum_{i=1}^{N} z_{1,i} = 34{,}875 \\
            s^2 = \frac{1}{N-1} \nsum_{i=1}^{N} \left( z_{1,i} -
            \overline{z} \right)^2 \approx 1525{,}84
        \end{gather*}
    \end{minipage}
\end{frame}

\end{document}