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\title{WT Tutorium 2}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{21. November 2025}

%
%
% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Bedingte Wahrscheinlichkeiten \& Bayes}

    \vspace*{-10mm}

    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{itemize}
            \item Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
                \begin{gather*}
                    P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
                \end{gather*}
            \item Formel von Bayes
                \begin{gather*}
                    P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
                \end{gather*}
        \end{itemize}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{figure}
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \node[rectangle, minimum width=8cm, minimum height=5cm,
                draw, line width=1pt, fill=black!20] at (0,0) {};
                \node [circle, minimum size = 4cm,
                    draw, line width=1pt, fill=KITgreen,
                fill opacity = 0.5] at (1.25cm,0) {};
                \draw[line width=1pt, fill=KITblue,
                fill opacity = 0.5, rounded corners=5mm]
                (-2.4cm, -2.25cm) -- (-2.4cm, 2.25cm) -- (1.1cm,0) -- cycle;

                \node[left] at (4cm, 2cm) {\Large $\Omega$};
                \node at (-1.8cm, 0) {$A$};
                \node at (1.8cm, 0) {$B$};
                \node at (0, 0) {$AB$};
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
    \end{columns}
    \vspace*{1cm}
    \pause
    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{itemize}
            \item Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
                % tex-fmt: off
                \begin{gather*}
                    \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
                    \begin{array}{l}
                        A_1, A_2, \ldots \text{ disjunkt}\\
                        \displaystyle\sum_{n} A_n = \Omega
                    \end{array}
                    \right.\\[1em]
                    P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)\\
                \end{gather*}
                % tex-fmt: on
        \end{itemize}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{figure}
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \newcommand{\hordist}{1.2cm}
                \newcommand{\vertdist}{2cm}

                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                minimum size=3mm] (root) at (0, 0) {};
                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                    minimum size=3mm, below left=\vertdist and
                2.4*\hordist of root] (n1) {};
                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                    minimum size=3mm, below right=\vertdist and
                2.4*\hordist of root] (n2) {};
                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                    minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
                of n1] (n11) {};
                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                    minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
                of n1] (n12) {};
                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                    minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
                of n2] (n21) {};
                \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
                    minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
                of n2] (n22) {};

                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n1);
                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n2);
                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n11);
                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n12);
                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n21);
                \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n22);

                \node[left] at ($(root)!0.4!(n1)$) {$P(A_1)$};
                \node[right] at ($(root)!0.4!(n2)$) {$P(A_2)$};

                \node[left] at ($(n1)!0.4!(n11)$) {$P(B\vert A_1)$};
                \node[right] at ($(n1)!0.2!(n12)$) {$P(C\vert A_1)$};
                \node[left] at ($(n2)!0.6!(n21)$) {$P(B\vert A_2)$};
                \node[right] at ($(n2)!0.4!(n22)$) {$P(C\vert A_2)$};

                \node[below] at (n11) {$P(BA_1)$};
                \node[below] at (n12) {$P(CA_1)$};
                \node[below] at (n21) {$P(BA_2)$};
                \node[below] at (n22) {$P(CA_2)$};
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
    \begin{columns}
        \column{\kitonecolumn}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitonecolumn}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}

    \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}

    In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
    werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
    \begin{itemize}
        \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
        \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
            mittelgroß und $10\%$ klein.
        \item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$
            mittelgroß und $35\%$ klein.
    \end{itemize}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
            ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
            oder groß ist.
        \item Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
            welcher Wahrscheinlichkeit ist es
            einäugig?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

\end{frame}

\begin{frame}

    \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes}

    In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions,
    werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt:
    \begin{itemize}
        \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines.
        \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$
            mittelgroß und $10\%$ klein.
        \item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$
            mittelgroß und $35\%$ klein.
    \end{itemize}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
            ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
            oder groß ist.
            \pause\begin{align*}
                P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\
                P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\
                P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17
            \end{align*}
        \item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
            welcher Wahrscheinlichkeit ist es
            einäugig?
            \pause\begin{align*}
                P(N_1 \vert \overline{K})
                = \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
                = \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
                = \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit}

    \begin{itemize}
        \item Erweiterte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
            \begin{gather*}
                P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)}
            \end{gather*}
        \item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen
            \begin{gather*}
                P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)}
            \end{gather*}
            \pause
        \item Unabhängigkeit
            \begin{gather*}
                A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm}
                \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B)
                \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A)
            \end{gather*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Zusammenfassung}

    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen}
            \vspace*{-6mm}
            \begin{gather*}
                P(AB) = P(A) P(B)
            \end{gather*}
        \end{greenblock}
    \end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}

    \vspace*{-18mm}

    Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
    aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
    beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
    sind bekannt:
    \begin{itemize}
        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
            Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
    \end{itemize}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
            Fehler $B$ und dafür, dass ein
            Werkstück fehlerfrei ist.
        \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
    beobachtet. Der Fehler tritt
    mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
    eingetreten sind und mit der
    Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
    sind. In allen anderen
    Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{2}
        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
            Fehler $C$.
        \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
            welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}

    \vspace*{-10mm}

    Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
    aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
    beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
    sind bekannt:
    \begin{itemize}
        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
        \item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
            Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
    \end{itemize}

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
            Fehler $B$ und dafür, dass ein
            Werkstück fehlerfrei ist.
            \pause\begin{gather*}
                P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04
            \end{gather*}\pause
            \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
                P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92
            \end{gather*}
            \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
            \pause\begin{gather*}
                \left. \begin{array}{l}
                   P(AB) = 0{,}01 \\
                   P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002
               \end{array}\right\}
               \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
            \end{gather*}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}

    \vspace*{-13mm}

    Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
    beobachtet. Der Fehler tritt
    mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
    eingetreten sind und mit der
    Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
    sind. In allen anderen
    Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{2}
        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
            Fehler $C$.
            \pause\begin{align*}
                P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
                + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
                + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
                &= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094
            \end{align*}
        \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
            welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
            \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth}
                \centering
                \begin{align*}
                    P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
                    P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
                          &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
                          &= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm]
                    P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
                \end{align*}
            \end{minipage}%
            \hspace*{-10mm}
            \begin{minipage}{0.06\textwidth}
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm);
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}%
            \begin{minipage}{0.48\textwidth}
                \centering
                \begin{align*}
                    P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
                    P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
                                + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
                                &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm]
                    P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
                \end{align*}
            \end{minipage}
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\end{document}
