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\title{WT Tutorium 3}
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
\date[]{12. Dezember 2025}

%
%
% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
    \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% \begin{frame}
%     \frametitle{Bedingte Wahrscheinlichkeiten \& Bayes}
%
%     \vspace*{-10mm}
%
%     \begin{columns}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{itemize}
%             \item Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
%                 \begin{gather*}
%                     P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
%                 \end{gather*}
%             \item Formel von Bayes
%                 \begin{gather*}
%                     P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
%                 \end{gather*}
%         \end{itemize}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{figure}
%             \centering
%             \begin{tikzpicture}
%                 \node[rectangle, minimum width=8cm, minimum height=5cm,
%                 draw, line width=1pt, fill=black!20] at (0,0) {};
%                 \node [circle, minimum size = 4cm,
%                     draw, line width=1pt, fill=KITgreen,
%                 fill opacity = 0.5] at (1.25cm,0) {};
%                 \draw[line width=1pt, fill=KITblue,
%                 fill opacity = 0.5, rounded corners=5mm]
%                 (-2.4cm, -2.25cm) -- (-2.4cm, 2.25cm) -- (1.1cm,0) -- cycle;
%
%                 \node[left] at (4cm, 2cm) {\Large $\Omega$};
%                 \node at (-1.8cm, 0) {$A$};
%                 \node at (1.8cm, 0) {$B$};
%                 \node at (0, 0) {$AB$};
%             \end{tikzpicture}
%         \end{figure}
%     \end{columns}
%     \vspace*{1cm}
%     \pause
%     \begin{columns}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{itemize}
%             \item Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
%                 % tex-fmt: off
%                 \begin{gather*}
%                     \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{
%                     \begin{array}{l}
%                         A_1, A_2, \ldots \text{ disjunkt}\\
%                         \displaystyle\sum_{n} A_n = \Omega
%                     \end{array}
%                     \right.\\[1em]
%                     P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)\\
%                 \end{gather*}
%                 % tex-fmt: on
%         \end{itemize}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{figure}
%             \centering
%             \begin{tikzpicture}
%                 \newcommand{\hordist}{1.2cm}
%                 \newcommand{\vertdist}{2cm}
%
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                 minimum size=3mm] (root) at (0, 0) {};
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                     minimum size=3mm, below left=\vertdist and
%                 2.4*\hordist of root] (n1) {};
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                     minimum size=3mm, below right=\vertdist and
%                 2.4*\hordist of root] (n2) {};
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                     minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
%                 of n1] (n11) {};
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                     minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
%                 of n1] (n12) {};
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                     minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist
%                 of n2] (n21) {};
%                 \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt,
%                     minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist
%                 of n2] (n22) {};
%
%                 \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n1);
%                 \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n2);
%                 \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n11);
%                 \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n12);
%                 \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n21);
%                 \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n22);
%
%                 \node[left] at ($(root)!0.4!(n1)$) {$P(A_1)$};
%                 \node[right] at ($(root)!0.4!(n2)$) {$P(A_2)$};
%
%                 \node[left] at ($(n1)!0.4!(n11)$) {$P(B\vert A_1)$};
%                 \node[right] at ($(n1)!0.2!(n12)$) {$P(C\vert A_1)$};
%                 \node[left] at ($(n2)!0.6!(n21)$) {$P(B\vert A_2)$};
%                 \node[right] at ($(n2)!0.4!(n22)$) {$P(C\vert A_2)$};
%
%                 \node[below] at (n11) {$P(BA_1)$};
%                 \node[below] at (n12) {$P(CA_2)$};
%                 \node[below] at (n21) {$P(BA_1)$};
%                 \node[below] at (n22) {$P(CA_2)$};
%             \end{tikzpicture}
%         \end{figure}
%     \end{columns}
% \end{frame}
%
% \begin{frame}
%     \frametitle{Zusammenfassung}
%
%     \begin{columns}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%     \end{columns}
%     \begin{columns}
%         \column{\kitonecolumn}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%         \column{\kitonecolumn}
%     \end{columns}
% \end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}

    \vspace*{-10mm}

    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
    der Wahrscheinlichkeit
    $p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
        \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
            Zufallsvariablen $R$.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \vspace*{5mm}

    \textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den
    bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.}

    \vspace*{5mm}

    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
    Landstraße und über die
    Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
    Autofahrer auf der Landstraße bzw.
    auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
    liegt bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei
    $p_\text{A} = 0,3$.

    \vspace*{5mm}

    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
        \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}

    \vspace*{-16mm}

    Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
    Landstraße durch. Die Radarkontrollen
    können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
    der Wahrscheinlichkeit
    $p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
    \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
    Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
            und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
            \pause\begin{gather*}
                \Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
                R \sim \text{Bin}(N=6, p=0,2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1,2
            \end{gather*}
        \vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
            Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
            \pause \begin{gather*}
                P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0,2^3\cdot 0,8^3 \approx 0,0819
            \end{gather*}
        \vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
            Zufallsvariablen $R$.
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \vspace*{2mm}

    \pause
    \begin{columns}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{gather*}
            F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
            \binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
        \end{gather*}
        \begin{table}
            \begin{tabular}{c|ccccccc}
                $r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
                $F_R(r)$ & 0,262 & 0,655 & 0,901 & 0,983 & 0,998 & 0,999 & 1
            \end{tabular}
        \end{table}
        \column{\kitthreecolumns}
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        xmin=0,xmax=6,
                        ymin=-0.2,ymax=1.2,
                        xlabel=$r$,
                        ylabel=$F_R(r)$,
                        width=12cm,
                        height=5cm,
                    ]
                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
                    coordinates
                    {
                        (0,0.262)
                        (1,0.262)
                        (1,0.655)
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                        (2,0.901)
                        (3,0.901)
                        (3,0.983)
                        (4,0.983)
                        (4,0.998)
                        (5,0.998)
                        (5,0.999)
                        (6,0.999)
                        (6,1)
                    };
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{figure}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}

    \vspace*{-16mm}

    Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
    Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
    dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
    Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
    bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0,3$.

    \vspace*{2mm}

    \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.

    % tex-fmt: off
    \begin{enumerate}[a{)}]
        \setcounter{enumi}{2}
        \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
            an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
            \pause\begin{gather*}
                R := A + L
            \end{gather*}%
            \vspace*{-14mm}%
            \begin{align*}
                P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0,56 \\
                P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0,38 \\
                P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0,06
            \end{align*}
        \vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
            seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
            Autofahrer innerhalb eines Jahres?
    \end{enumerate}
    % tex-fmt: on

    \vspace*{-6mm}

    \pause
    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
            E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0,38 +
            2\cdot 0,06\right]\\[2mm]
            &= 200\cdot 0,5 = 100
        \end{align*}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.06\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
        \centering
        \begin{align*}
            E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
            E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
                \text{Bin}(N=200,p=0,3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
            L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200,p=0,2)}\Big)\\[2mm]
            &= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
            E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
            &= 200\cdot 0,3 + 200 \cdot 0,2 = 100
        \end{align*}
    \end{minipage}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aufgabe 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Theorie Wiederholung}

% \begin{frame}
%     \frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit}
%
%     \begin{itemize}
%         \item Erweiterte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
%             \begin{gather*}
%                 P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)}
%             \end{gather*}
%         \item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen
%             \begin{gather*}
%                 P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)}
%             \end{gather*}
%             \pause
%         \item Unabhängigkeit
%             \begin{gather*}
%                 A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm}
%                 \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B)
%                 \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A)
%             \end{gather*}
%     \end{itemize}
% \end{frame}
%
% \begin{frame}
%     \frametitle{Zusammenfassung}
%
%     \begin{columns}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Formel von Bayes}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%     \end{columns}
%     \begin{columns}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%         \column{\kitthreecolumns}
%         \begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen}
%             \vspace*{-6mm}
%             \begin{gather*}
%                 P(AB) = P(A) P(B)
%             \end{gather*}
%         \end{greenblock}
%     \end{columns}
% \end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Aufgabe}

% \begin{frame}
%     \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
%
%     \vspace*{-18mm}
%
%     Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
%     aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
%     beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
%     sind bekannt:
%     \begin{itemize}
%         \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
%         \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
%         \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
%             Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
%     \end{itemize}
%
%     % tex-fmt: off
%     \begin{enumerate}[a{)}]
%         \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
%             Fehler $B$ und dafür, dass ein
%             Werkstück fehlerfrei ist.
%         \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
%             es auch Fehler $A$?
%     \end{enumerate}
%     % tex-fmt: on
%
%     Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
%     beobachtet. Der Fehler tritt
%     mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
%     eingetreten sind und mit der
%     Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
%     sind. In allen anderen
%     Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
%
%     % tex-fmt: off
%     \begin{enumerate}[a{)}]
%         \setcounter{enumi}{2}
%         \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
%             Fehler $C$.
%         \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
%             welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
%     \end{enumerate}
%     % tex-fmt: on
% \end{frame}
%
% \begin{frame}
%     \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
%
%     \vspace*{-10mm}
%
%     Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler
%     aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder
%     beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
%     sind bekannt:
%     \begin{itemize}
%         \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
%         \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
%         \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
%             Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
%     \end{itemize}
%
%     % tex-fmt: off
%     \begin{enumerate}[a{)}]
%         \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
%             Fehler $B$ und dafür, dass ein
%             Werkstück fehlerfrei ist.
%             \pause\begin{gather*}
%                 P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
%             \end{gather*}\pause
%             \vspace*{-15mm}\begin{gather*}
%                 P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
%             \end{gather*}
%             \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
%             es auch Fehler $A$?
%             \pause\begin{gather*}
%                 \left. \begin{array}{l}
%                    P(AB) = 0.01 \\
%                    P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
%                \end{array}\right\}
%                \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
%             \end{gather*}
%     \end{enumerate}
%     % tex-fmt: on
% \end{frame}
%
% \begin{frame}
%     \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit}
%
%     \vspace*{-13mm}
%
%     Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
%     beobachtet. Der Fehler tritt
%     mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
%     eingetreten sind und mit der
%     Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
%     sind. In allen anderen
%     Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
%
%     % tex-fmt: off
%     \begin{enumerate}[a{)}]
%         \setcounter{enumi}{2}
%         \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
%             Fehler $C$.
%             \pause\begin{align*}
%                 P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
%                 + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
%                 + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
%                 &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
%             \end{align*}
%         \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
%             welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
%             \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth}
%                 \centering
%                 \begin{align*}
%                     P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
%                     P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
%                           &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
%                           &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
%                     P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
%                 \end{align*}
%             \end{minipage}%
%             \hspace*{-10mm}
%             \begin{minipage}{0.06\textwidth}
%                 \centering
%                 \begin{tikzpicture}
%                     \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm);
%                 \end{tikzpicture}
%             \end{minipage}%
%             \begin{minipage}{0.48\textwidth}
%                 \centering
%                 \begin{align*}
%                     P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
%                     P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
%                                 + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
%                                 &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
%                     P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
%                 \end{align*}
%             \end{minipage}
%     \end{enumerate}
%     % tex-fmt: on
% \end{frame}

\end{document}

